2020-2021学年甘肃省兰州市高一（下）期中考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年甘肃省兰州市高一（下）期中考试数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 兰州二中高一年级有14个班级，每个班有52名学生，把每个班级的学生都从1到52号编号．为了交流学习经验，要求每班编号为16的学生留下进行交流．这里运用的是( )
A.分层抽样B.抽签法C.系统抽样D.随机数表法

2. 用秦九韶算法求多项式fx=1−2x+x2+3x4在x=−1时的值，v2的结果是（ ）
A.−2B.0C.4D.5

3. 已知圆C1:x2+y2−23x−4y+6=0，C2:x2+y2−6y=0，则两圆的位置关系为（ ）
A.内切B.相交C.相切D.相离

4. 执行如图所示的程序框图，则输出的S=（ ）

A.2B.−2C.12D.−1

5. 直线ax+y−1=0与连接点A2,3，B−3,2的线段相交，则a的取值范围是( )
A.−1,13B.−∞,−1∪13,+∞
C.−13,1D.−∞,−13∪1,+∞

6. 下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为y=0.7x+0.35，那么表中m的值为( )
A.4C.4.8D.8.8

7. 已知直线l过点(1, 2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为( )
A.x+2y−5=0B.x+2y+5=0
C.2x−y=0或x+2y−5=0D.2x−y=0或x−2y+3=0

8. 在面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积大于S2的概率是（ ）
A.14B.13C.12D.34

9. 若直线ax+by=1经过圆x2+y2=1内一点，则点(a, b)与此圆的位置关系是（ ）
A.在圆内B.在圆外C.在圆上D.都有可能

10. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x−y|的值为( )
A.4B.3C.2D.1

11. 某省在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照3（语文、数学、英语）+2（物理、历史）选1+4（化学、生物、地理、政治）选2的模式设置的，则某考生选择全理科的概率是( )
A.310B.35C.710D.112

12. 若圆C:x2+y2+2x−4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点(a, b)向圆所作的切线长的最小值是( )
A.3B.4C.23D.3
二、填空题

若二进制数110010(2)化为十进制数为a，2652与5148的最大公约数为b，则a+b=________.

在样本的频率分布直方图中，一共有mm≥3个小矩形，第2个小矩形的面积等于其余m−1个小矩形面积和的14，且样本容量为125，则第2组的频数为________.

中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．

已知圆C：(x−2)2+(y−1)2=5及点A(0, 2)，设P，Q分别是直线x+y+2=0和圆C上的动点，则|PA|+|PQ|的最小值为________．
三、解答题

一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西60km 处，受影响的范围是半径长为20km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北30km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？


已知圆C的方程为：x2+y2=4．
(1)求过点P(1, 2)且与圆C相切的直线l的方程；

(2)直线l过点P(1, 2)，且与圆C交于A、B两点，若|AB|=23，求直线l的方程．

某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[50,60) ，[60,70)，⋯，90,100分成5组，制成如图所示频率分布直方图．

(1)求图中x的值；

(2)求这组数据的平均数和中位数；

(3)已知满意度评分值在[50,60)内的男生数与女生数的比为3:2，若在满意度评分值为[50,60)的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率．

某村海拔1500米，交通极为不便，被称为“云端上的村庄”，系建档立卡贫困村．该省政府办公厅组建了精准扶贫组进行定点帮扶，扶贫组在实地调研和充分听取群众意见后，立足当地独特优势，大力发展高山蔬菜和生态黑猪，有效带动了全村父老乡亲脱贫奔小康．村民甲在企业帮扶下签订合同，代养生态黑猪，2016年至2020年养殖黑猪的年收入y（单位：万元）的数据如表：

(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；

(2)利用(1)中的回归方程，预测2021年该村民养殖黑猪的年收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
b=i=1n(xi−x¯)(yi−y¯)i=1n(xi−x¯)2，a=y¯−bx¯.

已知圆C过坐标原点O，且与x轴，y轴分别交于点A，B，圆心坐标C(t, 2t)(t∈R, t≠0).
(1)求证：△AOB的面积为定值；

(2)直线2x+y−4=0与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程.

如图，圆O的半径为2，点A，B，C，D，E是圆O的六等分点中的五个点．

(1)从A，B，C，D，E中随机取三点构成三角形，求这三点构成的三角形是直角三角形的概率；

(2)在圆O上随机取一点P，求△PAC的面积大于23的概率．
参考答案与试题解析
2020-2021学年甘肃省兰州市高一（下）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
系统抽样方法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 班级和学生人数比较多，把每个班级学生从1到52号编排，
要求每班编号为16的学生留下进行交流，
这样选出的样本是采用系统抽样的方法．
故选C.
2.
【答案】
C
【考点】
秦九韶算法
【解析】
由fx=3x4+x2−2x+1=3xx+1x−2x+1，即可求解.
【解答】
解：∵ fx=3x4+x2−2x+1
=3xx+1x−2x+1，
当x=−1时，v0=3，
v1=3×−1=−3,
v2=v1×−1+1=4.
故选C.
3.
【答案】
A
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
【解析】
求出圆的标准方程，结合两圆的位置关系进行判断即可．
【解答】
解：两圆的标准方程为(x−3)2+(y−2)2=1，x2+(y−3)2=9，
圆心坐标分别为C1(3, 2)，C2(0, 3)，半径分别为R=1，r=3，
则|C1C2|=(3)2+(3−2)2=3+1=4=2=3−1=r−R，
即两圆内切，
故选A.
4.
【答案】
C
【考点】
程序框图
【解析】
模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，观察S的取值规律即可得解．
【解答】
解：模拟执行程序框图，可得S=2，k=0，
第1次执行循环，S=−1，k=1，
第2次执行循环，S=12，k=2，
第3次执行循环，S=2，k=3，
…
观察规律可得S的取值周期为3，由2020=673×3+1可得，
当k=2021不满足条件，即退出循环，输出S的值为12．
故选C.
5.
【答案】
B
【考点】
直线的斜率
两条直线的交点坐标
【解析】
由直线ax+y−1=0的方程，判断恒过C0,1 ，求出KCA与KCB，判断过C点的竖直直线与AB两点的关系，求出满足条件的直线斜率的取值范围．
【解答】
解：由直线ax+y−1=0的方程，
依题意，如图所示：
直线y=−ax+1恒过C0,1，
kAC=3−12−0=1，kBC=2−1−3−0=−13，
根据斜率的相关知识得：
当直线y=−ax+1的斜率−a≥1或−a≤−13时，直线与线段AB相交，
∴ a≤−1或a≥13，
故选B.
6.
【答案】
D
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
首先根据表格，求出x¯,y¯，再利用回归直线必过样本中心，列出m的方程进行求解．
【解答】
解： x¯=4+5+6+74=5.5，
y¯=1.5+m+4+2.54=m+84，
又回归直线必过样本点的中心x¯,y¯，
所以m+84=0.7×5.5+0.35，
解得m=8.8，
故选D.
7.
【答案】
C
【考点】
直线的截距式方程
【解析】
当直线过原点时，直接写出直线方程；当直线不过原点时，设出直线的截距式方程x2m+ym=1，代入点(1, 2)求解m的值，则答案可求．
【解答】
解：当直线l过原点时，
∵ 直线l过点(1, 2)，
∴ 所求直线方程为y=2x，即2x−y=0；
当直线不过原点时，由已知设直线方程为x2m+ym=1．
∵ 直线l过点(1, 2)，
∴ 12m+2m=1，解得m=52．
∴ 直线方程为x+2y−5=0，
∴ 直线l的方程为：2x−y=0或x+2y−5=0．
故选C.
8.
【答案】
A
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
首先分析题目求在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积超过 S2的概率，即可考虑画图求解的方法，然后根据图形分析出基本的事件空间与事件的几何度量是什么．再根据几何关系求解出它们的比例即可．
【解答】
解：记事件A={△PBC的面积超过 S2}，
基本事件空间是三角形ABC的面积，如图所示，
事件A的几何度量为图中阴影部分的面积（DE是三角形的中位线），
因为阴影部分的面积是整个三角形面积的 34，
所以P(A)=1−阴影部分的面积三角形ABC的面积=14．
故选A．
9.
【答案】
B
【考点】
点与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
【解析】
由已知得圆心(0, 0)到直线ax+by−1=0的距离d<1，从而a2+b2>1，从而得到点(a, b)到圆心(0, 0)的距离d′>1=r，由此能判断点(a, b)与此圆的位置关系．
【解答】
解：∵ 直线ax+by=1经过圆x2+y2=1内一点，
∴ 圆心(0, 0)到直线ax+by−1=0的距离d=|−1|a2+b2<1，
∴ a2+b2>1，
∴ 点(a, b)到圆心(0, 0)的距离d′=a2+b2>1=r，
∴ 点(a, b)与此圆的位置关系是点在圆外．
故选B.
10.
【答案】
A
【考点】
极差、方差与标准差
众数、中位数、平均数
【解析】
利用平均数、方差的概念列出关于x,y的方程组，解方程即可得到答案．
【解答】
解：由题意可得：x+y=5×10−10−11−9=20，
x−102+y−102=10−1−1=8，
设x=10+t，y=10−t，
则2t2=8，解得t=±2，
∴ |x−y|=2|t|=4，
故选A.
11.
【答案】
D
【考点】
古典概型及其概率计算公式
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
在2（物理，历史）选1+4（化学、生物、地理、政治）选2种，利用列举法求出选物理的有6种，选历史的也有6种，共计12种，其中选择全理科的有1种，由此能求出某考生选择全理科的概率．
【解答】
解：在2（物理，历史）选1+4（化学、生物、地理、政治）选2中，
选物理的有6种，分别为：物化生、物化地、物化政、物生地、物生政、物地政，
同时，选历史的也有6种，共计12种，其中选择全理科的有1种，
所以某考生选择全理科的概率是P=112.
故选D．
12.
【答案】
B
【考点】
圆的切线方程
直线与圆的位置关系
【解析】
圆的方程化为标准方程，圆心坐标代入直线2ax+by+6=0，可得点(a, b)在直线l:−x+y+3=0，过C(−1, 2)，作l的垂线，垂足设为D，则过D作圆C的切线，切点设为E，则切线长DE最短，从而可得结论．
【解答】
解：圆C:x2+y2+2x−4y+3=0可化为(x+1)2+(y−2)2=2，
圆心坐标为C(−1, 2)，
∵ 圆C:x2+y2+2x−4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，
∴ 圆心C(−1,2)在直线2ax+by+6=0上，
∴ −2a+2b+6=0，即a−b=3，
又圆的半径为2，
∴ 当点(a,b)与圆心的距离最小时，切线长取得最小值，
又点(a,b)与圆心的距离为：
(a+1)2+(b−2)2=2(a−2)2+18≥18=32，
∴ 切线长的最小值为(32)2−(2)2=4.
故选B.
二、填空题
【答案】
206
【考点】
进位制
用辗转相除计算最大公约数
【解析】
利用辗转相除法可得2652与5148的最大公约数b．利用二进制数化为十进制数的方法可得a．
【解答】
解：∵ 110010(2)=1×25+1×24+1×2=50，
∴ a=50，
∵ 5148=1×2652+2496，
2652=2496×1+156，
2496=156×16，
∴ 2652与5148的最大公约数为156，
∴ b=156，
∴ a+b=206.
故答案为：206.
【答案】
25
【考点】
频率分布直方图
频数与频率
【解析】
根据频率分布直方图中各个小矩形的面积是相应范围内的数据频率，利用频率和为1，求出第2小组的频率，再求对应的频数．
【解答】
解：设第2个小矩形的频率为x，
则其余m−1个小矩形对应的频率为4x，
∴x+4x=1，
解得x=0.2，
∴ 第2组的频数是125×0.2=25.
故答案为：25.
【答案】
1928
【考点】
相互独立事件
相互独立事件的概率乘法公式
互斥事件的概率加法公式
【解析】
因为单打不可能出现甲乙同时为冠军的情况，所以中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为甲获得冠军的概率加上乙获得冠军的概率．
【解答】
解：因为单打不可能出现甲乙同时为冠军的情况，
所以中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为甲获得冠军的概率加上乙获得冠军的概率，
因为甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，
所以中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37+14=1928.
故答案为：1928.
【答案】
25
【考点】
直线与圆相交的性质
【解析】
求出点B关于直线x+y+2=0的对称点，将已知问题转化为对称点到圆上的最小值问题，根据圆的几何条件，圆外的点到圆上的点的最小值等于该点到圆心的距离减去半径．
【解答】
解：由于点A(0, 2)关于直线x+y+2=0的对称点为A′(−4, −2)，
则|PA|+|PQ|=|PA′|+|PQ|≥|A′Q|，
又A′到圆上点Q的最短距离为|A′C|−r=35−5=25，
故答案为：25．
三、解答题
【答案】
解：建立如图所示的直角坐标系，取10km为单位长度，
由题意知轮船的起点和终点坐标分别为6,0，0,3，
所以轮船航线所在直线方程为x6+y3=1，
即x+2y−6=0．
台风区域边界所在圆的方程为x2+y2=4．
由点到直线的距离公式，得圆心到直线的距离
d=|−6|12+22=65>2，
所以直线x+2y−6=0与圆x2+y2=4相离，
因此这艘轮船即使不改变航线，那么它也不会受到台风的影响．
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：建立如图所示的直角坐标系，取10km为单位长度，
由题意知轮船的起点和终点坐标分别为6,0，0,3，
所以轮船航线所在直线方程为x6+y3=1，
即x+2y−6=0．
台风区域边界所在圆的方程为x2+y2=4．
由点到直线的距离公式，得圆心到直线的距离
d=|−6|12+22=65>2，
所以直线x+2y−6=0与圆x2+y2=4相离，
因此这艘轮船即使不改变航线，那么它也不会受到台风的影响．
【答案】
解：(1)显然直线l的斜率存在，设切线方程为y−2=k(x−1)，
则 |2−k|k2+1=2 ，
解得，k1=0，k2=−43，
故所求的切线方程为y=2或4x+3y−10=0．
(2)当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x=1，
l与圆的两个交点坐标为(1, 3)和(1, −3)，
这两点的距离为23，满足题意；
当直线l不垂直于x轴时，
设其方程为y−2=k(x−1)，
即kx−y−k+2=0，
设圆心到此直线的距离为d，
则23=24−d2，
∴ d=1，
∴ 1=|−k+2|k2+1，
∴ k=34，
此时直线方程为3x−4y+5=0，
综上所述，所求直线方程为3x−4y+5=0或x=1．
【考点】
直线与圆的位置关系
圆的切线方程
点到直线的距离公式
直线的一般式方程
直线的点斜式方程
【解析】
（1）设出切线方程，利用点到直线的距离等于半径，求出k，即可求出过点P(1, 2)且与圆C相切的直线l的方程；
（2）通过弦长|AB|=23，半径与弦心距满足勾股定理，求出直线的斜率，然后求直线l的方程．
【解答】
解：(1)显然直线l的斜率存在，设切线方程为y−2=k(x−1)，
则 |2−k|k2+1=2
解得，k1=0，k2=−43，
故所求的切线方程为y=2或4x+3y−10=0．
(2)当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x=1，
l与圆的两个交点坐标为(1, 3)和(1, −3)，
这两点的距离为23，满足题意；
当直线l不垂直于x轴时，
设其方程为y−2=k(x−1)，
即kx−y−k+2=0，
设圆心到此直线的距离为d，
则23=24−d2，
∴ d=1，
∴ 1=|−k+2|k2+1，
∴ k=34，
此时直线方程为3x−4y+5=0，
综上所述，所求直线方程为3x−4y+5=0或x=1．
【答案】
解：(1)由题意，得
0.005+0.01+0.035+0.030+x×10=1，
解得x=0.02.
(2)由题意，得这组数据的平均数为
55×0.05+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.1=77.
设中位数为m，
则0.05+0.2+m−70×0.035=0.5，
解得m=5407，
故这组数据的中位数为5407.
(3)满意度评分值在[50,60)内有100×0.005×10=5(人)，
其中男生3人，记为A1，A2，A3，女生2人，记为B1，B2，
记“满意度评分值为[50,60）的人中随机抽取2人进行座谈，2人均为男生”为事件A，
总基本事件个数为10个，
A包含的基本事件个数为3个，分别为A1,A2，A1,A3，A2,A3，
利用古典概型概率公式可知，2人均为男生的概率PA=310.
【考点】
频率分布直方图
众数、中位数、平均数
古典概型及其概率计算公式
【解析】
利用小矩形的面积之和为1即可求解.
利用中位数即为平分矩形面积的点，平均数是用每个小矩形的横轴的中点与面积乘积之后再求和.
利用列举法求解古典概型.
【解答】
解：(1)由题意，得
0.005+0.01+0.035+0.030+x×10=1，
解得x=0.02.
(2)由题意，得这组数据的平均数为55×0.05+65×0.2+75×0.35+85
×0.3+95×0.1=77.
设中位数为m，
则0.05+0.2+m−70×0.035=0.5，
解得m=5407，
故这组数据的中位数为5407.
(3)满意度评分值在[50,60)内有100×0.005×10=5(人)，
其中男生3人，记为A1，A2，A3，女生2人，记为B1，B2，
记“满意度评分值为[50,60）的人中随机抽取2人进行座谈，2人均为男生”为事件A，
总基本事件个数为10个，
A包含的基本事件个数为3个，分别为A1,A2，A1,A3，A2,A3，
利用古典概型概率公式可知，2人均为男生的概率PA=310.
【答案】
解：(1)由所给数据计算得
x¯=151+2+3+4+5=3，
y¯=155.6+6.5+7.4+8.2+9.1=7.36，
i=15xi−x¯2=4+1+0+1+4=10，
i=15(xi−x¯)(yi−y¯)
=(1−3)×(5.6−7.36)+⋯+(5−3)(9.1−7.36)=8.7，
b=i=15(xi−x¯)(yi−y¯)i=15(xi−x¯)2=8.710=0.87，
a=y¯−bx¯=7.36−0.87×3=4.75，
所以y=0.87x+4.75.
(2)将2021年的年份代号x=6代入(1)中的回归方程，
得y=0.87×6+4.75=9.97，
故预测2021年该村民养殖黑猪的年收入是9.97万元．
【考点】
求解线性回归方程
回归分析的初步应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由所给数据计算得
x¯=151+2+3+4+5=3，
y¯=155.6+6.5+7.4+8.2+9.1=7.36，
i=15xi−x¯2=4+1+0+1+4=10，
i=15(xi−x¯)(yi−y¯)
=(1−3)×(5.6−7.36)+⋯+(5−3)(9.1−7.36)=8.7，
b=i=15(xi−x¯)(yi−y¯)i=15(xi−x¯)2=8.710=0.87，
a=y¯−bx¯=7.36−0.87×3=4.75，
所以y=0.87x+4.75.
(2)将2021年的年份代号x=6代入(1)中的回归方程，
得y=0.87×6+4.75=9.97，
故预测2021年该村民养殖黑猪的年收入是9.97万元．
【答案】
(1)证明：由题设知，圆C的方程为(x−t)2+(y−2t）2=t2+4t2，
化简得x2−2tx+y2−4ty=0，
当y=0时，x=0或2t，则A(2t, 0)，
当x=0时，y=0或4t，则B(0, 4t)，
∴ S△AOB=12|OA|⋅|OB|=12|2t|⋅|4t|=4为定值．
(2)解：∵ |OM|=|ON|，则原点O在MN的中垂线上，
设MN的中点为H，则CH⊥MN，
∴ C，H，O三点共线，
则直线OC的斜率k=2tt=2t2=12，
∴ t=2或t=−2，
∴ 圆心为C(2, 1)或C(−2, −1)，
∴ 圆C的方程为(x−2)2+(y−1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5，
由于当圆方程为(x+2)2+(y+1)2=5时，直线2x+y−4=0到圆心的距离d>r，
此时不满足直线与圆相交，故舍去，
∴ 圆C的方程为(x−2)2+(y−1)2=5．
【考点】
直线和圆的方程的应用
三角形的面积公式
直线与圆的位置关系
【解析】
（1）根据圆的方程求出A，B的坐标即可证明△AOB的面积为定值；
（2）根据直线2x+y−4=0与圆C交于点M，N，结合|OM|=|ON|，建立条件关系即可，求圆C的方程；
【解答】
(1)证明：由题设知，圆C的方程为(x−t)2+(y−2t）2=t2+4t2，
化简得x2−2tx+y2−4ty=0，
当y=0时，x=0或2t，则A(2t, 0)，
当x=0时，y=0或4t，则B(0, 4t)，
∴ S△AOB=12|OA|⋅|OB|=12|2t|⋅|4t|=4为定值．
(2)解：∵ |OM|=|ON|，则原点O在MN的中垂线上，
设MN的中点为H，则CH⊥MN，
∴ C，H，O三点共线，
则直线OC的斜率k=2tt=2t2=12，
∴ t=2或t=−2，
∴ 圆心为C(2, 1)或C(−2, −1)，
∴ 圆C的方程为(x−2)2+(y−1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5，
由于当圆方程为(x+2)2+(y+1)2=5时，直线2x+y−4=0到圆心的距离d>r，
此时不满足直线与圆相交，故舍去，
∴ 圆C的方程为(x−2)2+(y−1)2=5．
【答案】
解：(1)从A，B，C，D，E中随机取三点，构成的三角形共10个：
△ABC，△BCD，△ACE，△ADB， △ADC，
△ADE，△BEA，△BEC，△BED，△CDE，
记事件M为“从A，B，C，D，E中随机取三点，这三点构成的三角形是直角三角形”；
由题意可知以A，B，C，D，E为端点的线段中，只有AD，BE是圆O的直径，
所以事件M包含以下6个基本事件：
△ADB，△ADC，△ADE，△BEA，△BEC，△BED，
所以所求的概率为PM=610=35.
(2)在Rt△ACD中， AD=4，∠ACD=90∘，
由题意知CD是60∘弧，其所对的圆周角∠CAD=30∘，
所以CD=2，AC=42−22=23，
当△PAC的面积大于23时，设点P到AC的距离为d，
则有S△PAC=12AC⋅d=3d>23，即d>2，
由题意知四边形ACDF是矩形，
所以AC//DF，且AC与DF之间的距离为2，
所以点P在DEF上（不包括点D、F），
故所求的概率为PN=DEF的弧长圆O的周长=13．
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
几何概型的概念及概率公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)从A，B，C，D，E中随机取三点，构成的三角形共10个：
△ABC，△BCD，△ACE，△ADB， △ADC，
△ADE，△BEA，△BEC，△BED，△CDE，
记事件M为“从A，B，C，D，E中随机取三点，这三点构成的三角形是直角三角形”；
由题意可知以A，B，C，D，E为端点的线段中，只有AD，BE是圆O的直径，
所以事件M包含以下6个基本事件：
△ADB，△ADC，△ADE，△BEA，△BEC，△BED，
所以所求的概率为PM=610=35.
(2)在Rt△ACD中， AD=4，∠ACD=90∘，
由题意知CD是60∘弧，其所对的圆周角∠CAD=30∘，
所以CD=2，AC=42−22=23，
当△PAC的面积大于23时，设点P到AC的距离为d，
则有S△PAC=12AC⋅d=3d>23，即d>2，
由题意知四边形ACDF是矩形，
所以AC//DF，且AC与DF之间的距离为2，
所以点P在DEF上（不包括点D、F），
故所求的概率为PN=DEF的弧长圆O的周长=13．x
4
5
6
7
y
1.5
m
4
2.5
年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份代号x
1
2
3
4
5
年收入y
5.6
6.5
7.4
8.2
9.1