2020-2021学年江西省上饶市高一（下）4月月考数学试卷 (4)北师大版

这是一份2020-2021学年江西省上饶市高一（下）4月月考数学试卷 (4)北师大版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 将315∘化为弧度为( )
A.4π3B.5π3C.7π6D.7π4

2. 把角α终边逆时针方向旋转π2后经过点P−12,32，则csα=( )
A.12B.−12C.32D.−32

3. 一个圆心角为60∘的扇形，它的弧长是4π，则扇形的内切圆(与扇形的弧和半径相切)的半径等于( )
A.2B.4C.2πD.4π

4. 终边为第一象限和第三象限的平分线的角的集合是( )
A.α|α=45∘+k⋅360∘,k∈ZB.α|α=−135∘+k⋅180∘,k∈Z
C.α|α=−135∘+k⋅360∘,k∈ZD.α|α=135+k⋅180∘,k∈Z

5. 设θ是第三象限角，且|csθ2|=−csθ2，则θ2是( )
A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

6. 函数y=lg2sinx−1的定义域为( )
A.x|kπ+π6B.x|kπ+π3C.{x|2kπ+π6D.x|2kπ+π3
7. 为了得到函数gx=sin2x的图象，需将函数fx=sinπ6−2x的图象( )
A.向左平移π6个单位长度B.向右平移π12个单位长度
C.向左平移5π12个单位长度D.向右平移5π12个单位长度

8. 已知函数fx=Acsωx+φA>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )

A.fx=2cs12x−π3
B.不等式fx>1的解集为2kπ−π3,2kπ+π，k∈Z
C.函数fx的一个单调递减区间为π6,7π6
D.若将函数fx的图象向右平移2π3个单位长度后所得图象对应的函数记为gx，则gx是奇函数

9. 直线l被圆x2+y2=4截得的弦长为23，若直线l分别与x，y轴交于A，B两点，则|AB|最小值为( )
A.4B.23C.22D.2

10. 函数f(x)=sinx+2|sinx|，x∈[0, 2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是( )
A.(0, 1)B.(0, 3)C.(1, 3)D.(0, 2)

11. 定义在R上的奇函数fx=sin2x+φ|φ|≤π2的图象向右平移π6个单位长度后与函数gx的图象重合，则函数gx在−π2,π2的单调递增区间为( )
A.−5π12,π12B.−π12,5π12
C.−π2,−5π12和π12,π2D.−π2,−π12和5π12,π2

12. 已知x1=π3，x2=5π6是函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0， 0<φ<π2)相邻的两个零点，若函数gx=|fx−12|在−π4,m 上的最大值为1，则m的取值范围是( )
A.−π4,π3B.−π4,π2C.−π4,5π12D.−π4,7π12
二、填空题

函数fx=lgcsx的单调递增区间为________.
三、解答题

已知直线2x−3y+1=0和直线x+y−2=0的交点为P．
(1)求过点P且与直线3x−y−1=0平行的直线方程；

(2)若直线l1与直线3x−y−1=0垂直，且P到l1的距离为2105，求直线l1的方程．

已知fα=sinπ+α⋅sinπ−α+cs2π−α⋅csπ2−αsin3π+α⋅cs2π−α.
(1)化简fα；

(2)若α的终边经过点P−3,4，求fα.

已知x∈[−π3, 2π3]．
(1)求函数y=csx的值域；

(2)求函数y=−3sin2x−4csx+4的最大值和最小值．

已知直线L：x−y+3=0，圆A：(x−4)2+(y−3)2=4，点B(−2,−3).

(1)求圆上一点到直线的距离的最大值；

(2)从点B发出的一条光线经直线L反射后与圆有交点，求反射光线的斜率的取值范围.

已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,|φ|<π2的图象如图．

(1)求fx的单调递增区间；

(2)将函数y=fx的图象向右平移π4个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到gx 的图象，且关于x的方程gx−m=0在0,π2上有解，求m的取值范围．

已知圆M的方程为x2+y−22=1，直线l的方程为x−2y=0，点P在直线上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．

(1)若点P的坐标为1,12，求切线PA，PB方程；

(2)求四边形PAMB面积的最小值；

(3)求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点坐标．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省上饶市高一(下)4月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
弧度与角度的互化
【解析】
利用角度与弧度的互化公式即可得出．
【解答】
解：∵ 1∘=π180∘，
∴ 315∘=315∘×π180∘=7π4.
故选D.
2.
【答案】
C
【考点】
任意角的三角函数
【解析】
根据三角函数的定义进行求解即可．
【解答】
解：由题意可得：sinα+π2=32 ，
即csα=sinα+π2=32.
故选C．
3.
【答案】
B
【考点】
弧长公式
解三角形
【解析】
设扇形内切圈的半径为至，扇形所在圈的半径为r，求得，r=3x，结合弧长公式．列出方程，即可求解．
【解答】
解：如图所示：
设扇形内切圆的半径为x，扇形所在圆的半径为r，
即OD=x，CB=r，
过点O作OD⊥CD，
在直角△CDO中 ，可得CO=ODsin30∘=2x，
所以扇形的半径为r=2x+x=3x，
又由扇形的弧长公式，可得π3×3x=4π，
解得：x=4，
即扇形的内切圆半径等于4.
故选B．
4.
【答案】
B
【考点】
终边相同的角
【解析】
利用终边相同的角求解即可.
【解答】
解：终边为第一象限的平分线的角的集合是α∣α=45∘+k⋅360∘,k∈Z①，
终边为第三象限的平分线的角的集合是α∣α=−135∘+k⋅360∘,k∈Z②，
由①②得：α∣α=−135∘+k⋅180∘,k∈Z.
故选B.
5.
【答案】
B
【考点】
三角函数值的符号
【解析】
根据三角函数的符号和象限之间的关系进行判断即可．
【解答】
解：∵ θ是第三象限角，
∴ θ2在第二象限或在第四象限，
由|csθ2|=−csθ2，
可知csθ2≤0，
∴ θ2是第二象限角.
故选B.
6.
【答案】
C
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
由题意得到2sinx−1>0，解不等式求出函数的定义域即可．
【解答】
解：根据题意可得，2sinx−1>0，
则sinx>12，
∴ 2kπ+π6∴ 函数的定义域为{x|2kπ+π6故选C．
7.
【答案】
D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
根据y=Asinωx+φ 的图象变换规律，得出结论．
【解答】
解：f(x)=sinπ6−2x
=sinπ−π6−2x
=sin2x+5π6
=sin[2x+5π12]，
所以将f(x)=sinπ6−2x的图象向右平移5π12个单位长度可以得到函数g(x)=sin2x的图象．
故选D．
8.
【答案】
D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
余弦函数的图象
余弦函数的单调性
正弦函数的奇偶性
【解析】
由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出w，由五点法作图求出ϕ的值，可得 fx的解析式．再根据函数y=Acsωx+ϕ的图象变换规律，三角函数的图象和性质，得出结论．
【解答】
解：由函数图象可得，A=2，14⋅2πω=π3+2π3，
∴ ω=12，
当x=π3时，fπ3=2cs12×π3+φ=2，
∵ |φ|<π2，
∴ φ=−π6，
∴ f(x)=2csx2−π6，故A错误；
不等式f(x)>1，即2csx2−π6>1，
∴ csx2−π6>12，
∴ 2kπ−π3≤x2−π6≤2kπ+π3，
求得4kπ−π3≤x≤4kπ+π，
故不等式的解集为：4kπ−π3, 4kπ+π，k∈Z， 故B错误；
当x∈π6,7π6时， x2−π6∈−π12,5π12，
fx没有单调性，故C错误；
将函数fx的图象向右平移2π3个单位长度后所得图象对应的函数为：
gx=2csx2−π3−π6
=2cs(x2−π2)
=2sinx2，
则gx是奇函数，故D正确．
故选D.
9.
【答案】
D
【考点】
圆的标准方程
基本不等式在最值问题中的应用
点到直线的距离公式
两点间的距离公式
【解析】

【解答】
解：由x2+y2=4可知，圆心为0,0，半径为r=2.
设圆心到直线l的距离为d，
则d2=r2−2322=4−3=1，
所以d=1.
设直线l的方程为y=kx+bk≠0，
则d=|b|1+k2=1，
所以b2=k2+1.
令x=0可得y=b，即B0,b，
令y=0可得x=−bk，即A−bk,0，
所以|AB|=b2k2+b2=k2+1k2+k2+1
=k2+1k2+2≥2+2=2，
当且仅当k2=1k2，即k=±1时，等号成立，
此时AB最小值为2.
故选D．
10.
【答案】
C
【考点】
函数的值域及其求法
正弦函数的图象
分段函数的应用
【解析】
先将解析式中的绝对值去掉，再利用数形结合来求解k的取值范围．
【解答】
解：由题意知：f(x)=sinx+2|sinx|=3sinx,0≤x≤π，−sinx,π其图象如图所示：
因为函数f(x)的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，
所以k∈(1, 3).
故选C．
11.
【答案】
B
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
函数y=Asin（ωx+φ）的性质
正弦函数的单调性
【解析】
首先利用函数是奇函数求φ，再利用平移规律求函数gx，再求函数的单调递增区间．
【解答】
解：因为函数fx是奇函数，又|φ|≤π2 ，
所以φ=0，
所以fx=sin2x ，
所以gx=sin2x−π6=sin2x−π3，
根据正弦函数的性质，
令−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，k∈Z，
解得−π12+kπ≤x≤5π12+kπ，k∈Z，
又因为x∈−π2,π2 ，
所以−π12≤x≤5π12，
即函数的单调递增区间是−π12,5π12 ．
故选B．
12.
【答案】
C
【考点】
正弦函数的图象
函数y=Asin（ωx+φ）的性质
【解析】
先利用三角函数的性质得到ω=2，再根据fπ3=0及0<φ<π2得到φ=π3，然后根据三角函数的性质得到关于m的不等式，解不等式即可得到结果．
【解答】
解：设函数fx的最小正周期为T，
由题意可得T2=5π6−π3，
则T=π，
所以2πω=π，
所以ω=2，
则fx=sin2x+φ，
令x=π3，则2×π3+φ=kπ，k∈Z，
即φ=kπ−2π3，k∈Z，
又0<φ<π2，
所以φ=π3，
所以fx=sin2x+π3．
因为函数gx=|fx−12|在−π4,m上的最大值为1，
且当x∈−π4,m时，−π6≤2x+π3≤2m+π3，
所以−π6<2m+π3≤7π6，
所以−π4故选C．
二、填空题
【答案】
−π2+2kπ,2kπ(k∈Z)
【考点】
复合函数的单调性
余弦函数的单调性
余弦函数的定义域和值域
【解析】
令t=csx，则fx=gt=lgt，故本题即求t>0时，函数t的增区间，再利用余弦函数的图象可得结论．
【解答】
解：令t=csx，由t=csx>0，
可得x的取值范围为−π2+2kπ,π2+2kπ(k∈Z)，
且当x∈−π2+2kπ,2kπ(k∈Z)时，t=csx是增函数，
又lgt是增函数，
可得−π2+2kπ,2kπ(k∈Z)是函数fx=lgcsx的单调递增区间.
故答案为： −π2+2kπ,2kπ(k∈Z).
三、解答题
【答案】
解：(1)联立2x−3y+1=0，x+y−2=0,
解得x=1，y=1.
设与直线3x−y−1=0平行的直线方程为3x−y+c1=0(c1≠−1).
把交点P(1, 1)代入可得3−1+c1=0，
∴ c1=−2，
∴ 所求的直线方程为：3x−y−2=0．
(2)设与直线3x−y−1=0垂直的直线方程为l1:x+3y+c2=0，
∵ P(1, 1)到l1的距离为|1+3+c2|10=2105，
解得c2=0或−8，
∴ 直线l1的方程为：x+3y=0或x+3y−8=0．
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系
直线的一般式方程与直线的垂直关系
点到直线的距离公式
【解析】
由两直线方程联立求得交点坐标．
(Ⅰ)根据平行关系求出斜率，写出直线的方程；
(Ⅱ)根据直线l1与直线3x−y−1＝0垂直，设出直线l1的方程，再由两点间的距离公式求得系数．

【解答】
解：(1)联立2x−3y+1=0，x+y−2=0,
解得x=1，y=1.
设与直线3x−y−1=0平行的直线方程为3x−y+c1=0(c1≠−1).
把交点P(1, 1)代入可得3−1+c1=0，
∴ c1=−2，
∴ 所求的直线方程为：3x−y−2=0．
(2)设与直线3x−y−1=0垂直的直线方程为l1:x+3y+c2=0，
∵ P(1, 1)到l1的距离为|1+3+c2|10=2105，
解得c2=0或−8，
∴ 直线l1的方程为：x+3y=0或x+3y−8=0．
【答案】
解：(1)fα=sinπ+α⋅sinπ−α+cs2π−α⋅csπ2−αsin3π+α⋅cs2π−α
=−sinα⋅sinα+csα⋅sinα−sinα⋅csα
=sinα(csα−sinα)−sinα⋅csα
=csα−sinα−csα
=−1+sinαcsα.
(2)因为α的终边经过点P−3,4，
所以sinα=45，csα=−35，
所以fα=−1+sinαcsα
=−1+45−35
=−1−43
=−73.
【考点】
运用诱导公式化简求值
三角函数的化简求值
任意角的三角函数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)fα=sinπ+α⋅sinπ−α+cs2π−α⋅csπ2−αsin3π+α⋅cs2π−α
=−sinα⋅sinα+csα⋅sinα−sinα⋅csα
=sinα(csα−sinα)−sinα⋅csα
=csα−sinα−csα
=−1+sinαcsα.
(2)因为α的终边经过点P−3,4，
所以sinα=45，csα=−35，
所以fα=−1+sinαcsα
=−1+45−35
=−1−43
=−73.
【答案】
解：(1)∵ x∈[−π3, 2π3]，
∴ 当x=2π3时，函数y=csx取最小值cs2π3=−12，
当x=0时，函数y=csx取最大值cs0=1，
∴ 函数y=csx的值域为[−12, 1].
(2)化简可得y=−3sin2x−4csx+4
=−3(1−cs2x)−4csx+4
令csx=t，由(1)知t∈[−12, 1]，
代入可得y=3t2−4t+1，t∈[−12, 1]，
y=3t2−4t+1
=3(t−23)2−13，
由二次函数的性质可知，
当t=23时，y取最小值−13，
当t=−12时，y取最大值154．
【考点】
余弦函数的定义域和值域
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
（1）由x的范围结合余弦函数的性质可得；
（2）化简可得y=−3(1−cs2x)−4csx+4，换元，令csx=t，由二次函数区间的最值可得．
【解答】
解：(1)∵ x∈[−π3, 2π3]，
∴ 当x=2π3时，函数y=csx取最小值cs2π3=−12，
当x=0时，函数y=csx取最大值cs0=1，
∴ 函数y=csx的值域为[−12, 1].
(2)化简可得y=−3sin2x−4csx+4
=−3(1−cs2x)−4csx+4
令csx=t，由(1)知t∈[−12, 1]，
代入可得y=3t2−4t+1，t∈[−12, 1]，
y=3t2−4t+1
=3(t−23)2−13，
由二次函数的性质可知，
当t=23时，y取最小值−13，
当t=−12时，y取最大值154．
【答案】
解：(1)∵ 直线L：x−y+3=0，圆A：(x−4)2+(y−3)2=4，
∴ 圆心A4,3，半径r=2，
圆心A到直线L的距离d=|4−3+3|1+1=22，
∴ 圆上一点到直线的距离的最大值为：
dmax=d+r=22+2.
(2)过点B−2,−3 作直线L的垂线L1:x+y+c=0，
代入点B−2,−3，得c=5，
∴ L1:x+y+5=0，
设点B关于L的对称点B′x0,−x0−5，
点B′到直线L的距离：
d′=|x0+x0+5+3|1+1=2|x0+4|
=|−2+3+3|2=22，
∴ |x0+4|=2，
解得x0=−6，或x0=−2（舍），
∴ B′−6,1，
∵ 反射光线过点B′，
∴ 设反射光线为l2:y=kx+6k+1，
圆心A4,3到反射光线为l2:y=kx+6k+1的距离：
d=|4k−3+6k+1|k2+1=2，
解得k=0或k=512，
∴ 反射光线的斜率的取值范围是[0,512].
【考点】
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
直线的斜率
【解析】
（1）求出圆心到直线】的距离d，则圆上一点到直线】的最大距离为d+r
（2）求出点B关于直线！的对称点Bm,n，则反射光线过点Bm,n．设反射光线l2的方程为y=kx+6k+1．圆心A到直
线l2的距离小于等于半径2，即得反射光线的斜率的取值范围．
【解答】
解：(1)∵ 直线L：x−y+3=0，圆A：(x−4)2+(y−3)2=4，
∴ 圆心A4,3，半径r=2，
圆心A到直线L的距离d=|4−3+3|1+1=22，
∴ 圆上一点到直线的距离的最大值为：
dmax=d+r=22+2.
(2)过点B−2,−3 作直线L的垂线L1:x+y+c=0，
代入点B−2,−3，得c=5，
∴ L1:x+y+5=0，
设点B关于L的对称点B′x0,−x0−5，
点B′到直线L的距离：
d′=|x0+x0+5+3|1+1=2|x0+4|
=|−2+3+3|2=22，
∴ |x0+4|=2，
解得x0=−6，或x0=−2（舍），
∴ B′−6,1，
∵ 反射光线过点B′，
∴ 设反射光线为l2:y=kx+6k+1，
圆心A4,3到反射光线为l2:y=kx+6k+1的距离：
d=|4k−3+6k+1|k2+1=2，
解得k=0或k=512，
∴ 反射光线的斜率的取值范围是[0,512].
【答案】
解：(1)结合图象可知，A=1，14T=14⋅2πω=π3−π12，
∴ ω=2，T=π，
由于fx的一个减区间为π12, π3+π3−π12，即π12,7π12，
fx的增区间为[7π12+kπ, 13π12+kπ],k∈Z ．
(2)结合(1)可得fx=sin2x+φ，
当x=π12时，sin(2×π12+φ)=1，
所以2×π12+φ=π2，
因为|φ|<π2，
所以φ=π3，
所以f(x)=sin(2x+π3)，
将函数y=fx的图象向右平移π4个单位长度，
得到曲线C:y=sin2x−π6 的图象，
把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，
得到gx=2sin2x−π6 的图象，
因为关于x的方程gx−m=0在0,π2上有解，
即m=2sin(2x−π6)在0,π2上有解，
由于x∈0,π2，
所以2x−π6∈−π6,5π6，
所以2sin2x−π6∈−1,2，
故m的取值范围为−1,2．
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
正弦函数的单调性
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的定义域和值域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)结合图象可知，A=1，14T=14⋅2πω=π3−π12，
∴ ω=2，T=π，
由于fx的一个减区间为π12, π3+π3−π12，即π12,7π12，
fx的增区间为[7π12+kπ, 13π12+kπ],k∈Z ．
(2)结合(1)可得fx=sin2x+φ，
当x=π12时，sin(2×π12+φ)=1，
所以2×π12+φ=π2，
因为|φ|<π2，
所以φ=π3，
所以f(x)=sin(2x+π3)，
将函数y=fx的图象向右平移π4个单位长度，
得到曲线C:y=sin2x−π6 的图象，
把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，
得到gx=2sin2x−π6 的图象，
因为关于x的方程gx−m=0在0,π2上有解，
即m=2sin(2x−π6)在0,π2上有解，
由于x∈0,π2，
所以2x−π6∈−π6,5π6，
所以2sin2x−π6∈−1,2，
故m的取值范围为−1,2．
【答案】
解：(1)如图，
当切线斜率不存在时，切线方程为x=1，
当切线斜率存在时，设直线方程为y=kx−1+12，
因为直线与圆相切，所以d=|k+32|k2+1=1，
解得k=−512，
此时直线方程为y=−512x−1+12，
即5x+12y−11=0，
所以切线PA的方程为x=1，PB的方程为5x+12y−11=0．
(2)∵ S四边形PAMB=2×12×PA×MA=PA=PM2−1，
∴ 当PM最小时，四边形面积最小，
又PM≥|0−4|5=45，
∴ 四边形PAMB面积的最小值Smin=555．
(3)设点Px0,12x0，M0,2，
过P，A，M三点的圆即以PM为直径的圆，
即x−x022+y−12x0+222
=x02+12x0−2222，
∴ x2−x0x+y2−12x0+2y+x0=0，
∴ x2+y2−2y=0,−x−12y+1=0,
解得定点坐标为(0,2)或45,25．
【考点】
圆的综合应用
直线与圆的位置关系
直线和圆的方程的应用
【解析】
(1)当切线斜率不存在时，切线方程为x=1当切线斜率存在时，设直线方程为y=kx−1+12，由直线和圆相切，求出k=−512，由此能求出切线PA，PB方程．
(2)S四边形PAMB=2×12×PA×MA=PA=PM2−1，当PM最小时，四边形面积最小．由此能求出四边形PAMB面积的最小值．
(3)设点Px0,12x0，M0,2，过P，A，M三点的圆即以PM为直径的圆，由此能求出定点坐标．
【解答】
解：(1)如图，
当切线斜率不存在时，切线方程为x=1，
当切线斜率存在时，设直线方程为y=kx−1+12，
因为直线与圆相切，所以d=|k+32|k2+1=1，
解得k=−512，
此时直线方程为y=−512x−1+12，
即5x+12y−11=0，
所以切线PA的方程为x=1，PB的方程为5x+12y−11=0．
(2)∵ S四边形PAMB=2×12×PA×MA=PA=PM2−1，
∴ 当PM最小时，四边形面积最小，
又PM≥|0−4|5=45，
∴ 四边形PAMB面积的最小值Smin=555．
(3)设点Px0,12x0，M0,2，
过P，A，M三点的圆即以PM为直径的圆，
即x−x022+y−12x0+222
=x02+12x0−2222，
∴ x2−x0x+y2−12x0+2y+x0=0，
∴ x2+y2−2y=0,−x−12y+1=0,
解得定点坐标为(0,2)或45,25．