2020-2021学年河南省平顶山市高一（下）4月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河南省平顶山市高一（下）4月月考数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 若csα=35，且α在第四象限，则tanα=( )
A.34B.−34C.43D.−43

2. 三角函数y=sin x2是( )
A.周期为4π的奇函数B.周期为π2的奇函数
C.周期为π的偶函数D.周期为2π的偶函数

3. 已知向量a→=1,3，b→=csθ,sinθ，若a→//b→，则tanθ=( )
A.33B.3C.−33D.−3

4. 已知向量a→=(1, k)，b→=(k, 2)，若a→与b→方向相同，则k等于( )
A.1B.±2C.−2D.2

5. 已知向量a→，b→满足|a→|=2，b→=1,1，a→⋅b→=−2，则cs=（ ）
A.12B.−12C.22D.−22

6. 已知函数fx=2sinx，为了得到函数gx=2sin2x−π3的图象，只需( )
A.先将函数fx图象上点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移π6个单位
B.先将函数fx图象上点的横坐标变为原来的12，再向右平移π6个单位
C.先将函数fx图象向右平移π6个单位，再将点的横坐标变为原来的12
D.先将函数fx图象向右平移π3个单位，再将点的横坐标变为原来的2倍

7. 如图，两个互相啮合的齿轮，大轮有64齿，小轮有24齿．当大轮转动—周时，小轮转动的角度为( )

A.83πB.103πC.143πD.163π

8. 已知扇形的周长为100cm，则该扇形的面积S的最大值为( )
A.100cm2B.625cm2C.1250cm2D.2500cm2

9. 满足黄金分割比的身材是完美的，0.618是黄金分割比m=5−12的近似值，黄金分割比还可以表示为2cs72∘，则sin54∘=( )
A.3−m2 B.m+22 C.4−m22 D.1+m22

10. 若α∈π2,π，2sinα+csα=355，则tanα=( )
A.−2B.2C.211D.−211

11. 如图，已知点C为△OAB边AB上一点，且AC=2CB，若存在实数m，n，使得OC→=mOA→+nOB→，则m−n的值为( )

A.−13B.0C.13D.23

12. 若tanα2=13，则sinα+5π2−1sin3π−α=( )
A.−13B.−3C.13D.3

13. 已知向量a→=1,2，b→=2,−2，c→=m,1，若c→//2a→+b→，则m=( )
A.0B.1C.2D.3

14. 平面向量a→，b→的夹角为60∘，a→=(2, 0)，|a→+2b→|=23，则|b→|=( )
A.3B.1C.4D.3

15. 如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，已知AE=5，AF=2，则AC→⋅BD→=（ ）

A.−6B.−4C.−10D.−7

16. 在平行四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，连接AC，MN交于点P，已知AP→=13AC→， AM→=34AB→，若AN→=λAD→，则实数λ的值为( )
A.12B.35C.23D.34
二、填空题

已知α，β∈0,π，csα+csβ=35，csαcsβ=−15，则sinαsinβ=________.

已知向量a→=(1,3)，b→=(3,3)，则b→在a→方向上的投影是________．

设向量AB→=1,2,AC→=−2,x，若A，B，C三点共线，则x=________.

已知△ABC的三个顶点的坐标分别为2,1，−3,4，−1,−1，则△ABC的重心坐标为________.

若曲线y=sin(ωx−π5)(0<ω<π2)关于点2,0对称，则ω=________.
三、解答题


(1)已知tanα=−3，α∈(π2,π)，求sinα，csα；

(2)已知sinα−csα=−55，α的终边在x轴上方，求tanα的值．

已知函数f(x)=csx(csx+3sinx)．
(1)求f(x)的最小正周期；

(2)当x∈[0,π]时，求函数f(x)的单调递增区间．

函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，−π2<φ<π2)的部分图象如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若f(x)=263，且π2
已知向量|m→|=1，|n→|=2，m→，n→两向量夹角为π4，a→=m→+n→，b→=7m→−3n→.
(1)求a→+b→与a→−b→的夹角；

(2)若a→⊥a→+λb→，求实数λ的值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省平顶山市高一（下）4月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
同角三角函数基本关系的运用
象限角、轴线角
【解析】
根据题意，由csα的值，结合同角三角函数基本关系式可得sin2α=1−cs2α=1625，又由α是第四象限角，可得sinα的值，再由tanα=sinαcsα计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，csα=35，
则sin2α=1−cs2α=1625.
因为α在第四象限，
所以sinα<0，即sinα=−45，
所以tanα=sinαcsα=−43.
故选D.
2.
【答案】
A
【考点】
正弦函数的奇偶性
正弦函数的周期性
【解析】
由条件利用正弦函数的奇偶性和周期性，可得结论．
【解答】
解：∵ sin−x2=−sinx2，
∴ y=sinx2是奇函数.
∵ y=sinx2的周期为2π12=4π，
∴ y=sinx2是周期为4π的奇函数.
故选A.
3.
【答案】
B
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
同角三角函数间的基本关系
【解析】

【解答】
解：因为向量a→=(1,3)，b→=(csθ,sinθ)，a→//b→，
则有1×sinθ=3csθ，
变形可sinθcsθ=3，
则tanθ=3 .
故选B．
4.
【答案】
D
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
根据平面向量的共线定理与坐标表示，列方程求出k的值．
【解答】
解：向量a→=(1, k)，b→=(k, 2)，
若a→与b→方向相同，则k>0,k2−1×2=0,
解得k=2．
故选D.
5.
【答案】
C
【考点】
平面向量数量积的运算
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
通过向量的数量积的运算法则，化简求解即可．
【解答】
解：∵ b→=1,1，
∴ b→=12+12=2，
∴ cs=a→⋅a→+b→|a→|⋅a→+b→=a→2+a→⋅b→2a→2+2a→⋅b→+b→2
=4−22⋅4−4+2=22.
故选C．
6.
【答案】
B
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
根据函数y=Asinωx+φ的图象变换规律即可得解．
【解答】
解：有两种方法：
①将f(x)=2sinx的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到的函数解析式为：y=2sin2x，再把所得图象上所有的点向右平移π6个单位长度，得到的函数解析式为：gx=2sin2x−π6=2sin2x−π3，
②将f(x)=2sinx的图象上所有的点向右平移π3个单位长度，得到的函数解析式为：y=2sinx−π3，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到的函数解析式为：gx=2sin2x−π3，
故B正确，ACD错误．
故选B．
7.
【答案】
D
【考点】
弧长公式
【解析】
利用所转过的路程相等，即可得到等量关系，即可得出答案.
【解答】
解：设大轮、小轮的半径分别为R，r，
由题意得，2πR64=2πr24，得R=83r，
设大轮转一周时，小轮转动的角度为θ，
则2πR=θr，则θ=163π.
故选D.
8.
【答案】
B
【考点】
扇形面积公式
弧长公式
二次函数在闭区间上的最值
【解析】

【解答】
解：设扇形半径为r，弧长为l，则周长为2r+l=100，面积为S=12lr，
因为S=12lr=12(100−2r)⋅r
=−r2+50r
=−(r−25)2+625，
所以当r=25时，Smax=625 .
故选B．
9.
【答案】
B
【考点】
二倍角的余弦公式
【解析】

【解答】
解：由题意可得m=2cs72∘，可得cs72∘=m2，
可得2cs236∘−1=m2，
解得cs36∘=m+22，
所以sin54∘=cs36∘=m+22 .
故选B．
10.
【答案】
A
【考点】
同角三角函数间的基本关系
同角三角函数基本关系的运用
象限角、轴线角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为2sinα+csα2=4sin2α+cs2α+4sinαcsα
=4sin2α+cs2α+4sinαcsαsin2α+cs2α
=4tan2α+1+4tanαtan2α+1=95，
所以11tan2α+20tanα−4=0，
解得tanα=−2或tanα=211．
又α∈π2,π，
所以tanα=−2.
故选A．
11.
【答案】
A
【考点】
平面向量的基本定理
【解析】
结合已知及向量的线性表示可先利用OA→，OB→表示OC→，结合已知即可求解．
【解答】
解：因为AC=2CB，易得OC→=13OA→+23OB→，
所以m−n=−13．
故选A.
12.
【答案】
A
【考点】
同角三角函数间的基本关系
运用诱导公式化简求值
二倍角的余弦公式
二倍角的正弦公式
【解析】

【解答】
解： sin(α+5π2)−1sin(3π−α)
=csα−1sinα
=−2sin2α22sinα2csα2
=−tanα2=−13，
故选A．
13.
【答案】
C
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为a→=(1,2)，b→=(2,−2)，c→=(m,1)，
所以2a→+b→=(4,2)，
所以2m=4，
解得m=2.
故选C.
14.
【答案】
B
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
向量的模
【解析】
把已知式子|a→+2b→|=23平方，结合数量积的运算代入已知数据可得关于|b→|的方程，解方程可得．
【解答】
解：∵ a→=(2, 0)，
∴ |a→|=2.
把|a→+2b→|=23两边平方可得a→2+4a→⋅b→+4b→2=12，
即|a→|2+4|a→|⋅|b→|cs⟨a→,b→⟩+4|b→|2=12，
代入数据可得22+4×2|b→|×12+4|b→|2=12，
整理可得|b→|2+|b→|−2=0，
解得|b→|=1.
故选B.
15.
【答案】
B
【考点】
向量的加法及其几何意义
平面向量数量积
【解析】
无
【解答】
解：设AD→=a→，AB→=b→，
则AF→=a→+12b→，AE→=12a→+b→．
故a→+b→=23AF→+AE→，
a→−b→=2(AF→−AE→)，
则AC→⋅BD→=a→+b→⋅a→−b→=23AF→+AE→⋅2AF→−AE→
=43AF→2−AE→2=−4.
故选B．
16.
【答案】
B
【考点】
向量的共线定理
向量加减混合运算及其几何意义
相等向量与相反向量
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ AC，MN交于点P，
∴ M，N，P三点共线.
设AP→=xAM→+1−xAN→，
∵ AP→=13AC→，且AM→=34AB→，AN→=λAD→，
∴ 13AC→=34xAB→+1−xλAD→，
即AC→=94xAB→+31−xλAD→．
∵ AC→=AB→+AD→，
∴ 94x=1，且31−xλ=1，
解得x=49，λ=35.
故选B.
二、填空题
【答案】
75
【考点】
同角三角函数基本关系的运用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：依题意，(sinαsinβ)2
=sin2αsin2β
=(1−cs2α)(1−cs2β)
=1+csαcsβ2−csα+csβ2
=725，
则sinαsinβ=75.
故答案为：75.
【答案】
3
【考点】
向量的投影
【解析】
可先求出|a→|=2,a→⋅b→=3+3=6，从而求出b→在a→方向上的投影为a→⋅b→|a→|=3．
【解答】
解：由题意得：|a→|=2，a→⋅b→=3+3=6，
∴ b→在a→方向上的投影是：
|b→|⋅cs
=|b→|⋅a→⋅b→|a→||b→|
=a→⋅b→|a→|=3．
故答案为：3.
【答案】
−4
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为A，B，C三点共线，所以AB→//AC→，则x=−2×2=−4.
故答案为：−4.
【答案】
(−23,43)
【考点】
中点坐标公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题知△ABC的三个顶点的坐标分别为2,1，−3,4，−1,−1，
所以根据三角形重心坐标公式可知，重心坐标为(2−3−13,1+4−13)，
即(−23,43).
故答案为：(−23,43).
【答案】
π10
【考点】
正弦函数的对称性
【解析】

【解答】
解：依题意可得，2ω−π5=kπk∈Z，
又0<ω<π2，则ω=π10．
故答案为：π10．
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ tanα=−3，α∈(π2,π)，
∴ sinα=−3csα，
又sin2α+cs2α=1，
∴ csα=−1010，
sinα=31010.
(2)把sinα−csα=−55两边平方得1−2sinαcsα=15，
即sinαcsα=25，
∴ sinαcsαsin2α+cs2α=25，即(2tanα−1)(tanα−2)=0，
解得tanα=2或tanα=12，
又α的终边在x轴上方，
∴ sinα>0，则csα>0，
当tanα=2时，sinα=−255，csα=−55，不合题意，舍去，
则tanα=12．
【考点】
同角三角函数间的基本关系
【解析】
（1）由α为第二象限角得到sinα大于0，csα小于0，根据tanα的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出csα的值，进而再利用同角三角函数间的平方关系求出sinα的值；
（2）把已知的等式两边平方，根据同角三角函数间的基本关系化简求出sinαcsα的值，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切得出关于tanα的方程，求出方程的解得到tanα的值．
【解答】
解：(1)∵ tanα=−3，α∈(π2,π)，
∴ sinα=−3csα，
又sin2α+cs2α=1，
∴ csα=−1010，
sinα=31010.
(2)把sinα−csα=−55两边平方得1−2sinαcsα=15，
即sinαcsα=25，
∴ sinαcsαsin2α+cs2α=25，即(2tanα−1)(tanα−2)=0，
解得tanα=2或tanα=12，
又α的终边在x轴上方，
∴ sinα>0，则csα>0，
当tanα=2时，sinα=−255，csα=−55，不合题意，舍去，
则tanα=12．
【答案】
解：(1)∵ f(x)=3sinxcsx+cs2x
=32sin2x+1+cs2x2
=(32sin2x+12cs2x)+12
=sin(2x+π6)+12，
故T=2π|ω|=2π2=π，即f(x)的最小正周期为π．
(2)令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，
求得kπ−π3≤x≤kπ+π6，
即f(x)的单调递增区间为：[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z．
再结合x∈[0,π]，
所以f(x)的单调递增区间为[0,π6]，[2π3,π]．
【考点】
正弦函数的周期性
正弦函数的单调性
【解析】
（1）有条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得结论．

【解答】
解：(1)∵ f(x)=3sinxcsx+cs2x
=32sin2x+1+cs2x2
=(32sin2x+12cs2x)+12
=sin(2x+π6)+12，
故T=2π|ω|=2π2=π，即f(x)的最小正周期为π．
(2)令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，
求得kπ−π3≤x≤kπ+π6，
即f(x)的单调递增区间为：[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z．
再结合x∈[0,π]，
所以f(x)的单调递增区间为[0,π6]，[2π3,π]．
【答案】
解：(1)由图象可知A=2，
周期T=2πω=2×(11π12−5π12)=π，
则ω=2.
又f(5π12)=2sin(2×5π12+φ)=2，
可得2×5π12+φ=2kπ+π2，k∈Z，
解得φ=2kπ−π3，k∈Z，
由于−π2<φ<π2，
可得：φ=−π3，
可得函数解析式为：f(x)=2sin(2x−π3)．
(2)由题意知：π2∴ 2π3<2x−π3<7π6，
∵ f(x)=2sin(2x−π3)=263，
可得sin(2x−π3)=63，cs(2x−π3)=−33，
∴ cs2x=cs(2x−π3+π3)
=cs(2x−π3)csπ3−sin(2x−π3)sinπ3
=(−33)×12−63×32
=−3−326．
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
同角三角函数间的基本关系
正弦函数的定义域和值域
两角和与差的余弦公式
三角函数值的符号
【解析】
（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f(x)的解析式，
（2）由题意可求范围2π3<2x−π3<7π6，根据已知可求sin(2x−π3)，利用同角三角函数基本关系式可求cs(2x−π3)的值，进而根据两角和的余弦函数公式即可求解cs2x的值．
【解答】
解：(1)由图象可知A=2，
周期T=2πω=2×(11π12−5π12)=π，
则ω=2.
又f(5π12)=2sin(2×5π12+φ)=2，
可得2×5π12+φ=2kπ+π2，k∈Z，
解得φ=2kπ−π3，k∈Z，
由于−π2<φ<π2，
可得：φ=−π3，
可得函数解析式为：f(x)=2sin(2x−π3)．
(2)由题意知：π2∴ 2π3<2x−π3<7π6，
∵ f(x)=2sin(2x−π3)=263，
可得sin(2x−π3)=63，cs(2x−π3)=−33，
∴ cs2x=cs(2x−π3+π3)
=cs(2x−π3)csπ3−sin(2x−π3)sinπ3
=(−33)×12−63×32
=−3−326．
【答案】
解：(1)设m→=1,0，n→=1,1，
∴ a→=2,1，b→=4,−3，
∴ a→+b→=6,−2，a→−b→=−2,4，
∴ cs⟨a→+b→,a→−b→>=6,−2⋅−2,440×20=−22.
又∵ ∈0,π，
∴ =3π4.
(2)当a→⊥a→+λb→时，a→⋅a→+λb→=0，
∴ 2,1⋅2+4λ,1−3λ=0，
则1−3λ+4+8λ=0，
∴ λ=−1.
【考点】
平面向量的坐标运算
数量积表示两个向量的夹角
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设m→=1,0，n→=1,1，
∴ a→=2,1，b→=4,−3，
∴ a→+b→=6,−2，a→−b→=−2,4，
∴ cs⟨a→+b→,a→−b→>=6,−2⋅−2,440×20=−22.
又∵ ∈0,π，
∴ =3π4.
(2)当a→⊥a→+λb→时，a→⋅a→+λb→=0，
∴ 2,1⋅2+4λ,1−3λ=0，
则1−3λ+4+8λ=0，
∴ λ=−1.