2020-2021学年安徽省阜阳市高二（上）期中考试数学（理）试卷北师大版

这是一份2020-2021学年安徽省阜阳市高二（上）期中考试数学（理）试卷北师大版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P−1,2，则sin20212π+2α=（ ）
A.−35B.−45C.35D.45

2. 若a→=3,mm∈R ，b→=−6,4 ，且a→=λb→λ∈R，则a→+b→⋅3a→+b→=( )
A.0B.−5C.−12D.−13

3. 设a>0，b>0，若5是5a与5b的等比中项，则1a+1b的最小值为( )
A.8B.4C.1D.14

4. 我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S=14[a2c2−(a2+c2−b22)2]．若a2sinC=5sinA，(a+c)2=16+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为( )
A.32B.3C.12D.2

5. 已知菱形ABCD的边长为4, ∠ABC=60∘，E是BC的中点， DF→=−2AF→，则AE→⋅BF→=( )

A.24B.−7C.−10D.−12

6. 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcsC+ccsB=2b，则ab=( )
A.23B.2C.2D.1

7. 元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤=15斤，1斤=16两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半．若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（ ）
A.9两B.266127两C.26663两D.250127两

8. 某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：
若x，y线性相关，线性回归方程为y=0.7x+a，则以下判断正确的是（ ）
A.x增加1个单位长度，则y 一定增加0.7个单位长度
B.x减少1个单位长度，则y必减少0.7个单位长度
C.当x=6时，y的预测值为8.1万盒
D.线性回归直线y=0.7x+a，经过点(2, 6)

9. 已知数列{an}是等差数列，若a9+3a11<0，a10⋅a11<0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么Sn取得最小正值时n等于( )
A.20B.17C.19D.21

10. 已知数列{an}满足a1=28，an+1−ann=2，则ann的最小值为( )
A.293B.47−1C.485D.274

11. 锐角△ABC中，角A，B，C所对边分别为a, b, c，若a2−b2+ac=0，则sinAsinB的取值范围是( )
A.(0, 22)B.(22, 32)C.(2, 3)D.(33, 22)

12. 若三个非零且互不相等的实数x1，x2，x3成等差数列且满足1x1+1x2=2x3，则称x1，x2，x3成一个“β等差数列”．已知集合M={x||x|≤100, x∈Z}，则由M中的三个元素组成的所有数列中，“β等差数列”的个数为( )
A.25B.50C.51D.100
二、填空题

在数列an中，如果对任意n∈N∗，都有an+2an+1−an+1an=λ（λ为常数），则称数列an为比等差数列，λ称为比公差，现给出以下命题：
①若数列cn满足c1=1,c2=1,cn=cn−1+cn−2n≥3,n∈N∗，则该数列不是比等差数列；
②若数列满足an=3⋅2n−1，则该数列是比等差数列，且比公差λ=0；
③等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列；
④若an是等差数列，bn是等比数列，则数列anbn是比等差数列．
其中所有正确的序号是________．
三、解答题

记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9=−a5．
(1)若a3=4，求{an}的通项公式；

(2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．

在平面四边形ABCD中，∠ADC=90∘，∠A=45∘，AB=2，BD=5.
(1)求cs∠ADB；

(2)若DC=22，求BC.

每年10月中上旬是小麦的最佳种植时间，但小麦的发芽会受到土壤、气候等多方面因素的影响．某科技小组为了解昼夜温差的大小与小麦发芽的多少之间的关系，在不同的温差下统计了100颗小麦种子的发芽数，得到了如下数据：

(1)请根据统计的最后三组数据，求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；

(2)若由(1)中的线性回归方程得到的估计值与前两组数据的实际值误差均不超过两颗，则认为线性回归方程是可靠的，试判断(1)中得到的线性回归方程是否可靠；

(3)若100颗小麦种子的发芽率为n颗，则记为n%的发芽率，当发芽率为n%时，平均每亩地的收益为10n元，某农场有土地10万亩，小麦种植期间昼夜温差大约为9∘C，根据(1)中得到的线性回归方程估计该农场种植小麦所获得的收益．
附：在线性回归方程y=bx+a中，b=i=1nxiyi−nxy¯i=1nxi2−nx¯2 .

已知关于x的不等式 ax2−3x+2>0 的解集为{x|x<1，或x>b}.
(1)求a，b的值；

(2)当 x>0，y>0 ，且满足 ax+by=1 时，有 2x+y≥k2+k+2 恒成立，求k的取值范围.

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n2+n，n∈N∗，数列{bn}满足an=4lg2bn+3，n∈N∗．
(1)求an和bn的通项公式；

(2)求数列{an⋅bn}的前n项和Tn．

如图：在△ABC中，b2=a2+c2−23ac，点D在线段AC上，且AD=2DC．

(1)若AB=2，BD=433，求BC的长；

(2)若AC=2，求△DBC的面积最大值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年安徽省阜阳市高二（上）期中考试数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
运用诱导公式化简求值
二倍角的余弦公式
同角三角函数基本关系的运用
任意角的概念
【解析】
本题首先可根据角α的终边经过点P−1,2得出
tanα=−2，然后根据诱导公式、二倍角公式以及同角三角函数关系将sin20212π+2α转化为
1−tan21+tan2α，最后代入tanα=−2，通过计算即可得出结果
【解答】
解：因为角α的终边经过点P−1,2，
所以tanα=2−1=−2，
则sin20212π+2α
=sin505×2π+π2+2α
=cs2α
=cs2α−sin2αcs2α+sin2α
=1−tan2α1+tan2α=1−41+4=−35.
故选A.
2.
【答案】
D
【考点】
平面向量数量积的运算
平面向量的坐标运算
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
根据向量平行的坐标表示可得m=−2，再根据平面向量数量积的坐标表示可得结果．
【解答】
解：∵ a→=λb→，
∴ 3×4−m×−6=0，
解得m=−2，
∴ a→=3,−2，b→=−6,4，
∴ a→+b→=−3,2，
3a→+b→=3,−2，
∴ a→+b→⋅3a→+b→=−9+−4=−13.
故选D．
3.
【答案】
B
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
等比中项
【解析】
利用等比数列性质得到a+b=1，再利用基本不等式求解即可.
【解答】
解：∵ a>0，b>0，5是5a与5b的等比中项，
∴ 5a⋅5b=52⇒5a+b=51⇒a+b=1，
∴ a+b1a+1b=2+ab+ba≥2+2ba⋅ab=4，
当且仅当a=b=12时等式成立，
∴ 1a+1b的最小值为4．
故选B．
4.
【答案】
D
【考点】
正弦定理
解三角形
【解析】
由已知利用正弦定理可求ac的值，可求a2+c2−b2=4，代入“三斜求积”公式即可计算得解．
【解答】
解：根据正弦定理：由a2sinC=5sinA，可得：ac=5，
由于(a+c)2=16+b2，可得：a2+c2−b2=6，
可得：S=14[a2c2−(a2+c2−b22)2]
=14×[52−(62)2]=2．
故选D.
5.
【答案】
D
【考点】
向量在几何中的应用
平面向量数量积的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由已知得AF→=13AD→，BE→=12BC→，AD→=BC→，
所以AE→=AB→+12AD→，
BF→=AF→−AB→=13AD→−AB→.
因为在菱形ABCD中，∠ABC=60∘，
所以 ∠BAD=120∘.
又因为菱形ABCD的边长为4，
所以AB→⋅AD→=|AB→|⋅|AD→|cs120∘
=4×4×(−12)=−8，
所以AE→⋅BF→=(AB→+12AD→)⋅(13AD→−AB→)
=−|AB→|2−16AB→⋅AD→+16|AD→|2
=−16−16×(−8)+16×16=−12.
故选D.
6.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
【解析】
利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，进而利用两角和公式对等号左边进行化简求得sinA和sinB的关系，进而利用正弦定理求得a和b的关系．
【解答】
解：∵ bcsC+ccsB=2b，
∴ sinBcsC+csBsinC=sin(B+C)=sinA=2sinB，
∴ sinAsinB=2，
由正弦定理知asinA=bsinB，
∴ ab=sinAsinB=2，
故选B．
7.
【答案】
B
【考点】
等比数列的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意共有银： 16×16+10=266两，
设分银最少的为a两，则7人的分银量构成以a为首项，2为公比的等比数列，
则a1−271−2=266，
解得a=266127.
故选B.
8.
【答案】
C
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
求出样本中心，代入回归方程得出a​，从而得出回归方程，令x＝6计算 y​即可．
【解答】
解：x¯=1+2+3+4+55=3，y¯=5+5+6+6+85=6，
∴ 6=0.7×3+a，解得a=3.9．
∴ 回归方程为y=0.7x+3.9．
x每增加1个单位长度，则y 大约增加0.7个单位长度，故A不正确；
x每减少1个单位长度，则y大约减少0.7个单位长度，故B不正确；
当x=6时，y=0.7×6+3.9=8.1，故C正确；
线性回归直线y=0.7x+3.9不经过点(2, 6)，故D不正确.
故选C.
9.
【答案】
C
【考点】
数列与函数单调性问题
等差数列的前n项和
等差数列的性质
【解析】
由等差数列的性质和求和公式可得a10>0，a11<0，又可得S19=19a10>0，而S20=10(a10+a11)<0，进而可得Sn取得最小正值时n等于19
【解答】
解：∵ a9+3a11<0，
∴ 由等差数列的性质可得，
a9+3a11=a9+a11+2a11=a9+a11+a10+a12
=2(a11+a10)<0.
∵ a10⋅a11<0，
∴ a10和a11异号.
∵ 数列{an}的前n项和Sn有最大值，
∴ 数列{an}是递减的等差数列，
∴ a10>0，a11<0，
∴ S19=19(a1+a19)2=19×2a102=19a10>0，
S20=20(a1+a20)2=10(a1+a20)=10(a10+a11)<0，
∴ Sn取得最小正值时n等于19.
故选C.
10.
【答案】
C
【考点】
数列递推式
数列与函数最值问题
【解析】
数列{an}满足a1=28,an+1−ann=2，可得an+1−an＝2n，利用an＝(an−an−1)+(an−1−an−2)+……+(a2−a1)+a1可得an，通过求导研究单调性即可得出．
【解答】
解：数列{an}满足a1=28,an+1−ann=2，
∴ an+1−an=2n，
∴ an=(an−an−1)+(an−1−an−2)+⋯+(a2−a1)+a1
=2(n−1)+2(n−2)+⋯+2×2+2×1+28
=2×(n−1)(n−1+1)2+28
=n2−n+28．
则ann=n2−n+28n=n+28n−1．
又n∈N∗，且a55=485<293=a66，
∴ ann的最小值为485.
故选C.
11.
【答案】
D
【考点】
二倍角的正弦公式
两角和与差的正弦公式
余弦定理
正弦定理
三角形的形状判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得：b2=a2+ac，
再由余弦定理可知：b2=a2+c2−2accsB，
即a2+c2−2accsB=a2+ac，
∴ a+2acsB=c，
∴ sinA+2sinAcsB=sin(A+B)，
即sinA+2sinAcsB=sinAcsB+csAsinB，
∴ sinA=csAsinB−sinAcsB，
∴ sinA=sin(B−A).
∵ 三角形是锐角三角形，
∴ A∈(0, π2)，
∴ 0∴ A=B−A或A+B−A=π，
∴ B=2A或B=π（不合题意）.
∵ 三角形是锐角三角形，
∴ 0∴ π6∴ csA∈(22, 32)，2csA∈(2, 3)，
∴ 12csA∈(33, 22)，
∴ sinAsinB=sinAsin2A=sinA2sinAcsA=12csA∈(33, 22).
故选D.
12.
【答案】
B
【考点】
数列的应用
【解析】
根据“好集”的定义，可解关于x1，x2，x3的方程组，用x2把另外两个元素表示出来，再根据“集合M={x||x|≤100, x∈Z}，通过x1，x2，x3∈M”构造出关于x2的不等式，求出x2中最大的元素．可以求出x2的最大值，从而确定“β等差数列的个数．
【解答】
解：∵ 1x1+1x2=2x3，且x1+x3=2x2，可得：1x1+1x2=22x2−x1，
∴ (x1−x2)(x1+2x2)=0，
∴ x1=x2（舍），或x1=−2x2，∴ x3=4x2，
令−100≤4x2≤100，得−25≤x2≤25，
∴ “β等差数列”的个数为2×25=50．
故选B.
二、填空题
【答案】
①②
【考点】
数列的概念与表示
【解析】

【解答】
解：对于①，数列cn为斐波那契数列．
所以cn+2cn+1−cn+1cn=cn+1+cncn+1−cn+cn−1cn
=cncn+1−cn−1cn≠常数．
不满足比等差数列的定义，所以①正确；
对于②，数列an=3⋅2n−1，则
an+2an+1−an+1an=3⋅2n+13⋅2n−3⋅2n3⋅2n−1
=2−2=0，
满足比等差数列的定义，所以②正确；
对于③，设等比数列an=a1qn−1，则
an+2an+1−an+1an=a1⋅qn+1a1⋅qn−a1⋅qna1⋅qn−1
=q−q=0，
所以等比数列一定是比等差数列；
当等差数列为常数数列时，
an+2an+1−an+1an=a1a1−a1a1=1−1=0也是比等差数列，
所以③错误；
对于④，an是等差数列， bn是等比数列，
所以设an=n,bn=2n，则anbn=n⋅2n，
所以an+2an+1−an+1an=n+2⋅2n+2n+1⋅2n+1−n+1⋅2n+1n⋅2n
=2n+2n+1−2n+1n=−2n(n+1)≠常数．
不满足比等差数列的定义，所以④错误．
综上可知，①②正确．
故答案为：①②.
三、解答题
【答案】
解：(1)根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d，
若S9=−a5，则S9=(a1+a9)×92=9a5=−a5，
变形可得a5=0，即a1+4d=0，
若a3=4，则d=a5−a32=−2，
则an=a3+(n−3)d=−2n+10.
(2)若Sn≥an，则na1+n(n−1)2d≥a1+(n−1)d，
当n=1时，不等式成立，
当n≥2时，有nd2≥d−a1，变形可得(n−2)d≥−2a1，
又由S9=−a5，即S9=(a1+a9)×92=9a5=−a5，
则有a5=0，即a1+4d=0，则有(n−2)−a14≥−2a1，
又由a1>0，则有n≤10，
则有2≤n≤10，
综合可得：n的取值范围是{n|1≤n≤10, n∈N}．
【考点】
数列与不等式的综合
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】
（1）根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d，由S9＝−a5，即可得S9=(a1+a9)×92=9a5＝−a5，变形可得a5＝0，结合a3＝4，计算可得d的值，结合等差数列的通项公式计算可得答案；
（2）若Sn≥an，则na1+n(n−1)2d≥a1+(n−1)d，分n＝1与n≥2两种情况讨论，求出n的取值范围，综合即可得答案．
【解答】
解：(1)根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d，
若S9=−a5，则S9=(a1+a9)×92=9a5=−a5，
变形可得a5=0，即a1+4d=0，
若a3=4，则d=a5−a32=−2，
则an=a3+(n−3)d=−2n+10.
(2)若Sn≥an，则na1+n(n−1)2d≥a1+(n−1)d，
当n=1时，不等式成立，
当n≥2时，有nd2≥d−a1，变形可得(n−2)d≥−2a1，
又由S9=−a5，即S9=(a1+a9)×92=9a5=−a5，
则有a5=0，即a1+4d=0，则有(n−2)−a14≥−2a1，
又由a1>0，则有n≤10，
则有2≤n≤10，
综合可得：n的取值范围是{n|1≤n≤10, n∈N}．
【答案】
解：(1)如图，
∵ ∠ADC=90∘，∠A=45∘，AB=2，BD=5，
∴ 由正弦定理得：
ABsin∠ADB=BDsinA，
即2sin∠ADB=5sin45∘，
∴ sin∠ADB=2sin45∘5=25.
∵AB∴∠ADB<∠A，
∴ cs∠ADB=1−252=235.
(2)∵ ∠ADC=90∘，
∴ cs∠BDC=sin∠ADB=25.
又DC=22，
由余弦定理得：
BC2=25+8−2×5×22×25=25，
∴ BC=5.
【考点】
余弦定理
正弦定理
同角三角函数间的基本关系
【解析】
(1)由正弦定理得2sin∠ADB=5sin45∘，求出sin∠ADB=25，由此能求出cs∠ADB；
(2)由∠ADC=90∘，得cs∠BDC=sin∠ADB=25，再由DC=22，利用余弦定理能求出BC．
【解答】
解：(1)如图，
∵ ∠ADC=90∘，∠A=45∘，AB=2，BD=5，
∴ 由正弦定理得：
ABsin∠ADB=BDsinA，
即2sin∠ADB=5sin45∘，
∴ sin∠ADB=2sin45∘5=25.
∵AB∴∠ADB<∠A，
∴ cs∠ADB=1−252=235.
(2)∵ ∠ADC=90∘，
∴ cs∠BDC=sin∠ADB=25.
又DC=22，
由余弦定理得：
BC2=25+8−2×5×22×25=25，
∴ BC=5.
【答案】
解：(1)由题可知
此时：x¯1=0， y¯1=1，b=1+4−3×0×11+1−3×0=52 ，
a=y1¯−b⋅x1¯=1−52×0=1，
∴ y−86=52x−12+1，
∴ y=52x+57．
(2)当x=8时： y=77,79−77=2≤2符合，
当x=10时： y=82,82−81=1≤2符合，
前两组数据均符合题意，该回归直线方程可靠．
(3)当x=9时， y=79.5，
发芽率n%=79.5100=79.5%，
∴ n=79.5．
收益： 79.5×10×10=7950（万元）．
种植小麦收益为7950万元．
【考点】
求解线性回归方程
【解析】



【解答】
解：(1)由题可知
此时：x¯1=0， y¯1=1，b=1+4−3×0×11+1−3×0=52 ，
a=y1¯−b⋅x1¯=1−52×0=1，
∴ y−86=52x−12+1，
∴ y=52x+57．
(2)当x=8时： y=77,79−77=2≤2符合，
当x=10时： y=82,82−81=1≤2符合，
前两组数据均符合题意，该回归直线方程可靠．
(3)当x=9时， y=79.5，
发芽率n%=79.5100=79.5%，
∴ n=79.5．
收益： 79.5×10×10=7950（万元）．
种植小麦收益为7950万元．
【答案】
解：(1)由题意，1和b为方程 ax2−3x+2=0 的两根，
则1+b=3a，b=2a，解得a=1，b=2.
(2)由(1)知，1x+2y=1，
2x+y=(2x+y)(1x+2y)=4+(yx+4xy)≥4+4=8.
因为 2x+y≥k2+k+2 恒成立，
则 k2+k+2≤8，
解得：−3≤k≤2 .
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
一元二次不等式的解法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意，1和b为方程 ax2−3x+2=0 的两根，
则1+b=3a，b=2a，解得a=1，b=2.
(2)由(1)知，1x+2y=1，
2x+y=(2x+y)(1x+2y)=4+(yx+4xy)≥4+4=8.
因为 2x+y≥k2+k+2 恒成立，
则 k2+k+2≤8，
解得：−3≤k≤2 .
【答案】
解：(1)由Sn=2n2+n可得，当n=1时，a1=S1=3，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n2+n−2(n−1)2−(n−1)=4n−1，
而n=1，a1=4−1=3适合上式，
故an=4n−1，
又∵ an=4lg2bn+3=4n−1，
∴ bn=2n−1；
(2)由(1)知，anbn=(4n−1)⋅2n−1，
Tn=3×20+7×2+…+(4n−1)⋅2n−1，①
2Tn=3×2+7×22+...+(4n−5)⋅2n−1+(4n−1)⋅2n，②
②式减①式得：
Tn=(4n−1)⋅2n−[3+4(2+22+…+2n−1)]
=(4n−1)⋅2n−[3+4⋅2(1−2n−1)1−2]
=(4n−1)⋅2n−[3+4(2n−2)]=(4n−5)⋅2n+5.
【考点】
数列递推式
数列的求和
【解析】
(I)由Sn=2n2+n可得，当n=1时，可求a1=3，当n≥2时，由an=sn−sn−1可求通项，进而可求bn
(II)由(I)知，anbn=(4n−1)⋅2n−1，利用错位相减可求数列的和
【解答】
解：(1)由Sn=2n2+n可得，当n=1时，a1=S1=3，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n2+n−2(n−1)2−(n−1)=4n−1，
而n=1，a1=4−1=3适合上式，
故an=4n−1，
又∵ an=4lg2bn+3=4n−1，
∴ bn=2n−1；
(2)由(1)知，anbn=(4n−1)⋅2n−1，
Tn=3×20+7×2+…+(4n−1)⋅2n−1，①
2Tn=3×2+7×22+...+(4n−5)⋅2n−1+(4n−1)⋅2n，②
②式减①式得：
Tn=(4n−1)⋅2n−[3+4(2+22+…+2n−1)]
=(4n−1)⋅2n−[3+4⋅2(1−2n−1)1−2]
=(4n−1)⋅2n−[3+4(2n−2)]=(4n−5)⋅2n+5.
【答案】
解：(1)b2=a2+c2−23ac⇒csB=a2+c2−b22ac=13.
在△ABC中，设BC=a，AC=3m.
由余弦定理可得： 9m2=a2+4−43a ①.
在△ABD和△DBC中，由余弦定理可得：
cs∠ADB=4m2+163−4163m3，cs∠BDC=m2+163−a283m3.
又∵ cs∠ADB+cs∠BDC=0，
∴ 4m2+163−4163m3+m2+163−a283m3=0 ，
得3m2−a2=−6②，
由①②得a=3，m=1，
∴ BC=3.
(2)∵ csB=13，B∈0,π，
∴ sinB=1−cs2B=223.
由b2=a2+c2−23ac⇒4=a2+c2−23ac
≥2ac−23ac=43ac，
∴ ac≤3(当且仅当a=c时取等号)．
由AD=2DC，
可得S△DBC=13S△ABC=13×12acsinB
≤13×12×3×223=23，
∴ △DBC的面积最大值为23.
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
余弦定理
正弦定理
同角三角函数间的基本关系
【解析】
(Ⅰ)由已知及余弦定理可求csB=13，在△ABC中，设BC＝a，AC＝3m，由余弦定理可得：9m2＝a2+4−43a，在△ABD和△DBC中，由余弦定理可得：cs∠ADB=4m2+163−4163m3，cs∠BDC=m2+163−a283m3，又cs∠ADB+cs∠BDC＝0，可解得3m2−a2＝−6，解得a，m的值，即可得解BC的值．
(Ⅱ)由同角三角函数基本关系式可求sinB，利用余弦定理，基本不等式可求ac≤3，根据三角形面积公式即可计算得解．
【解答】
解：(1)b2=a2+c2−23ac⇒csB=a2+c2−b22ac=13.
在△ABC中，设BC=a，AC=3m.
由余弦定理可得： 9m2=a2+4−43a ①.
在△ABD和△DBC中，由余弦定理可得：
cs∠ADB=4m2+163−4163m3，cs∠BDC=m2+163−a283m3.
又∵ cs∠ADB+cs∠BDC=0，
∴ 4m2+163−4163m3+m2+163−a283m3=0 ，
得3m2−a2=−6②，
由①②得a=3，m=1，
∴ BC=3.
(2)∵ csB=13，B∈0,π，
∴ sinB=1−cs2B=223.
由b2=a2+c2−23ac⇒4=a2+c2−23ac
≥2ac−23ac=43ac，
∴ ac≤3(当且仅当a=c时取等号)．
由AD=2DC，
可得S△DBC=13S△ABC=13×12acsinB
≤13×12×3×223=23，
∴ △DBC的面积最大值为23.x（月份）
1
2
3
4
5
y（万盒）
5
5
6
6
8
温差x(∘C)
8
10
11
12
13
发芽数y（颗）
79
81
85
86
90
x
x−12
−1
0
1
y
y−86
−1
0
4
x
x−12
−1
0
1
y
y−86
−1
0
4