2020-2021学年河南省南阳市高二（下）6月月考数学（理）试卷北师大版

这是一份2020-2021学年河南省南阳市高二（下）6月月考数学（理）试卷北师大版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 设复数z满足−2i2z=−1+2i，则z在复平面内所对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2. 下列函数的求导正确的是（ ）
A.x−2′=−2xB.xcsx′=csx−sinx
C.ln10′=110D.e2x′=2ex

3. 某学校高三年级总共有800名学生，学校对高三年级的学生进行一次体能测试．这次体能测试满分为100分，已知测试结果ξ服从正态分布N70,σ2．若ξ在60,70内取值的概率为0.2，则估计该学校高三年级体能测试成绩在80分以上的人数为（ ）
A.160B.200C.240D.320

4. 已知an为等差数列，a3=3，则a1+a2+a3+a4+a5=3×5，若bn为等比数列，b3=3，则bn的类比结论为（ ）
A.b1b2b3b4b5=35B.b1+b2+b3+b4+b5=35
C.b1b2b3b4b5=3×5D.b1+b2+b3+b4+b5=3×5

5. 已知3−xn=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn展开式中的第3项和第5项的二项式系数相等，则|a0|+|a1|+|a2|+⋯+|an|=（ ）
A.46B.48C.26D.28

6. 从1，2，3，4，5，6，7，8中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的数是偶数”，事件B为“第二次取到的数是偶数”，则PB|A=（ ）
A.12B.25C.37D.38

7. 4200的正约数的个数为（ ）
A.6B.24C.48D.72

8. 欧拉公式eiθ=csθ+isinθ是把复指数函数与三角函数联系起来的一个公式，其中e是自然对数的底数，i是虚数单位．它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”．若z=eiθ−1−3i2为纯虚数，则θ可能为（ ）
A.π6B.π3C.5π3D.11π6

9. 指数曲线y=aebx取u=lny进行线性变换后得到的回归方程为u=1−2x，则函数y=axex+1+b的极大值为（ ）
A.1e−2B.1e+2C.1e2−2D.1e2+2

10. 设函数fx=ex+e−x−2csx，则使得f2>fx−1成立的x的取值范围是（ ）
A.−3,1B.−∞,−1∪3,+∞
C.−1,3D.−∞,−3∪1,+∞

11. 某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲不参加数学竞赛，则不同的安排方法有（ ）
A.86种B.100种C.112种D.134种

12. 已知a=1e，b=ln22，c=ln1+a−a，则（ ）
A.a二、填空题

已知随机变量X∼Bn,0.8，且Y=X2+3，若EY=7，则DX=________．

3x2−1x−1x6展开式中的常数项为________．

将数列{2n−1}和2n中的所有项按从小到大排成如下数阵：
用ai×j 表示第i行第j列的数，则a9×9=________．

若a2−lnab=c−2d=1，则a−c2+b−d2的最小值是________.
三、解答题

马拉松赛事是当下一项非常火爆的运动项目，受到越来越多人的喜爱．现随机在“马拉松跑友群”中选取100人，记录了他们在某一天马拉松训练中的跑步公里数，并将数据整理如下：

(1)分别估计“马拉松跑友群”中的人一天的马拉松训练中的跑步公里数为[5,15)，[15,25)，[25,35]的概率；

(2)已知一天的跑步公里数不少于20公里的跑友被“跑友群”评定为“高级”，否则为“初级”，根据题意完成给出的2×2列联表，并据此判断能否有95%的把握认为评定“级别”与“性别”有关．
附：χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，n=a+b+c+d．

已知函数fx=f′0ex+x2−f0−1x．
(1)求函数fx的解析式；

(2)若函数gx=fx−mx在1,2上单调递增，求m的取值范围．

已知a+b=c+d，证明：
(1)若ab>cd，则a2+b2
(2)a2+b2
在一个不透明的盒中，装有大小、质地相同的两个小球，其中一个是黑色，一个是白色，甲、乙进行取球游戏，两人随机地从盒中各取一球，两球都取出之后再一起放回盒中，这称为一次取球，约定每次取到白球者得1分，取到黑球者得0分，一人比另一人多2分或取满6次时游戏结束，并且只有当一人比另一人多2分时，得分高者才能获得游戏奖品．
(1)求甲获得游戏奖品的概率；

(2)设X表示游戏结束时所进行的取球次数，求X的分布列及数学期望．

某人经营两家酸奶店，进货成本每瓶酸奶6元，售价每瓶8元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．现需决策两家酸奶店每日进货的总量，为此搜集了某家酸奶店30天的销售情况，整理得到下面的柱状图：
以这30天日销量的频率代替一家店日销量发生的概率，记ξ表示两家酸奶店每日销售的总量，n表示两家酸奶店每日进货的总量．
(1)求ξ的分布列；

(2)以利润的期望值为决策依据，在n=540与n=560之中选其一，应选用哪个？

已知函数fx=2alnx+1x．
(1)讨论函数fx的单调性；

(2)若xex−a≥fx恒成立，求a的值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省南阳市高二（下）6月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数代数形式的乘除运算
【解析】
无
【解答】
解：z=−1+2i−2i2=−1+2i−4=1−2i4=14−12i，
则z在复平面内所对应的点位于第四象限．
故选D．
2.
【答案】
B
【考点】
导数的运算
【解析】
无
【解答】
解：对于A：x−2′=−2x−2−1=−2x−3，故A不正确．
对于B：xcsx′=csx−xsinx，故B正确．
对于C：ln10′=0，故C不正确．
对于D：e2x′=2e2x，故D不正确．
故选B．
3.
【答案】
C
【考点】
正态分布的密度曲线
【解析】
无
【解答】
解：因为ξ服从正态分布N70,σ2，
所以P70≤ξ≤80=P60≤ξ≤70=0.2，
则Pξ>80=0.5−0.2=0.3，
即该学校高三年级体能测试成绩在80分以上的人数为0.3×800=240．
故选C．
4.
【答案】
A
【考点】
类比推理
等差数列的性质
等比数列的性质
【解析】
根据等差数列中等差中项的性质可以类比等比中项的性质，b1⋅b5=b12q4=b32，b1b2b3b4b5=b35，可以由此得到等比数列的积与等比中项之间的关系，得到本题答案．
【解答】
解：在等差数列an中，
由等差数列的性质得a1+a5=a2+24=2a3，
所以a1+a2+a3+a4+a5=5a3=3×5，
在等比数列bn中，
由等比数列的性质得b1b5=b2b4=b32，
类似地，有b1b2b3b4b5=b35=35．
故选A．
5.
【答案】
A
【考点】
二项式系数的性质
二项式定理的应用
【解析】
无
【解答】
解：由Cn2=Cn4，
得n=6，
显然，a0，a2，a4，a6>0，a1，a3，a5<0．
令fx=3−x6，
|a0|+|a1|+|a2|+⋯+|a6|
=a0−a1+a2−⋯+a6=f−1=46．
故选A．
6.
【答案】
C
【考点】
条件概率与独立事件
【解析】
无
【解答】
解：由题意得PA=12，PAB=A42A82=314，
故PB|A=PABP(A)=31412=37．
故选C．
7.
【答案】
C
【考点】
分步乘法计数原理
【解析】
无
【解答】
解：4200=23×3×52×7，
设正约数为2x×3y×5z×7t，
其中x的取值为0，1，2，3，共有4种；
y的取值为0，1，共有2种；
z的取值为0，1，2，共有3种；
t的取值为0，1，共有2种．
所以4200的正约数的个数为4×2×3×2=48．
故选C．
8.
【答案】
B
【考点】
欧拉公式
复数的基本概念
任意角的三角函数
【解析】
无
【解答】
解：根据eiθ=csθ+isinθ，
得z=eiθ−1−3i2=csθ−12+isinθ+32，
若z为纯虚数，
则csθ−12=0，sinθ+32≠0，
故θ=π3满足题意．
故选B．
9.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
无
【解答】
解：因为y=aebx，
所以两边取对数得lny=lnaebx=lna+lnebx=lna+bx．
由于指数曲线y=aebx进行线性变换后得到的回归方程为u=1−2x，
则u=lny，lna=1，b=−2，
即a=e，
则y=axex+1+b=xex−2，y′=1−xex，
可知函数y=xex−2在x=1处取得极大值，
极大值为1e−2．
故选A．
10.
【答案】
C
【考点】
奇偶性与单调性的综合
利用导数研究函数的单调性
【解析】
无
【解答】
解：f−x=e−x+ex−2csx=fx，
故fx为偶函数，
当x∈[0,+∞)时，f′x=ex−e−x+2sinx，
f′′x=ex+e−x+2csx≥2+2csx≥0，
则f′x≥f′0=0，
故fx=ex+e−x−2csx在[0,+∞)上为增函数．
综上，fx=ex+e−x−2csx为偶函数，
且在[0,+∞)上为增函数．
故f2>fx−1可得2>|x−1|，
即−2解得−1故选C．
11.
【答案】
B
【考点】
排列、组合及简单计数问题
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
【解析】
左侧图片未给出解析
【解答】
解：若只有1人参加数学竞赛，有C41(C41+C42C22A22)A22=4×(4+3)×2=56种安排；
若恰有2人参加数学竞赛，有C42C31A22=6×3×2=36种安排；
若有3人参加数学竞赛，有C43A22=4×2=8种安排．
所以共有56+36+8=100种安排法．
故选B．
12.
【答案】
D
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
无
【解答】
解：令fx=ln1+x−x，x>0，
则f′x=11+x−1=−x1+x<0，
所以fx则ln1+a−a<0．
令gx=lnxx，x>0，
则g′x=1−lnxx2，
则g2则a>b>0，
所以c故选D．
二、填空题
【答案】
1.6
【考点】
二项分布的应用
两点分布二项分布超几何分布的期望与方差
【解析】
无
【解答】
解：EY=12EX+3=7，
则0.8n=8，
即n=10，
所以DX=10×0.8×0.2=1.6．
故答案为：1.6．
【答案】
65
【考点】
二项式定理的应用
二项展开式的特定项与特定系数
【解析】
无
【解答】
解：x−1x6的通项公式Tr+1=C6rx6−r−1xr=C6r−1rx6−2r，
易知6−2r为偶数．
当6−2r=0时，r=3，
此时x−1x6展开式中的常数项为C63−13=−20；
当6−2r=−2时，r=4，
此时x−1x6展开式中x−2项的系数为C64−14=15．
所以3x2−1x−1x6展开式中的常数项为−20×−1+15×3=20+45=65．
故答案为：65．
【答案】
77
【考点】
数列的应用
【解析】
无
【解答】
解：由1+8×82+9=45，
可知a9×9是第45个数，
推理可知前45项中，2n占有6项，
所以a9×9=2×39−1=77．
故答案为：77．
【答案】
2
【考点】
两点间的距离公式
利用导数研究曲线上某点切线方程
两条平行直线间的距离
【解析】
无
【解答】
解：由a2−lnab=c−2d=1，
得b=a2−lna，d=c−2，
则a−c2+b−d2表示曲线fx=x2−lnx上的点与直线x−y−2=0上的点之间距离的平方．
因为f′x=2x−1xx>0，
令f′x=1，
得x=1，
又f1=1，
所以fx在1,f1处的切线方程为x−y=0，
所以曲线fx=x2−lnx上的点与直线x−y−2=0上的点之间距离的最小值即直线x−y=0与x−y−2=0之间的距离，
故a−c2+b−d2min=0+222=2．
故答案为：2．
三、解答题
【答案】
解：(1)由频数分布表可估计“马拉松跑友群”中的人一天的马拉松训练中的跑步公里数为[5,15)的概率为17100=0.17，
跑步公里数为[15,25)的概率为60100=0.6，
跑步公里数为25,35的概率为23100=0.23．
(2)2×2列联表如下：
因为χ2=10020×25−15×40260×40×35×65≈0.18<3.841，
所以没有95%的把握认为评定“级别”与“性别”有关．
【考点】
概率的应用
独立性检验
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由频数分布表可估计“马拉松跑友群”中的人一天的马拉松训练中的跑步公里数为[5,15)的概率为17100=0.17，
跑步公里数为[15,25)的概率为60100=0.6，
跑步公里数为25,35的概率为23100=0.23．
(2)2×2列联表如下：
因为χ2=10020×25−15×40260×40×35×65≈0.18<3.841，
所以没有95%的把握认为评定“级别”与“性别”有关．
【答案】
解：(1)f′x=f′0ex+2x−f0+1，
令x=0，解得f0=1，
则fx=f′0ex+x2，
令x=0，得f0=f′0=1，
所以fx=ex+x2．
(2)因为gx=ex+x2−mx在1,2上单调递增，
所以g′x≥0在1,2上恒成立，
即g′x=ex+2x−m≥0在1,2上恒成立，
所以m≤ex+2x在1,2上恒成立．
又因为函数y=ex+2x在1,2上单调递增，
所以m≤e+2，
所以m的取值范围为−∞,e+2．
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
导数的运算
已知函数的单调性求参数问题
【解析】
左侧图片未给出解析
左侧图片未给出解析
【解答】
解：(1)f′x=f′0ex+2x−f0+1，
令x=0，解得f0=1，
则fx=f′0ex+x2，
令x=0，得f0=f′0=1，
所以fx=ex+x2．
(2)因为gx=ex+x2−mx在1,2上单调递增，
所以g′x≥0在1,2上恒成立，
即g′x=ex+2x−m≥0在1,2上恒成立，
所以m≤ex+2x在1,2上恒成立．
又因为函数y=ex+2x在1,2上单调递增，
所以m≤e+2，
所以m的取值范围为−∞,e+2．
【答案】
证明：(1)因为a2+b2=a+b2−2ab，
c2+d2=c+d2−2cd，
由题设a+b=c+d，ab>cd，
得a+b2−2ab因此a2+b2(2)必要性：若|a−b|<|c−d|，
则a−b2即a+b2−4ab因为a+b=c+d，
所以ab>cd，
由(1)得a2+b2充分性：若a2+b2则a+b2−2ab因为a+b=c+d，
所以ab>cd，
于是a−b2=a+b2−4ab因此|a−b|<|c−d|．
综上，a2+b2【考点】
不等式的证明
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
无
无
【解答】
证明：(1)因为a2+b2=a+b2−2ab，
c2+d2=c+d2−2cd，
由题设a+b=c+d，ab>cd，
得a+b2−2ab因此a2+b2(2)必要性：若|a−b|<|c−d|，
则a−b2即a+b2−4ab因为a+b=c+d，
所以ab>cd，
由(1)得a2+b2充分性：若a2+b2则a+b2−2ab因为a+b=c+d，
所以ab>cd，
于是a−b2=a+b2−4ab因此|a−b|<|c−d|．
综上，a2+b2【答案】
解：(1)设甲获得游戏奖品为事件A，
P(A)=12×12+2×124+4×126=716．
所以甲获得游戏奖品的概率为716．
(2)X的可能取值为2，4，6，
PX=2=2×12×12=12，
PX=4=2×2×124=14，
PX=6=1−PX=2−PX=4=14，
X的分布列为
EX=2×12+4×14+6×14=72．
【考点】
互斥事件的概率加法公式
相互独立事件的概率乘法公式
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量及其分布列
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)设甲获得游戏奖品为事件A，
P(A)=12×12+2×124+4×126=716．
所以甲获得游戏奖品的概率为716．
(2)X的可能取值为2，4，6，
PX=2=2×12×12=12，
PX=4=2×2×124=14，
PX=6=1−PX=2−PX=4=14，
X的分布列为
EX=2×12+4×14+6×14=72．
【答案】
解：(1)根据题意可得，ξ的所有可能取值为480，500，520、540，560，580，600．
Pξ=480=110×110=1100，
Pξ=500=110×310×2=350，
Pξ=520=110×25×2+310×310=17100，
Pξ=540=110×15×2+310×25×2=725，
Pξ=560=310×15×2+25×25=725，
Pξ=580=25×15×2=425，
Pξ=600=15×15=125．
ξ的分布列如下：
(2)当每日进货量为540时，
利润为480×2−4×60×1100+500×2−4×40×350+
520×2−4×20×17100+
540×2×1−1100−350−17100=1041.6元．
当每日进货量为560时，
利润为480×2−4×80×1100+500×2−4×60×350+
520×2−4×40×17100+540×2−4×20×725+
560×2×1225=1019.2元．
由于1041.6>1019.2．
所以选择每日进货量为540．
【考点】
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
左侧图片未给出解析
左侧图片未给出解析
【解答】
解：(1)根据题意可得，ξ的所有可能取值为480，500，520、540，560，580，600．
Pξ=480=110×110=1100，
Pξ=500=110×310×2=350，
Pξ=520=110×25×2+310×310=17100，
Pξ=540=110×15×2+310×25×2=725，
Pξ=560=310×15×2+25×25=725，
Pξ=580=25×15×2=425，
Pξ=600=15×15=125．
ξ的分布列如下：
(2)当每日进货量为540时，
利润为480×2−4×60×1100+500×2−4×40×350+
520×2−4×20×17100+
540×2×1−1100−350−17100=1041.6元．
当每日进货量为560时，
利润为480×2−4×80×1100+500×2−4×60×350+
520×2−4×40×17100+540×2−4×20×725+
560×2×1225=1019.2元．
由于1041.6>1019.2．
所以选择每日进货量为540．
【答案】
解：(1)f′x=2a−2alnx−1x2=−2alnx+2a−1x2．
当a=0时，f′x<0，则fx在0,+∞上单调递减；
当a>0时，由f′x<0，得x>e2a−12a，
由f′x>0，得0则fx在0,e2a−12a上单调递增，在e2a−12a,+∞上单调递减；
当a<0时，由f′x<0，得0由f′x>0，得x>e2a−12a，
则fx在0,e2a−12a上单调递减，在e2a−12a,+∞上单调递增．
(2)因为xex−a≥fx，
所以x2ex−1−2alnx−ax≥0，即x2ex−alnx2ex−1≥0．
令t=x2ex，其中x>0，
则t′=x2+2xex>0，
所以函数t=x2ex在0,+∞上单调递增．
当x>0时，t=x2ex>0，
令ℎt=t−alnt−1，则ℎt≥0对任意的t>0恒成立，
因为ℎ1=0，所以ℎtmin=ℎ1=0，且ℎ′t=1−at=t−at．
①若a≤0，则ℎ′t>0对任意的t>0恒成立，
所以函数ℎt在0,+∞上为增函数，
此时函数ℎt无最小值，不合题意．
②若a>0，由ℎ′t<0，可得0由ℎ′t>0，可得t>a，此时函数ℎt单调递增．
所以ℎtmin=ℎa，即a=1．
综上所述，a=1．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
左侧图片未给出解析
左侧图片未给出解析
【解答】
解：(1)f′x=2a−2alnx−1x2=−2alnx+2a−1x2．
当a=0时，f′x<0，则fx在0,+∞上单调递减；
当a>0时，由f′x<0，得x>e2a−12a，
由f′x>0，得0则fx在0,e2a−12a上单调递增，在e2a−12a,+∞上单调递减；
当a<0时，由f′x<0，得0由f′x>0，得x>e2a−12a，
则fx在0,e2a−12a上单调递减，在e2a−12a,+∞上单调递增．
(2)因为xex−a≥fx，
所以x2ex−1−2alnx−ax≥0，即x2ex−alnx2ex−1≥0．
令t=x2ex，其中x>0，
则t′=x2+2xex>0，
所以函数t=x2ex在0,+∞上单调递增．
当x>0时，t=x2ex>0，
令ℎt=t−alnt−1，则ℎt≥0对任意的t>0恒成立，
因为ℎ1=0，所以ℎtmin=ℎ1=0，且ℎ′t=1−at=t−at．
①若a≤0，则ℎ′t>0对任意的t>0恒成立，
所以函数ℎt在0,+∞上为增函数，
此时函数ℎt无最小值，不合题意．
②若a>0，由ℎ′t<0，可得0由ℎ′t>0，可得t>a，此时函数ℎt单调递增．
所以ℎtmin=ℎa，即a=1．
综上所述，a=1．初级
高级
总计
男
女
总计
Pχ2≥k
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
初级
高级
总计
男
20
40
60
女
15
25
40
总计
35
65
100
初级
高级
总计
男
20
40
60
女
15
25
40
总计
35
65
100
X
2
4
6
P
12
14
14
X
2
4
6
P
12
14
14
ξ
480
500
520
540
560
580
600
P
1100
350
17100
725
725
425
125
ξ
480
500
520
540
560
580
600
P
1100
350
17100
725
725
425
125