2020-2021学年江西省赣州市瑞金市高一（下）第一次月考数学（理）试卷北师大版

这是一份2020-2021学年江西省赣州市瑞金市高一（下）第一次月考数学（理）试卷北师大版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 数列23，−45，67，−89，…的第10项是（ ）
A.−1617B.−1819C.−2021D.−2223

2. 已知向量a→=1,2，b→=−6,k，若a→//b→，则k=( )
A.−12B.12C.3D.−3

3. 已知平面向量a→,b→的夹角为135∘，且|a→|=1 ，|2a→+b→|=2，则|b→|=( )
A.2B.2C.3−1D.3

4. 函数f(x)=ln(x+1)−2x的零点所在的区间是（ ）
A.(0, 1)B.(1, 2)C.(2, e)D.(3, 4)

5. 21−sin8+2+2cs8等于（ ）
A.2sin4−4cs4B.−2sin4−4cs4C.−2sin4D.4cs4−2sin4

6. 若α为三角形的一个内角，且sinα，csα，是方程3x2−2x+c=0的两个根，则这个三角形是（ ）
A.正三角形B.直角三角形
C.锐角三角形但不是正三角形D.钝角三角形

7. 如图所示，在△ABC中，BD→=12DC→，AE→=3ED→，若AB→=a→，AC→=b→，则BE→=( )

A.13a→+13b→B.−12a→+14b→C.12a→+14b→D.−13a→+13b→

8. 已知向量a→=(1,2)，b→=(1,t)，c→=(2,−83)，若(a→+2b→)//c→，则向量b→在a→方向上的投影为（ ）
A.−102B.−5C.102D.5

9. 设函数f(x)=x2−6x+6,x≥0，3x+4,x<0,若互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3)，则x1+x2+x3的取值范围是( )
A.(113，6]B.(203，263)C.(203，263]D.(113，6)

10. 已知P是边长为4的正△ABC的边BC上的动点，则AP→⋅AB→+AC→( )
A.最大值为16B.是定值24C.最小值为4D.是定值4

11. 已知O为△ABC内一点，且有OA→+OC→=23BC→，则△OBC和△ABC的面积之比为( )
A.16B.13C.12D.23

12. 已知函数fx=sinωx+φ(0<ω≤12，ω∈N∗，0<φ<π)图象关于y轴对称，且在区间π4,π2上不单调，则ω的可能值有( ）
A.10个B.9个C.8个D.7个
二、填空题

设fx为定义在R上的奇函数，且满足fx=fx+4，f1=1，则f−1+f8=________．

已知平面向量a→，b→满足a→=1,3，|b→|=3，a→⊥a→−2b→，则|2a→−3b→|=________．

已知关于x的方程2sin2x−3sin2x+m−1=0在x∈π2,π上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________．

关于下列命题：
①若α，β是第一象限角，且α>β，则sinα>sinβ；
②函数y=sin(πx−π2)是偶函数；
③函数y=sin(2x−π3)的一个对称中心是(π6, 0)；
④函数y=5sin(−2x+π3)在[−π12, 5π12]上是增函数．
所有正确命题的序号是________．
三、解答题

已知集合A=x|lg3x−1<1，集合B=x|2m(1)求集合∁RA；

(2)若A∩B=⌀，求实数m的取值范围．

平面内有向量OA→=(1, 7)，OB→=(5, 1)，OC→=(2, 1)（其中O为坐标原点），点P是直线OC上的一个动点．
(1)若PA→ // PB→，求OP→的坐标；

(2)当PA→⋅PB→取最小值时，求cs∠APB的值．

设平面向量m→=(6sinx,12)，n→=(2csx,1)，函数f(x)=(m→−n→)⋅n→．
(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)当x∈[−π4,π4]时，求函数f(x)的最大值和最小值．

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, |φ|<π2)的部分图象如图所示.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求方程f(x)=−32，在区间[0, 4]内的所有实数根之和．

已知A(2, 0)，B(0, 2)，C(csθ, sinθ)，O为坐标原点．
(1)AC→⋅BC→=−13，求sin2θ的值；

(2)若|OA→+OC→|=7，且θ∈(−π, 0)，求OB→与OC→的夹角．

已知函数g(x)=ax2−2ax+1+b(a>0)在区间[2, 3]上有最大值4和最小值1，设f(x)=g(x)x．
(1)求a，b的值；

(2)若不等式f(2x)−k⋅2x≥0在x∈[−1, 1]上有解，求实数k的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省赣州市瑞金市高一（下）第一次月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
归纳推理
【解析】
由数列23，−45，67，−89，…．可知：奇数项的符号为正号，偶数项的符号为负号；而分子为偶数2n（n为项数），分母为奇数2n+1或分母比分子大1．即可得到通项公式．
【解答】
解：由数列23，−45，67，−89，…
可知：奇数项的符号为正号，偶数项的符号为负号；
而分子为偶数2n（n为项数），分母为奇数2n+1或分母比分子大1．
故可得通项公式an=(−1)n+1⋅2n2n+1．
∴ a10=(−1)11⋅2021=−2021．
故选C.
2.
【答案】
A
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
根据a→//b→即可得出1⋅k−2×−6=0，然后解出k即可．
【解答】
解：∵a→//b→，
a→=1,2，b→=−6,k，
∴k+12=0，解得k=−12．
故选A．
3.
【答案】
A
【考点】
平面向量数量积的运算
向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：|2a→+b→|2
=4|a→2|+4|a→||b→|cs+|b→|2
=4−22|b→|+|b→|2=2
解得：|b→|=2.
故选A.
4.
【答案】
B
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
函数f(x)=ln(x+1)−2x的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．
【解答】
解：∵ f(1)=ln(1+1)−2=ln2−2<0，
而f(2)=ln3−1>lne−1=0，
f(1)⋅f(2)<0，
∴ 函数f(x)=ln(x+1)−2x的零点所在区间是 (1, 2).
故选B．
5.
【答案】
C
【考点】
同角三角函数间的基本关系
二倍角的余弦公式
二倍角的正弦公式
【解析】
由于1−sin8=(sin4−cs4)2=|sin4−cs4|＝cs4−sin4，2+2cs8=−2cs4，代入即可求得答案．
【解答】
解：∵ π<5π4<4，
∴ sin4∴ 21−sin8=2(sin4−cs4)2
=2|sin4−cs4|
=2cs4−2sin4，
又2+2cs8=4cs24=−2cs4，
∴ 21−sin8+2+2cs8=−2sin4．
故选C.
6.
【答案】
D
【考点】
三角形的形状判断
根与系数的关系
同角三角函数基本关系的运用
【解析】
由已知根据根与系数的关系可得sinα+csα=23，利用同角三角函数基本关系式可求sinαcsα=−518<0，结合范围0<α<π，可求π2<α<π，即可得解三角形的形状为钝角三角形．
【解答】
解：由题意，根据根与系数的关系可得sinα+csα=23，
因为(sinα+csα)2=1+2sinαcsα=49，
所以sinαcsα=−518<0，
又0<α<π，
所以sinα>0，csα<0，即π2<α<π，
所以α 为钝角．
故选D.
7.
【答案】
B
【考点】
向量加减法的应用
向量数乘的运算及其几何意义
【解析】
利用向量加减法的运算和数乘运算得出所求解的向量与已知向量之间的关系是解决本题的关键，注意运算的准确性和向量倍数关系的正确转化．
【解答】
解：由题易得BC→=AC→−AB→=b→−a→，
因为BD→=12DC→，
所以BD→=13BC→=13(b→−a→)，
所以AD→=AB→+BD→=a→+13(b→−a→)=13b→+23a→.
又因为AE→=3ED→，
故DE→=14DA→=−14(13b→+23a→)=−112b→−16a→，
所以BE→=BD→+DE→
=13(b→−a→)−112b→−16a→
=(13−112)b→−(13+16)a→
=14b→−12a→．
故选B.
8.
【答案】
B
【考点】
向量的共线定理
平面向量数量积的运算
向量的投影
【解析】
法一：通过向量共线解得t，然后利用向量的数量积转化求解向量b→在a→方向上的投影．
【解答】
解：由已知可得a→+2b→=(1,2)+2(1,t)=(3,2+2t)，
因为(a→+2b→)//c→，c→=(2,−83)，
所以−8−2×(2+2t)=0，解得t=−3，
故b→=(1,−3)，则|a→|=5，|b→|=10，
cs⟨a→,b→⟩=1−65×10=−22，
故向量b→ 在a→ 方向上的投影为|b→|cs⟨a→,b→⟩=10×(−22)=−5，
故选B．
9.
【答案】
D
【考点】
分段函数的应用
二次函数的性质
一次函数的性质与图象
【解析】
根据二次函数性质，一次函数性质，得出x1+x2+x3的取值范围即可．
【解答】
解：令x1∵ 函数f(x)=x2−6x+6，x≥0，3x+4,x<0，
∴ 根据二次函数性质得出x2+x3=6，
利用函数y=3x+4得出：x1<0时，x1+x2+x3<6；
当x≥0时，y=(x−3)2−3，ymin=−3，
当3x1+4>−3时，x1>−73，
∴ x1+x2+x3>−73+6=113，
∴ x1+x2+x3的取值范围是(113, 6).
故选D．
10.
【答案】
B
【考点】
平面向量的坐标运算
平面向量坐标表示的应用
【解析】
本题考查向量的坐标运算，建系是最直观的做法，因为坐标运算是数的运算，所以比较简单．
【解答】
解：对等边三角形建立直角坐标系，以BC为x轴，过A的垂线为y轴，
则A(0,23)，B(−2,0)，C(2,0)，设P(x,0)，
∴AB→=(−2,−23)，AC→=2,−23，AP→=x,−23，
∴AB→+AC→=0,−43，
∴由向量坐标运算AP→⋅(AB→+AC→)=0⋅x+−23⋅−43=24.
故选B.
11.
【答案】
C
【考点】
平面向量的基本定理
平行向量（共线向量）
向量的三角形法则
【解析】
设D是AC边的中点，则OA→+OC→=2OD→．由于OA→+OC→=23BC→，可得BC→=3OD→，OD // BC．利用S△OBCS△ABC=S△DBCS△ABC=DCAC即可得出．
【解答】
解：设D是AC边的中点，则OA→+OC→=2OD→．
∵ OA→+OC→=23BC→，
∴ 2OD→=23BC→，
∴ BC→=3OD→，
∴ OD // BC．
∴ S△OBCS△ABC=S△DBCS△ABC=DCAC=12．
故选C.
12.
【答案】
B
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的性质
【解析】
先求出φ，再根据诱导公式，余弦函数的单调性求出ω的范围，可得结论．
【解答】
解：函数fx=sin(ωx+φ)(0<ω≤12，ω∈N∗，0<φ<π)，图象关于y轴对称，
∴φ=π2，
∴fx=sinωx+π2=csωx在区间π4,π2上不单调，
则ω⋅π2>π，
∴ω>2，
∴ω=3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，共计10个，
经过检验，ω=4不满足条件，
故满足条件的ω有9个．
故选B．
二、填空题
【答案】
−1
【考点】
抽象函数及其应用
函数的周期性
函数奇偶性的性质
函数的求值
【解析】
由fx是定义在R上的奇函数，满足： fx=fx+4 ，通过函数的周期，能求出f(8)，再根据奇函数的性质求出f−1，即可求出f−1+f(8)．
【解答】
解：∵fx是定义在R上的奇函数，f0=0，
满足： fx=fx+4，
∴f8=f4=f0=0，
又f−1=−f1=−1，
∴f−1+f8=−1．
故答案为：−1．
【答案】
73
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】
可求出|a→|=2，然后根据a→⊥a→−2b→即可得出a→⋅b→=2，然后根据|2a→−3b→|=2a→−3b→2进行数量积的运算即可求出答案．
【解答】
解：∵|a→|=2，a→⊥a→−2b→，
∴a→⋅a→−2b→=a→2−2a→⋅b→
=4−2a→⋅b→=0，
∴a→⋅b→=2，且|b→|=3，
∴|2a→−3b→|=2a→−3b→2
=4a2−12a→⋅b→+9b→2
=16−24+81=73．
故答案为：73．
【答案】
(−2,−1)
【考点】
函数的零点
二倍角的余弦公式
两角和与差的正弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 2sin2x−3sin2x+m−1=0，
∴ 1−cs2x−3sin2x+m−1=0，
∴ cs2x+3sin2x−m=0，
∴ 2sin2x+π6=m，即sin2x+π6=m2，
方程2sin2x−3sin2x+m−1=0在π2,π上有两个不同的实数根，
即y=sin2x+π6，在x∈π2,π的图象与y=m2的图象有2个不同的交点．
作出y=sin2x+π6，x∈π2,π及y=m2的图象如图所示，
则−1∴ m的取值范围是(−2,−1)．
故答案为：(−2,−1)．
【答案】
②③
【考点】
命题的真假判断与应用
诱导公式
正弦函数的单调性
正弦函数的奇偶性
余弦函数的奇偶性
【解析】
可举α＝390∘，β＝30∘，则sinα＝sinβ，即可判断①；运用诱导公式和余弦函数的奇偶性，即可判断②；
由正弦函数的对称中心，解方程即可判断③；由正弦函数的单调性，解不等式即可判断④．
【解答】
解：对于①，若α，β是第一象限角，且α>β，可举α=390∘，β=30∘，则sinα=sinβ，则①错；
对于②，函数y=sin(πx−π2)=−csπx，
f(−x)=−cs(−πx)=f(x)，则为偶函数，则②对；
对于③，令2x−π3=kπ，解得x=kπ2+π6(k∈Z)，
函数y=sin(2x−π3)的对称中心为(kπ2+π6, 0)(k∈Z)，
当k=0时，即为(π6, 0)，则③对；
对于④，函数y=5sin(−2x+π3)=−5sin(2x−π3)，
令2x−π3∈(2kπ+π2, 2kπ+3π2)，k∈Z，则x∈(kπ+5π12, kπ+11π12)(k∈Z)，即为增区间，
令2x−π3∈(2kπ−π2, 2kπ+π2)，k∈Z，则x∈(kπ−π12, kπ+5π12)(k∈Z)，即为减区间．
在[−π12, 5π12]上即为减函数．则④错．
故答案为：②③.
三、解答题
【答案】
解：(1)集合A=x|1(2)当B=⌀时，则2m≥m2，得0≤m≤2，
当B≠⌀时，则2m2或m<0，m≥2或−1≤m≤1，
∴ m>2或−1≤m<0，
综上所述： m≥−1 .
【考点】
补集及其运算
集合的包含关系判断及应用
并集及其运算
【解析】


【解答】
解：(1)集合A=x|1(2)当B=⌀时，则2m≥m2，得0≤m≤2，
当B≠⌀时，则2m2或m<0，m≥2或−1≤m≤1，
∴ m>2或−1≤m<0，
综上所述： m≥−1 .
【答案】
解：(1)∵ 点P是直线OC上的一个动点．
∴ 可设OP→=(2x, x)，
PA→=OA→−OP→=(1−2x, 7−x)，
PB→=OB→−OP→=(5−2x, 1−x)，
∵ PA→ // PB→，
∴ (1−2x)(1−x)−(7−x)(5−2x)=0，
解得x=178，
∴ OP→=(174,178)．
(2)PA→⋅PB→=(1−2x)(5−2x)+(7−x)(1−x)
=5x2−20x+12=5(x−2)2−8，
∴ x=2时，PA→⋅PB→取的最小值−8，
此时PA→=(−3,5)，PB→=(1,−1)，
∴ cs∠APB=−834⋅2=−41717．
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
平面向量的坐标运算
平面向量数量积的运算
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
（1）点P是直线OC上的一个动点．可设OP→=(2x, x)．利用向量坐标运算、向量共线定理，
（2）利用数量积运算性质、二次函数的单调性、向量夹角公式即可得出．
【解答】
解：(1)∵ 点P是直线OC上的一个动点．
∴ 可设OP→=(2x, x)，
PA→=OA→−OP→=(1−2x, 7−x)，
PB→=OB→−OP→=(5−2x, 1−x)，
∵ PA→ // PB→，
∴ (1−2x)(1−x)−(7−x)(5−2x)=0，
解得x=178，
∴ OP→=(174,178)．
(2)PA→⋅PB→=(1−2x)(5−2x)+(7−x)(1−x)
=5x2−20x+12=5(x−2)2−8，
∴ x=2时，PA→⋅PB→取的最小值−8，
此时PA→=(−3,5)，PB→=(1,−1)，
∴ cs∠APB=−834⋅2=−41717．
【答案】
解：(1)f(x)=m→⋅n→−n→2
=23sinxcsx+12−(2cs2x+1)
=3sin2x−(cs2x+2)+12
=2sin(2x−π6)−32，
所以T=2π2=π．
(2)当x∈[−π4,π4] 时，2x−π6∈[−2π3,π3]，
∴ 当2x−π6=−π2，即x=−π6 时，f(x) 取最小值−72；
当2x−π6=π3，即x=π4 时，f(x) 取最大值3−32．
【考点】
三角函数的周期性
平面向量数量积的性质及其运算
二倍角的正弦公式
二倍角的余弦公式
两角和与差的正弦公式
三角函数的最值
【解析】
（1）化简f(x)=m→⋅n→−n→2=23sinxcsx+12−(2cs2x+1)即可；
（2）当x∈[−π4,π4] 时，可得2x−π6∈[−2π3,π3]，即可求解．
【解答】
解：(1)f(x)=m→⋅n→−n→2
=23sinxcsx+12−(2cs2x+1)
=3sin2x−(cs2x+2)+12
=2sin(2x−π6)−32，
所以T=2π2=π．
(2)当x∈[−π4,π4] 时，2x−π6∈[−2π3,π3]，
∴ 当2x−π6=−π2，即x=−π6 时，f(x) 取最小值−72；
当2x−π6=π3，即x=π4 时，f(x) 取最大值3−32．
【答案】
解：(1)根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, |φ|<π2)的部分图象，
可得A=2，12⋅2πω=76−16，
∴ ω=π．
再根据五点法作图可得π⋅16+φ=π2，
∴ φ=π3，
∴ f(x)=2sin(πx+π3)．
(2)由fx在0,4上的图象可得，fx的图象与直线y=−32有4个交点，
则方程fx=−32有4个实数根，设这4个实数根分别为x1,x2,x3,x4x1由图可得，x1,x2关于直线x=76对称，所以x1+x2=73,
x3,x4关于直线x=196对称，所以x3+x4=193，
∴x1+x2+x3+x4=263.
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
正弦函数的对称性
【解析】
（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由题意利用正弦函数的图象的对称性，求得方程f(x)=−32在区间[0, 4]内的所有实数根之和．
【解答】
解：(1)根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, |φ|<π2)的部分图象，
可得A=2，12⋅2πω=76−16，
∴ ω=π．
再根据五点法作图可得π⋅16+φ=π2，
∴ φ=π3，
∴ f(x)=2sin(πx+π3)．
(2)由fx在0,4上的图象可得，fx的图象与直线y=−32有4个交点，
则方程fx=−32有4个实数根，设这4个实数根分别为x1,x2,x3,x4x1由图可得，x1,x2关于直线x=76对称，所以x1+x2=73,
x3,x4关于直线x=196对称，所以x3+x4=193，
∴x1+x2+x3+x4=263.
【答案】
解：(1)∵ AC→=(csθ,sinθ)−(2,0)=(csθ−2,sinθ)，
BC→=(csθ,sinθ)−(0,2)=(csθ,sinθ−2)，
∴ AC→⋅BC→=csθ(csθ−2)+sinθ(sinθ−2)=1−2(sinθ+csθ)=−13，
∴ sinθ+csθ=23，
∴ 两边平方，整理得，
sin2θ=−59；
(2)∵ OA→=(2,0)，OC→(csθ,sinθ)，
∴ OA→+OC→=(2+csθ,sinθ)，
∴ |OA→+OC→|=(2+csθ)2+sin2θ=7，
即4+4csθ+cs2θ+sin2θ=7，
∴ csθ=12，
又θ∈(−π, 0)，∴ θ=−π3.
又OB→=(0,2)，OC→=(12,−32)，
∴ cs=OB→⋅OC→|OB→|×|OC→|=0−32×1=−32，
∴ OB→与OC→的夹角=5π6．
【考点】
二倍角的正弦公式
数量积表示两个向量的夹角
平面向量数量积的运算
【解析】
（1）利用平面向量的数量积，结合三角函数的恒等公式，即可求出结果；
（2）利用平面向量的数量积表示出模长，结合三角函数的恒等式，平面向量的数量积，即可求出向量的夹角．
【解答】
解：(1)∵ AC→=(csθ,sinθ)−(2,0)=(csθ−2,sinθ)，
BC→=(csθ,sinθ)−(0,2)=(csθ,sinθ−2)，
∴ AC→⋅BC→=csθ(csθ−2)+sinθ(sinθ−2)=1−2(sinθ+csθ)=−13，
∴ sinθ+csθ=23，
∴ 两边平方，整理得，
sin2θ=−59；
(2)∵ OA→=(2,0)，OC→(csθ,sinθ)，
∴ OA→+OC→=(2+csθ,sinθ)，
∴ |OA→+OC→|=(2+csθ)2+sin2θ=7，
即4+4csθ+cs2θ+sin2θ=7，
∴ csθ=12，
又θ∈(−π, 0)，∴ θ=−π3.
又OB→=(0,2)，OC→=(12,−32)，
∴ cs=OB→⋅OC→|OB→|×|OC→|=0−32×1=−32，
∴ OB→与OC→的夹角=5π6．
【答案】
解：(1)∵ g(x)的函数图象开口向上，对称轴为x=1，
∴ g(x)在区间[2, 3]上是增函数，
故g(2)=1，g(3)=4，即1+b=1，3a+1+b=4，
解得a=1，b=0．
(2)由已知可得f(x)=x+1x−2，
∵ 不等式f(2x)−k⋅2x≥0可化为2x+12x−2−k⋅2x≥0，
∴ k≤(12x)2−22x+1，
令t=12x，由于x∈[−1,1]，
∴ t∈[12, 2]，
则k≤t2−2t+1=(t−1)2在[12,2]上有解，
设ℎ(t)=(t−1)2，
则ℎmax(t)=ℎ(2)=1，
∴ k≤1．
∴ k的取值范围是(−∞,1]．
【考点】
二次函数在闭区间上的最值
二次函数的性质
【解析】
（1）根据二次函数的性质判断g(x)的单调性，根据最值列出方程组解出a，b；
（2）化简不等式，分离参数得k≤(12x)2−22x+1在[−1, 1]上恒成立，设t=12x，利用换元法得出ℎ(t)=t2−2t+1在[12, 2]上的最小值即可得出a的范围．
【解答】
解：(1)∵ g(x)的函数图象开口向上，对称轴为x=1，
∴ g(x)在区间[2, 3]上是增函数，
故g(2)=1，g(3)=4，即1+b=1，3a+1+b=4，
解得a=1，b=0．
(2)由已知可得f(x)=x+1x−2，
∵ 不等式f(2x)−k⋅2x≥0可化为2x+12x−2−k⋅2x≥0，
∴ k≤(12x)2−22x+1，
令t=12x，由于x∈[−1,1]，
∴ t∈[12, 2]，
则k≤t2−2t+1=(t−1)2在[12,2]上有解，
设ℎ(t)=(t−1)2，
则ℎmax(t)=ℎ(2)=1，
∴ k≤1．
∴ k的取值范围是(−∞,1]．