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2020-2021学年江西省赣州市高一（下）3月月考数学（文）试卷北师大版
展开这是一份2020-2021学年江西省赣州市高一（下）3月月考数学（文）试卷北师大版，共9页。试卷主要包含了解答题，填空题，选择题等内容，欢迎下载使用。
1. 若e1→，e2→是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（ ）
A.e1→−e2→，e2→−e1→B.2e1→−e2→，e1→−12e2→
C.2e2→−3e1→，6e1→−4e2→D.e1→+e2→，e1→−e2→
2. 在△ABC中，a=23，b=22，∠B=45∘，则A为( )
A.60∘或120∘B.60∘C.30∘或150∘D.30∘
3. 已知向量a→与b→的夹角为60∘，|a→|=2，|b→|=6，则2a→−b→在a→方向上的投影为（ ）
A.4B.3C.2D.1
4. 为了得到函数y=sin(2x−π4)的图象，可以将函数y=sin2x的图象（ ）
A.向左平移π4个单位长度B.向右平移π4个单位长度
C.向左平移π8个单位长度D.向右平移π8个单位长度
5. 已知数列an满足a1=2，an+1=1+an1−an，则a2021的值为（ ）
A.2B.−3C.−12D.13
6. 若θ为第四象限角，则1−csθ1+csθ−1+csθ1−csθ可化简为（ ）
A.2tanθB.−2tanθC.−2tanθD.2tanθ
7. 已知数列{an}对任意的p，q∈N∗满足ap+q=ap+aq，且a2=−6，那么a10等于( )
A.−165B.−33C.−30D.−21
8. 在△ABC中，若lgsinA−lgcsB−lgsinC=lg2，则该三角形的形状是( )
A.等腰三角形B.等边三角形
C.直角三角形D.等腰直角三角形
9. 已知点P是△ABC内的一点， AP→=13AB→+AC→，则△ABC的面积与△PBC的面积之比为（ ）
A.2B.3C.32D.6
10. 已知函数f(x)=3sin2x+cs2x−m在[0,π2]上有两个零点，则m的取值范围是（ ）
A.(1, 2)B.[1, 2)C.(1, 2]D.[1, 2]
11. “勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例．根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，且AB=3，E为AD上一点，BE⊥AC．若BE→=λBA→+μBC→，则λ+μ的值为( )
A.−925B.725C.2516D.1
12. 在△ABC中，AC⋅csA=3BC⋅csB，且csC=55，则A=（ ）
A.30∘B.45∘C.60∘D.120∘
二、填空题
已知向量AB→=3,1，向量AC→=−1,4，则与向量BC→相同的单位向量的坐标为________.
三、选择题
如图，在△ABC中，∠B=π3，AB=8，点D在BC边上，且CD=2，cs∠ADC=17.
(1)求sin∠BAD；
(2)求BD，AC的长.
已知向量a→,b→的夹角为60∘，且a→=0,1．
(1)若|b→|=2，求b→的坐标；
(2)若(a→+b→)⊥(a→−b→)， λ∈R，求a→+λb→的最小值．
已知函数fx=4sinxsinx−π6−3．
(1)求fx的最小正周期；
(2)求fx在区间−π4,π6上的值域．
已知a→,b→是两不共线的向量，且a→=csα,sinα,b→=csβ,sinβ.
(1)求证：a→+b→与a→−b→垂直；
(2)若α∈−π4,π4 ，β=π4，且a→⋅b→=35，求sinα.
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设7acsB+bcsA=ac，且sin2A=sinA.
(1)求A及a；
(2)若b−c=2，求BC边上的高．
在△ABC中，AB=2AC，AD是∠BAC的平分线且AD=kAC.
(1)求k的取值范围；
(2)若S△ABC=1，k为何值时?BC最短.
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省赣州市高一（下）3月月考数学（文）试卷
一、解答题
1.
【答案】
D
【考点】
平面向量的基本定理及其意义
【解析】
利用平面向量基本定理，作为平面向量基底的向量必须是不共线的向量，由此选择．
【解答】
解：观察四个选项，对于选项A，e1→−e2→=−(e2→−e1→)；
B，2e1→−e2→=2(e1→−12e2→)，
C，−2(2e2→−3e1→)=6e1→−4e2→，
两个向量都是共线向量，所以不能作为基底，
故选D．
2.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
【解析】
由B的度数求出sinB的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sinA的值，由a大于b，根据三角形中大边对大角可得A大于B，进而确定出A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．
【解答】
解：∵ a=23，b=22，∠B=45∘，
∴ 根据正弦定理asinA=bsinB得：
sinA=asinBb=23×2222=32.
又a>b，
∴ A>B，
∴ 45∘
故选A.
3.
【答案】
D
【考点】
平面向量数量积的运算
向量的投影
【解析】
根据2a→−b→在a→方向上的投影公式，然后根据向量数量积公式进行求解即可．
【解答】
解：2a→−b→在a→方向上的投影为
(2a→−b→)⋅a→|a→|=2a→2−a→⋅b→|a→|=2×22−2×6×cs60∘2=1.
故选D．
4.
【答案】
D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
由题意利用y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．
【解答】
解：将函数y=sin2x的图象向右平移π8个单位长度可得函数y=sin(2x−π4)的图象，
故选D.
5.
【答案】
A
【考点】
数列的函数特性
数列递推式
【解析】
由于数列{an}满足a1=2，an+1=1+an1−an(n∈N∗)，可得数列{an}为周期数列，最小正周期为4，即可得出．
【解答】
解：∵ 数列{an}满足a1=2，an+1=1+an1−an(n∈N∗)，
∴ a2=−3，a3=−12，a4=13，a5=2，…，
∴ 数列{an}为周期数列，最小正周期为4，
∴ a2021=a4×505+1=a1=2.
故选A.
6.
【答案】
D
【考点】
同角三角函数间的基本关系
【解析】
因为θ为第四象限角，所以sinθ<0，再利用1−cs2θ＝sin2θ化简即可．
【解答】
解：∵ θ为第四象限角，∴ sinθ<0，
∴ 原式=(1−csθ)2(1+csθ)(1−csθ)−(1+csθ)2(1−csθ)(1+csθ)
=1−csθ−sinθ−1+csθ−sinθ
=2csθsinθ=2tanθ.
故选D.
7.
【答案】
C
【考点】
数列递推式
【解析】
由ap+q=ap+aq可得a4=2a2，a8=2a4，进而可求a10=a2+a8
【解答】
解：∵ ap+q=ap+aq，
∴ a4=2a2=−12，
a8=2a4=−24，
a10=a2+a8=−30.
故选C.
8.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
余弦定理
对数及其运算
【解析】
利用对数的运算法则可求得sinAcsB⋅sinα=2，利用正弦定理求得csB根据余弦定理求得csB的表达式进而建立等式，整理求得b=c，判断出三角形为等腰三角形．
【解答】
解：∵lgsinA−lgcsB−lgsinC=lg2，
∴sinAcsB⋅sinC=2，
由正弦定理得asinA=csinC，即sinAsinC=ac，
∴csB=a2c，
由余弦定理得csB=a2+c2−b22ac=a2c，
整理得c2=b2，即c=b，
∴ △ABC的形状是等腰三角形.
故选A．
9.
【答案】
B
【考点】
向量在几何中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设BC的中点为D，则
AB→+AC→=2AD→.
∵ AP→=13AB→+AC→=23AD→，
过点A作AE⊥BC,交BC于点E，过点P作PF⊥BC，交BC于点F，
则|PF||AE|=|PD||AD|=13，
∴ S△ABCS△PBC=3.
故选B.
10.
【答案】
B
【考点】
求两角和与差的正弦
根的存在性及根的个数判断
【解析】
由题意可得函数g(x)=3sin2x+cs2x 与直线y=m在[0, π2]上两个交点，数形结合可得m的取值范围．
【解答】
解：由题意可得函数g(x)=3sin2x+cs2x=2sin(2x+π6) 与直线y=m在[0, π2]上有两个交点．
由于x∈[0, π2]，故2x+π6∈[π6, 7π6]，故g(x)∈[−1, 2]．
令2x+π6=t，则t∈[π6, 7π6]，
函数y=ℎ(t)=2sint 与直线y=m在[π6, 7π6]上有两个交点，如图：
要使函数f(x)=3sin2x+cs2x−m在[0,π2]上有两个零点则1≤m<2.
故选B.
11.
【答案】
C
【考点】
平面向量的基本定理
向量在几何中的应用
【解析】
根据相似比计算AE，根据向量加法的平行四边形法则即可得出λ，μ的值．
【解答】
解：设BE与AC的交点为M，过E作EF⊥BC，则四边形BAEF是矩形，
∴ BE→=BA→+BF→，
由题意可知AB=3，BC=4，AC=5，∴ BM=3×45=125，
∵ AC⊥BE，∴ △ABM∽△EAB，∴ ABBE=BMAB，∴ BE=AB2BM=154，
∴ BF=AE=BE2−AB2=94，
∴ BF→=916BC→，
∴ BE→=BA→+916BC→，故λ=1，μ=916，
∴ λ+μ=2516．
故选C.
12.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
三角函数中的恒等变换应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意及正弦定理得sinBcsA=3sinAcsB，
∴ tanB=3tanA，
∴ 0∘
∴ tanC=2，而A+B+C=180∘，
∴ tanA+B=−tanC=−2，即tanA+tanB1−tanAtanB=−2，
将tanB=3tanA代入，得4tanA1−3tan2A=−2，
∴ tanA=1或tanA=−13，而0∘
故选B．
二、填空题
【答案】
−45,35
【考点】
单位向量
平行向量（共线向量）
【解析】
根据题意，求出向量BC→ ，再根据与向量BC→方向相同的单位向量为BC→|BC|=15(−4,3)=(−45,35)，求出答案．
【解答】
解：已知向量AB→=3,1 ，向量AC→=−1,4，
则BC→=AC→−AB→=−4,3，
所以与向量BC→方向相同的单位向量为BC→|BC→|=15(−4,3)=(−45,35).
故答案为：−45,35.
三、选择题
【答案】
解：(1)在△ADC中，
因为cs∠ADC=17，
所以sin∠ADC=437，
所以sin∠BAD=sin∠ADC−∠B
=sin∠ADCcs∠B−cs∠ADCsin∠B
=437×12−17×32=3314.
(2)在△ABD中，由正弦定理得，
BD=ABsin∠BADsin∠ADB=8×3314437=3.
在△ABC中，由余弦定理得，
AC2=AB2+BC2−2AB×BC×cs∠B
=82+52−2×8×5×12=49.
所以AC=7.
【考点】
同角三角函数间的基本关系
两角和与差的正弦公式
正弦定理
余弦定理
【解析】
(1)根据sin∠BAD=sin∠ADC−∠B，利用和差公式求解；
(2)在△ABD中，利用正弦定理即可求解BD，在△ABC中结合余弦定理求解.
【解答】
解：(1)在△ADC中，
因为cs∠ADC=17，
所以sin∠ADC=437，
所以sin∠BAD=sin∠ADC−∠B
=sin∠ADCcs∠B−cs∠ADCsin∠B
=437×12−17×32=3314.
(2)在△ABD中，由正弦定理得，
BD=ABsin∠BADsin∠ADB=8×3314437=3.
在△ABC中，由余弦定理得，
AC2=AB2+BC2−2AB×BC×cs∠B
=82+52−2×8×5×12=49.
所以AC=7.
【答案】
解：(1)设b→=x,y，因为cs⟨a→,b→⟩=a→⋅b→|a→||b→|，
且a→⋅b→=x×0+y×1=y，所以 y=1，
又因为|b→|=x2+y2=2，
所以x=±3，
即b→=3,1或b→=−3,1 .
(2)因为a→+b→⊥a→−b→，
所以a→+b→⋅a→−b→=0，
即a→2=b→2所以a→=b→|=1,
所以a→+λb→=(a→+λb→)2
=a→2+2λa→⋅b→+λ2b→2=12+2λ|a→||b→|cs60∘+λ2
=λ2+λ+1=λ+122+34
所以，当λ=−12时，|a→+λb→|有最小值为32.
【考点】
平面向量数量积的运算
数量积表示两个向量的夹角
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设b→=x,y，因为cs⟨a→,b→⟩=a→⋅b→|a→||b→|，
且a→⋅b→=x×0+y×1=y，所以 y=1，
又因为|b→|=x2+y2=2，
所以x=±3，
即b→=3,1或b→=−3,1 .
(2)因为a→+b→⊥a→−b→，
所以a→+b→⋅a→−b→=0，
即a→2=b→2所以a→=b→|=1,
所以a→+λb→=(a→+λb→)2
=a→2+2λa→⋅b→+λ2b→2=12+2λ|a→||b→|cs60∘+λ2
=λ2+λ+1=λ+122+34
所以，当λ=−12时，|a→+λb→|有最小值为32.
【答案】
解：(1)因为fx=4sinxsinx−π6−3
=4sinxsinxcsπ6−csxsinπ6−3
=23sin2x−2sinxcsx−3
=31−cs2x−sin2x−3
=−sin2x−3cs2x
=−2sin2x+π3，
所以T=2π2=π．
(2)因为−π4≤x≤π6，所以−π2≤2x≤π3．
所以−π6≤2x+π3≤2π3，
所以−12≤sin2x+π3≤1,
所以−1≤2sin2x+π3≤2,
故fx在区间−π4,π6上的值域为−2,1．
【考点】
三角函数的周期性及其求法
二倍角的余弦公式
两角和与差的正弦公式
正弦函数的定义域和值域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为fx=4sinxsinx−π6−3
=4sinxsinxcsπ6−csxsinπ6−3
=23sin2x−2sinxcsx−3
=31−cs2x−sin2x−3
=−sin2x−3cs2x
=−2sin2x+π3，
所以T=2π2=π．
(2)因为−π4≤x≤π6，所以−π2≤2x≤π3．
所以−π6≤2x+π3≤2π3，
所以−12≤sin2x+π3≤1,
所以−1≤2sin2x+π3≤2,
故fx在区间−π4,π6上的值域为−2,1．
【答案】
(1)证明：∵ a→2=cs2α+sin2α=1，
b→2=cs2β+sin2β=1,
∴ a→+b→⋅a→−b→=a→2−b→2=0,
即a→+b→⊥a→−b→．
(2)解：由已知a→⋅b→=csαcsπ4+sinαsinπ4=csα−π4，
且a→⋅b→=35，∴ csα−π4=35 ．
由−π4<α<π4，得−π2<α−π4<0．
∴ sinα−π4=−1−cs2α−π4=−45．
∴ sinα=sinα−π4+π4
=sinα−π4csπ4+csα−π4sinπ4=−210．
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平面向量数量积的运算
两角和与差的正弦公式
同角三角函数间的基本关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：∵ a→2=cs2α+sin2α=1，
b→2=cs2β+sin2β=1,
∴ a→+b→⋅a→−b→=a→2−b→2=0,
即a→+b→⊥a→−b→．
(2)解：由已知a→⋅b→=csαcsπ4+sinαsinπ4=csα−π4，
且a→⋅b→=35，∴ csα−π4=35 ．
由−π4<α<π4，得−π2<α−π4<0．
∴ sinα−π4=−1−cs2α−π4=−45．
∴ sinα=sinα−π4+π4
=sinα−π4csπ4+csα−π4sinπ4=−210．
【答案】
解：(1)∵ 7acsB+bcsA=ac，
根据正弦定理得，sinAcsB+sinBcsA=77asinC.
∴ sinC=77asinC，
又∵ sinC≠0，
∴ a=7.
∵ sin2A=sinA，
∴ 2sinAcsA=sinA，
∵ sinA≠0，
∴csA=12 .
∵ A∈0,π，
∴ A=π3；
(2)由(1)知，a=7，A=π3．
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA，
∴ 7=b2+c2−bc，
∴ 7=b−c2+bc,
∵ b−c=2，∴ 7=4+bc，∴ bc=3．
设BC边上的高为ℎ，
∴ S△ABC=12bcsinA=12×3×32=334,
∵S△ABC=12aℎ ，
∴127ℎ=334，
∴ ℎ=32114 ，
即BC边上的高为32114．
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
二倍角的正弦公式
余弦定理
三角形的面积公式
【解析】
（1）利用正弦定理，结合A+B=π−C，求出a再求出角A；
（2）利用余弦定理求出bc，利用等面积法即可求出．
【解答】
解：(1)∵ 7acsB+bcsA=ac，
根据正弦定理得，sinAcsB+sinBcsA=77asinC.
∴ sinC=77asinC，
又∵ sinC≠0，
∴ a=7.
∵ sin2A=sinA，
∴ 2sinAcsA=sinA，
∵ sinA≠0，
∴csA=12 .
∵ A∈0,π，
∴ A=π3；
(2)由(1)知，a=7，A=π3．
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA，
∴ 7=b2+c2−bc，
∴ 7=b−c2+bc,
∵ b−c=2，∴ 7=4+bc，∴ bc=3．
设BC边上的高为ℎ，
∴ S△ABC=12bcsinA=12×3×32=334,
∵S△ABC=12aℎ ，
∴127ℎ=334，
∴ ℎ=32114 ，
即BC边上的高为32114．
【答案】
解：(1)∵ S△ABC=S△ABD+S△ACD,
∴12AB⋅ACsin∠BAC=12AB⋅ADsin∠BAC2+12AD⋅ACsin∠BAC2.
又∵ AB=2AC,AD=kAC ，
∴ k=43cs∠BAC2 ,
∵ 0∘<∠BAC<180∘，
∴ cs∠BAC2∈0,1， k∈0,43 .
(2)∵ S△ABC=12AB⋅AC⋅sin∠BAC=1，
AB=2AC，
∴ AC2=1sin∠BAC,AB2=4sin∠BAC,AB⋅AC=2sin∠BAC，
∴ BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcs∠BAC=5−4cs∠BACsin∠BAC，
令y=5−4cs∠BACsin∠BAC,ysin∠BAC+4cs∠BAC=5，
∴ y2+16yy2+16sin∠BAC+4y2+16cs∠BAC=5，
即y2+16sin∠BAC+φ=5，其中锐角tanφ=4y,
当∠BAC+φ=π2时，y取最小3，此时tanφ=43，即sinφ=45,csφ=35.
又∠BAC=π2−φ,cs∠BAC=sinφ=45,
cs∠BAC=2cs2∠BAC2−1=45
∴ cs∠BAC2=31010,k=43cs∠BAC2=2105，
∴ k=43cs∠BAC2=2105时BC最短．
【考点】
三角形的面积公式
三角函数中的恒等变换应用
【解析】
（1）由三角形内角平分线的性质可得，BD = 23BC，CD = 13BC；在△ABD和△ACD中，分别利用余弦定理可得csA2 = 34k；由于 0< A2< π2，故 0
【解答】
解：(1)∵ S△ABC=S△ABD+S△ACD,
∴12AB⋅ACsin∠BAC=12AB⋅ADsin∠BAC2+12AD⋅ACsin∠BAC2.
又∵ AB=2AC,AD=kAC ，
∴ k=43cs∠BAC2 ,
∵ 0∘<∠BAC<180∘，
∴ cs∠BAC2∈0,1， k∈0,43 .
(2)∵ S△ABC=12AB⋅AC⋅sin∠BAC=1，
AB=2AC，
∴ AC2=1sin∠BAC,AB2=4sin∠BAC,AB⋅AC=2sin∠BAC，
∴ BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcs∠BAC=5−4cs∠BACsin∠BAC，
令y=5−4cs∠BACsin∠BAC,ysin∠BAC+4cs∠BAC=5，
∴ y2+16yy2+16sin∠BAC+4y2+16cs∠BAC=5，
即y2+16sin∠BAC+φ=5，其中锐角tanφ=4y,
当∠BAC+φ=π2时，y取最小3，此时tanφ=43，即sinφ=45,csφ=35.
又∠BAC=π2−φ,cs∠BAC=sinφ=45,
cs∠BAC=2cs2∠BAC2−1=45
∴ cs∠BAC2=31010,k=43cs∠BAC2=2105，
∴ k=43cs∠BAC2=2105时BC最短．
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