2020-2021学年江西省赣州市瑞金市高二（下）3月月考数学（文）试卷北师大版

这是一份2020-2021学年江西省赣州市瑞金市高二（下）3月月考数学（文）试卷北师大版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 命题“∀x∈R，x2+x≥0”的否定是( )
A.∃x0∈R， x02+x0≤0B.∃x0∈R，x02+x0<0
C.∀x∈R，x2+x≤0D.∀x∈R，x2+x<0

2. 若复数z=2−i1+i，复数z在复平面对应的点为Z，则向量OZ→（O为原点）的模|OZ→|=( )
A.2B.2C.102D.52

3. 函数fx=13x2−lnx的单调递减区间为( )
A.62,+∞B.−62,62C.0,62D.−∞,62

4. 甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是( )

A.甲得分的极差是11B.乙得分的中位数是18.5
C.甲有3场比赛的单场得分超过20D.甲的单场平均得分比乙高

5. 已知F是抛物线y2=4x焦点，M，N是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，则MN的中点到准线距离为( )
A.32B.2C.3D.4

6. 执行如图所示的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为( )

A.x>3B.x>4C.x≤4D.x≤5

7. 已知椭圆C：x28+y23=1，过点M2,1的直线与椭圆C相交于P，Q两点，若弦PQ恰被点M平分，则直线PQ的斜率为( )
A.1B.−23C.−1D.−34

8. 如图，在正四面体P−ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是( )

A.BC // 平面PDFB.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面PAED.平面PDE⊥平面ABC

9. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为( )

A.2B.4C.6D.12

10. 正数a，b满足1a+9b=1，若不等式a+b≥−x2+4x+18−m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是( )
A.[3,+∞)B.[6,+∞）C.(−∞,3]D.(−∞,6]

11. 一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a>b，bA.13B.524C.16D.724

12. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C的右支上一点，连接PF1与y轴交于点M，若|F1O|=2|OM|(O为坐标原点)， PF1⊥PF2，则双曲线C的离心率为( )
A.5B.2C.2D.3
二、填空题

某市A，B，C三个区共有高中学生20000人，其中A区高中学生7000人，现采用分层抽样的方法从这三个区所有高中学生中抽取一个容量为600人的样本进行学习兴趣调查，则A区应抽取________.

函数fx的图象在点2,f2处的切线方程为2x−y−3=0，则f2+f′2=________．

过点3,−1且与双曲线x23−y2=1有公共渐近线的双曲线标准方程是________.

已知f(x)=ln(x2+1)，g(x)=(12)x−m，若∀x1∈[0, 3]，∃x2∈[1, 2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________.
三、解答题

命题p：实数m满足不等式m2−3am+2a2<0a>0；命题q：实数m满足方程x2m−1+y2m−5=1表示双曲线．
(1)若命题q为真命题，求实数m的取值范围；

(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．

(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为“体育迷”与性别有关？

(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．
附： K2=nad−bc2a+ba+cc+db+d

如图，点C是以AB为直径的圆O上异于A，B的一点，直角梯形BCDE所在平面与圆O所在平面垂直，且DE//BC，DC⊥BC，DE=12BC=2，AC=CD=3.

(1)证明： EO//平面ACD；

(2)求点E到平面ABD的距离．

已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1a>b>0的右顶点与抛物线C2：y2=2pxp≥0的焦点重合，C1的离心率为12，过C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截C2所得的弦长为42.
(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程；

(2)过点M3,0的直线l与椭圆C1交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为点E，证明：直线AE过定点．

已知函数f(x)=13x3−bx2+2x+a，x=2是f(x)的一个极值点．
(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)若当x∈[1, 3]时，f(x)−a2>23恒成立，求实数a的取值范围．

已知函数fx=x−2ex−12ax2+axa∈R.
(1)当a=0时，求曲线y=fx在点0,f0处的切线方程；

(2)若a>0，讨论函数fx的单调性；

(3)当x≥2时， fx≥0恒成立，求a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省赣州市瑞金市高二（下）3月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
命题的否定
全称命题与特称命题
【解析】
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】
解：命题为全称命题，
则命题的否定为：“∃x0∈R，x02+x0<0”.
故选B．
2.
【答案】
C
【考点】
复数的模
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
根据|OZ→|=|z|，计算模长即可．
【解答】
解：依题意知，|OZ→|=|z|=|2−i1+i|=22+−1212+12=102.
故选C．
3.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
求导数fx，然后在定义域内解不等式fx<0可得答案．
【解答】
解：函数fx的定义域为0,+∞，
f′x=23x−1x=2x2−33x=2x+62x−623x.
令f′x<0，
即2x+62x−623x<0，得0所以函数fx=13x2−lnx的单调递减区间为0,62.
故选C．
4.
【答案】
D
【考点】
极差、方差与标准差
众数、中位数、平均数
茎叶图
【解析】
根据茎叶图，折线图整合数据，判断选项．
【解答】
解：甲得分的极差为28−9=19，故A选项不符合题意；
乙得分的中位数为16+172=16.5，故B选项不符合题意；
由甲得分的折线图可知，甲运动员得分有2次超过20，故C选项不符合题意；
根据茎叶图和折线图可知，
甲的单场平均得分大于9+12+13+20+26+28+10+158=16.625，
乙的单场平均得分为9+14+15+18+19+17+16+208=16，
故甲的单场平均得分比乙高，故D选项符合题意.
故选D．
5.
【答案】
C
【考点】
抛物线的性质
抛物线的定义
【解析】
根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到该抛物线准线的距离．
【解答】
解：∵ F是抛物线y2=4x的焦点，
∴ F(1, 0)，准线方程x=−1.
设M(x1, y1)，N(x2, y2)，
∴ |MF|+|NF|=x1+1+x2+1=6，
解得x1+x2=4，
∴ 线段AB的中点横坐标为2，
∴ 线段AB的中点到该抛物线准线的距离为2+1=3．
故选C.
6.
【答案】
B
【考点】
程序框图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：当x=4 ，输出y=2，则由y=lg2x输出，需要x>4.
故选B．
7.
【答案】
D
【考点】
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
【解析】
先设出P，Q的坐标，然后代入椭圆方程，利用点差法即可求解．
【解答】
解：由题意，设Px1,y1 ，Qx2,y2，
可得 x128+y123=1,x228+y223=1,
两式相减得x1+x2x1−x28+y1+y2y1−y23=0，
整理得y1−y2x1−x2=−38⋅x1+x2y1+y2.
又由弦PQ被点M2,1平分，
则1=y1+y22，2=x1+x22，
即x1+x2=4，y1+y2=2，
代入可得y1−y2x1−x2=−34，
即直线PQ的斜率为−34.
故选D．
8.
【答案】
D
【考点】
空间中平面与平面之间的位置关系
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
正四面体P−ABC即正三棱锥P−ABC，所以其四个面都是正三角形，在正三角形中，联系选项B、C、D中有证明到垂直关系，应该联想到“三线合一”．D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，由中位线定理可得BC // DF，所以BC // 平面PDF，进而可得答案．
【解答】
解：A，由题意知，D，F分别是AB，CA的中点，
则DF // BC.
又DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，
所以BC // 平面PDF.
故选项正确；
B，在正四面体P−ABC中，
△ABC，△PBC为等边三角形.
因为E是BC的中点，
所以BC⊥AE，BC⊥PE.
又AE∩PE=E，AE⊂平面PAE，PE⊂平面PAE，
所以BC⊥平面PAE.
因为DF // BC，
所以DF⊥平面PAE.
故选项正确；
C，因为DF⊥平面PAE，DF⊂平面PDF，
所以平面PDF⊥平面PAE.
故选项正确；
D，点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，
不在中位线DE上.
故选项错误．
故选D．
9.
【答案】
A
【考点】
由三视图求体积
【解析】
首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．
【解答】
解：由三视图可知，该三棱锥的顶点为长方体的顶点，
其直观图如图所示：
故该三棱锥的体积为：13×12×3×2×2=2.
故选A．
10.
【答案】
B
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
函数恒成立问题
【解析】
利用基本不等式求得a+b的最小值，把问题转化为m≥−x2+4x+2对任意实数x恒成立，再利用配方法求出−x2+4x+2的最大值得答案．
【解答】
解：∵ a>0，b>0且1a+9b=1，
∴ a+b=a+b 1a+9b=10+ba+9ab
≥10+2ba⋅9ab=16，
当且仅当3a=b，即a=4，b=12时，a+bmin=16.
若不等式a+b≥−x2+4x+18−m对任意实数x恒成立，
则−x2+4x+18−m≤16，
即m≥−x2+4x+2对任意实数x恒成立.
∵ −x2+4x+2=−x−22+6≤6，
∴ m≥6，
∴ 实数m的取值范围是[6,+∞).
故选B．
11.
【答案】
A
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：组成各数位上的数字不重复的三位自然数的基本事件共有24种，
而满足三位数是“凹数”的有
214，213，312，314，324，412，413，423，
共有8种，
所以这个三位数为“凹数”的概率为824=13．
故选A．
12.
【答案】
A
【考点】
双曲线的定义
双曲线的离心率
【解析】
首先利用相似三角形，可知|OF1||OM|=|PF1||PF2|=2，再结合双曲线的定义，求|PF1|和|PF2|，最后根据勾股定理求双曲线的离心率．
【解答】
解：如图，由条件可知△OMF1∽△PF2F1，
则|OF1||OM|=|PF1||PF2|=2，
得|PF1|=2|PF2|.
又因为|PF1|−|PF2|=2a，
则|PF1|=4a，|PF2|=2a，
根据勾股定理可知16a2+4a2=4c2，
解得：e=ca=5．
故选A．
二、填空题
【答案】
210
【考点】
分层抽样方法
【解析】
根据总体数和要抽取的样本数，得到每个个体被抽到的概率，利用这个概率乘以A区的人数，得到A区要抽取的人数．
【解答】
解：由题意知A区在样本中的比例为700020000，
∴A区应抽取的人数是700020000×600=210.
故答案为：210．
【答案】
3
【考点】
导数的几何意义
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
先将x=2代入切线方程可求出f(2)，再由切点处的导数为切线斜率可求出f′(2)的值，最后相加即可．
【解答】
解：根据题意，函数fx的图象在点(2,f(2))处的切线方程为2x−y−3=0，即
y=2x−3，
则有f2=1.
又由切线的斜率k=2，则f′2=2，
则f2+f′2=1+2=3．
故答案为：3．
【答案】
x26−y22=1
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的渐近线
【解析】
据共渐近线的双曲线的方程的一般形式设出双曲线的方程，将3,−1的坐标代入求出待定系数λ，即得到要求的双曲线方程．
【解答】
解：设所求双曲线的方程为双曲线x23−y2=λλ≠0，
将点3,−1代入得λ=2，
所求双曲线的标准方程为：x26−y22=1．
故答案为： x26−y22=1．
【答案】
14,+∞
【考点】
函数恒成立问题
【解析】
先利用函数的单调性求出两个函数的函数值的范围，再比较其最值即可求实数m的取值范围．
【解答】
解：因为x1∈[0, 3]时，f(x1)∈[0, ln10]；
x2∈[1, 2]时，g(x2)∈[14−m, 12−m]．
故只需0≥14−m⇒m≥14．
故答案为：14,+∞．
三、解答题
【答案】
解：(1)若实数m满足方程x2m−1+y2m−5=1表示双曲线，
则m−1m−5<0，
解得：1(2)由m2−3am+2a2<0，得m|a若p是q的充分不必要条件，
则m|a所以a≥1，2a≤5，a>0，解得1≤a≤52，
所以若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是1≤a≤52.
【考点】
命题的真假判断与应用
双曲线的标准方程
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)若实数m满足方程x2m−1+y2m−5=1表示双曲线，
则m−1m−5<0，
解得：1(2)由m2−3am+2a2<0，得m|a若p是q的充分不必要条件，
则m|a所以a≥1，2a≤5，a>0，解得1≤a≤52，
所以若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是1≤a≤52.
【答案】
解：(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而完成列联表如下，
将2×2列联表中的数据代入公式计算，
得K2=100×30×10−45×15275×25×45×55=10033≈3.030<3.841，
∴ 没有95%的把握认为“体育迷”与性别有关.
(2)由频率分布直方图可知“超级体育迷”为5人，
设a1,a2,a3是3名男超级体育迷，b1,b2是2名女超级体育迷，
从而一切可能结果所组成基本事件为：
a1,a2,a1,a3,a2,a3,a1,b1,a1,b2，
a2,b1,a2,b2,a3,b1,a3,b2,b1,b2，
则由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的，
用A表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，
则A由a1,b1,a1,b2,a2,b1,a2,b2,a3,b1,a3,b2,b1,b2这7个基本事件组成，
因而PA=710.
【考点】
频率分布直方图
独立性检验
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】


【解答】
解：(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而完成 列联表如下，
将2×2列联表中的数据代入公式计算，
得K2=100×30×10−45×15275×25×45×55=10033≈3.030<3.841，
∴ 没有95%的把握认为“体育迷”与性别有关.
(2)由频率分布直方图可知“超级体育迷”为5人，
设a1,a2,a3是3名男超级体育迷，b1,b2是2名女超级体育迷，
从而一切可能结果所组成基本事件为：
a1,a2,a1,a3,a2,a3,a1,b1,a1,b2，
a2,b1,a2,b2,a3,b1,a3,b2,b1,b2，
则由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的，
用A表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，
则A由a1,b1,a1,b2,a2,b1,a2,b2,a3,b1,a3,b2,b1,b2这7个基本事件组成，
因而PA=710.
【答案】
(1)证明：如图，取BC的中点M，连接OM，ME．
在△ABC中，∵ O是AB的中点，M是BC的中点，
∴ OM//AC，
∵ AC⊄平面EMO，MO⊂平面EMO，
∴ AC//平面EMO.
在直角梯形BCDE中， ∵ DE//CB，且DE=CM，
∴ 四边形MCDE是平行四边形，
∴ EM//CD.
同理 CD//平面EMO.
∵ CD∩AC=C，
∴ 平面EMO//平面ACD.
∵ EO⊂平面EMO，
∴ EO//平面ACD．
(2)解：∵ AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的一点，
∴ AC⊥BC.
又∵ 平面BCDE⊥平面ABC，平面BCDE∩平面ABC=BC，
∴ AC⊥平面BCDE.
可得AC是三棱锥A−BDE的高线．
在直角梯形BCDE中， S△BDE=12DE⋅CD=12×2×3=3.
设E到平面ABD的距离为ℎ，则VE−ABD=VA−EBD，
即13S△ABD⋅ℎ=13S△EBD⋅AC，
由已知得，AB=5，BD=5，AD=32，
由余弦定理易知： cs∠ABD=1625，
则S△ABD=12AB⋅BD⋅sin∠ABD=3412，
解得：ℎ=64141，即点E到平面ABD的距离为64141.
【考点】
点、线、面间的距离计算
直线与平面平行的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】


【解答】
(1)证明：如图，取BC的中点M，连接OM，ME．
在△ABC中，∵ O是AB的中点，M是BC的中点，
∴ OM//AC，
∵ AC⊄平面EMO，MO⊂平面EMO，
∴ AC//平面EMO.
在直角梯形BCDE中， ∵ DE//CB，且DE=CM，
∴ 四边形MCDE是平行四边形，
∴ EM//CD.
同理 CD//平面EMO.
∵ CD∩AC=C，
∴ 平面EMO//平面ACD.
∵ EO⊂平面EMO，
∴ EO//平面ACD．
(2)解：∵ AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的一点，
∴ AC⊥BC.
又∵ 平面BCDE⊥平面ABC，平面BCDE∩平面ABC=BC，
∴ AC⊥平面BCDE.
可得AC是三棱锥A−BDE的高线．
在直角梯形BCDE中， S△BDE=12DE⋅CD=12×2×3=3.
设E到平面ABD的距离为ℎ，则VE−ABD=VA−EBD，
即13S△ABD⋅ℎ=13S△EBD⋅AC，
由已知得，AB=5，BD=5，AD=32，
由余弦定理易知： cs∠ABD=1625，
则S△ABD=12AB⋅BD⋅sin∠ABD=3412，
解得：ℎ=64141，即点E到平面ABD的距离为64141.
【答案】
1解：由C1的离心率为12，
可得ca=12 ，
所以a=2c.
因为椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，
所以a=p2 ，即p=2a，
所以p=4c.
过C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截C2所得的弦长为42，
令x=c代入抛物线的方程，
可得y2=2p⋅c，
所以|y|=2pc=22c，
即42=2⋅22c ，
解得c=1 ，
所以a=2，p=4，c=1.
由b2=a2−c2可得b2=4−1=3，
所以椭圆C1的方程为x24+y23=1，
抛物线C2的方程为：y2=8x.
(2)证明：由题意可得直线l的斜率存在且不为0.
设直线l的方程为：x=my+3，
设Ax1,y1，Bx2,y2，
由题意可得Ex2,−y2.
直线与椭圆联立x=my+3,3x2+4y2−12=0,
整理可得：4+3m2y2+18my+15=0，
所以Δ=182m2−44+3m2×15=144m2−240>0，
解得m<−153或m>153，
y1+y2=−18m4+3m2，y1y2=154+3m2.
因为直线AE的方程为y−y1=y1+y2x1−x2x−x1 ，
整理可得y=y1+y2x1−x2x−y1x1+y2x1x1−x2+y1x1−y1x2x1−x2
=y1+y2my1−y2x−y2my1+3+y1my2+3my1−y2
=−18y1−y24+3m2x+24(y1−y2)(4+3m2)
=−18(y1−y2)(4+3m2)x−43，
所以当x=43时，y=0，即过定点43,0，
所以可证直线AE过定点43,0.
【考点】
椭圆的标准方程
抛物线的标准方程
直线的两点式方程
直线恒过定点
【解析】
利用所提供的的条件求出椭圆与抛物线中的基础量即可.
利用直线与椭圆的位置关系求解.
【解答】
1解：由C1的离心率为12，
可得ca=12 ，
所以a=2c.
因为椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，
所以a=p2 ，即p=2a，
所以p=4c.
过C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截C2所得的弦长为42，
令x=c代入抛物线的方程，
可得y2=2p⋅c，
所以|y|=2pc=22c，
即42=2⋅22c ，
解得c=1 ，
所以a=2，p=4，c=1.
由b2=a2−c2可得b2=4−1=3，
所以椭圆C1的方程为x24+y23=1，
抛物线C2的方程为：y2=8x.
(2)证明：由题意可得直线l的斜率存在且不为0.
设直线l的方程为：x=my+3，
设Ax1,y1，Bx2,y2，
由题意可得Ex2,−y2.
直线与椭圆联立x=my+3,3x2+4y2−12=0,
整理可得：4+3m2y2+18my+15=0，
所以Δ=182m2−44+3m2×15=144m2−240>0，
解得m<−153或m>153，
y1+y2=−18m4+3m2，y1y2=154+3m2.
因为直线AE的方程为y−y1=y1+y2x1−x2x−x1 ，
整理可得y=y1+y2x1−x2x−y1x1+y2x1x1−x2+y1x1−y1x2x1−x2
=y1+y2my1−y2x−y2my1+3+y1my2+3my1−y2
=−18y1−y24+3m2x+24(y1−y2)(4+3m2)
=−18(y1−y2)(4+3m2)x−43，
所以当x=43时，y=0，即过定点43,0，
所以可证直线AE过定点43,0.
【答案】
解：(1)f′(x)=x2−2bx+2．
∵ x=2是f(x)的一个极值点，
∴ x=2是方程x2−2bx+2=0的一个根，解得b=32．
令f′(x)>0，则x2−3x+2>0，解得x<1或x>2．
∴ 函数y=f(x)的单调递增区间为(−∞, 1)，(2, +∞)．
(2)∵ 当x∈(1, 2)时，f′(x)<0；
当x∈(2, 3)时，f′(x)>0，
∴ f(x)在(1, 2)上单调递减，f(x)在(2, 3)上单调递增．
∴ f(2)是f(x)在区间[1, 3]上的最小值，且 f(2)=23+a．
若当x∈[1, 3]时，要使f(x)−a2>23恒成立，
只需f(2)>a2+23，
即23+a>a2+23，解得 0【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
函数恒成立问题
【解析】
（1）先求导函数，然后根据x=2是f(x)的一个极值点建立等式关系，求出b，然后解不等式f′(x)>0即可求出函数的单调增区间；
（2）先利用导数求出函数f(x)在区间[1, 3]上的最小值，若当x∈[1, 3]时，要使f(x)−a2>23恒成立，只需f(x)min>a2+23，即可求出a的范围．
【解答】
解：(1)f′(x)=x2−2bx+2．
∵ x=2是f(x)的一个极值点，
∴ x=2是方程x2−2bx+2=0的一个根，解得b=32．
令f′(x)>0，则x2−3x+2>0，解得x<1或x>2．
∴ 函数y=f(x)的单调递增区间为(−∞, 1)，(2, +∞)．
(2)∵ 当x∈(1, 2)时，f′(x)<0；
当x∈(2, 3)时，f′(x)>0，
∴ f(x)在(1, 2)上单调递减，f(x)在(2, 3)上单调递增．
∴ f(2)是f(x)在区间[1, 3]上的最小值，且 f(2)=23+a．
若当x∈[1, 3]时，要使f(x)−a2>23恒成立，
只需f(2)>a2+23，
即23+a>a2+23，解得 0【答案】
解：(1)当a=0时，fx=x−2ex，
f0=0−2e0=−2，
f′x=x−1ex，
k=f′0=0−1e0=−1，
所以切线方程为：y+2=−x−0，即：y=−x−2.
(2)由题fx=x−2ex−12ax2+ax，
可得f′x=x−1ex−ax+a=x−1ex−a.
由于a>0，f′x=0的解为x1=lna，x2=1，
①当lna=1，即a=e时，f′x≥0，则fx在(−∞,+∞)上单调递增；
②当lna<1，即0在区间−∞,lna，1,+∞上，f′x>0；
在区间lna,1上，f′x<0，
所以fx的单调增区间为−∞,lna，1, +∞；单调减区间为lna,1．
③当lna>1，即a>e时，
在区间−∞,1，lna,+∞上，f′x>0；
在区间1,lna上，f′x<0，
则fx在−∞,1，lna,+∞上单调递增，1,lna上单调递减．
(3)f′x=x−1ex−a.
①当a≤0时，因为x≥2，
所以x−1>0，ex−a>0，
所以f′x>0，
则fx在[2,+∞)上单调递增，fx≥f2=0成立；
②当00，
所以fx在[2,+∞)上单调递增，所以fx≥f2=0成立；
③当a>e2时，在区间2,lna上，f′x<0；
在区间lna,+∞，f′x>0，
所以fx在2,lna上单调递减，lna,+∞上单调递增，
所以存在x0∈2,lna，fx0综上所述，a的取值范围是(−∞,e2]．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
函数恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)当a=0时，fx=x−2ex，
f0=0−2e0=−2，
f′x=x−1ex，
k=f′0=0−1e0=−1，
所以切线方程为：y+2=−x−0，即：y=−x−2.
(2)由题fx=x−2ex−12ax2+ax，
可得f′x=x−1ex−ax+a=x−1ex−a.
由于a>0，f′x=0的解为x1=lna，x2=1，
①当lna=1，即a=e时，f′x≥0，则fx在(−∞,+∞)上单调递增；
②当lna<1，即0在区间−∞,lna，1,+∞上，f′x>0；
在区间lna,1上，f′x<0，
所以fx的单调增区间为−∞,lna，1, +∞；单调减区间为lna,1．
③当lna>1，即a>e时，
在区间−∞,1，lna,+∞上，f′x>0；
在区间1,lna上，f′x<0，
则fx在−∞,1，lna,+∞上单调递增，1,lna上单调递减．
(3)f′x=x−1ex−a.
①当a≤0时，因为x≥2，
所以x−1>0，ex−a>0，
所以f′x>0，
则fx在[2,+∞)上单调递增，fx≥f2=0成立；
②当00，
所以fx在[2,+∞)上单调递增，所以fx≥f2=0成立；
③当a>e2时，在区间2,lna上，f′x<0；
在区间lna,+∞，f′x>0，
所以fx在2,lna上单调递减，lna,+∞上单调递增，
所以存在x0∈2,lna，fx0综上所述，a的取值范围是(−∞,e2]．
非体育迷
体育迷
合计
男
女
合计
P(k2>k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
非体育迷
体育迷
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
非体育迷
体育迷
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100