2020-2021年河南省新乡市实验学校高一（下）5月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021年河南省新乡市实验学校高一（下）5月月考数学试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若α=−2，则α的终边在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2. 已知α为第三象限角，且csα=−35，则tanα的值为( )
A.43B.34C.−43D.−34

3. 下列各数中最小的数是( )
A.85（9）B.210（6）C.1000（4）D.111111（2）

4. 已知sinx−π4=35，则csx+π4=( )
A.45B.35C.−45D.−35

5. 从装有6个红球和5个白球的口袋中任取4个球，那么下列是互斥而不对立的事件是( )
A.至少一个红球与都是红球
B.至少一个红球与至少一个白球
C.至少一个红球与都是白球
D.恰有一个红球与恰有两个红球

6. 下列函数中是奇函数且最小正周期是π的函数是( )
A.y=cs|2x|B.y=|sinx|C.y=sin(π2+2x)D.y=cs(3π2−2x)

7. 函数y=2csx+1的定义域是( )
A.2kπ−π3,2kπ+π3(k∈Z)B.2kπ−π6,2kπ+π6(k∈Z)
C.2kπ+π3,2kπ+2π3(k∈Z)D.2kπ−2π3,2kπ+2π3(k∈Z)

8. 函数y=3sin(2x+φ)的图象关于直线x=π6对称，则|φ|的最小值为( )
A.π6B.π4C.π3D.π2

9. 从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：
根据上表可得回归直线方程y=0.56x+a，据此模型预报身高为172cm的高三男生的体重为( )

10. 如图所示，执行该程序框图，为使输出的函数值在区间[14,12]内，则输入的实数x的取值范围是( )

A.[2,+∞)B.[−1, 2]C.[−2, −1]D.(−∞,−2]

11. 函数y=xsinx在[−π, π]上的图象是( )
A.B.
C.D.

12. 函数y=2sin2 x+2cs x−3的最大值是( )
A.−1B.1C.−12D.−5
二、填空题

用辗转相除法求得数98与63的最大公约数是________．
三、解答题

化简下列各式．
(1)sin(−2π−α)cs(π2−α)tan(2π−α)cs(π+α)sin(3π2+α) ；

(2)1−2sin10∘cs10∘sin10∘−1−sin2190∘．


(1)求证：1−2sin2xcs2xcs22x−sin22x=1−tan2x1+tan2x；

(2)已知函数fx=2sin2x+π6+1，写出函数图象的对称中心坐标及对称轴方程．

袋中装有除颜色外形状大小完全相同的6个小球，其中有4个编号为1，2，3，4的红球，2个编号为A，B的黑球，现从中任取2个小球；
(1)求所取2个小球都是红球的概率;

(2)求所取的2个小球颜色不相同的概率.

某学校有学生1000人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了100名学生对本校食堂服务满意程度打分，根据这100名学生的打分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].

(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校学生满意度打分不低于70分的人数；

(2)若打分的平均值不低于75分视为满意，判断该校学生对食堂服务是否满意？并说明理由（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；

(3)若采用分层抽样的方法，从打分在[40,60)的受访学生中随机抽取5人了解情况，再从中选取2人进行跟踪分析，求这2人至少有一人评分在[40,50)的概率.

某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费对年销售量（单位：t）的影响.该公司对近7年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费x（万元）和年销售量y（单位：t）具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.

(1)根据表中数据建立年销售量y关于年宣传费x的回归方程（结果保留到0.001）；

(2)若某年宣传费为4.5万元时，求年销售量y的估计值？

(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=y−0.25x2−1.25，根据(1)中的结果，估算该公司应该投入多少宣传费，才能使得年利润z最大.
附：回归方程y=bx+a中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，b=i=1nxiyi−nx¯y¯∑xi2−nx¯2=i=1n(xi−x¯)(yi−y¯)i=1n(xi−x¯)2，a=y¯−bx¯.

设函数fx=3sinωx+π4 ，ω>0且以2π3为最小正周期．
(1)求ω；

(2)求函数fx的单调递减区间；

(3)当x∈π3,π2时，求fx的值域．
参考答案与试题解析
2020-2021年河南省新乡市实验学校高一（下）5月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
象限角、轴线角
弧度与角度的互化
【解析】
根据角的弧度制与角度制之间的转化关系可得选项．
【解答】
解：因为1rad≈57.30∘，所以−2rad≈−114.60∘，
所以α的终边在第三象限．
故选C．
2.
【答案】
A
【考点】
同角三角函数间的基本关系
【解析】
由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα的值，进而可求tanα的值．
【解答】
解：∵ α为第三象限角，且csα=−35，
∴ sinα=−1−cs2α=−45，
∴ tanα=sinαcsα=43．
故选A.
3.
【答案】
D
【考点】
进位制
【解析】
将四个答案中的数都转化为十进制的数，进而可以比较其大小．
【解答】
解：85（9）=8×9+5=77，
210（6）=2×62+1×6=78，
1000（4）=1×43=64，
111111（2）=1×26−1=63，
故最小的数是111111（2）.
故选D.
4.
【答案】
D
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为csx+π4
=sinπ2−x+π4=sinπ4−x,
又因为sinx−π4=−sinπ4−x=35，
所以sinπ4−x=−35，
所以csx+π4=−35.
故选D.
5.
【答案】
D
【考点】
互斥事件与对立事件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A，“至少一个红球”包含“都是红球”，故A不符合题意；
B，至少一个红球与至少一个白球包含“一个红球三个白球”、“二个红球二个白球”、“三个红球一个白球”，故B不符合题意；
C，至少一个红球与都是白球是对立的事件，故不C符合题意；
D，恰有一个红球与恰有两个红球是互斥而不对立的事件.
故选D.
6.
【答案】
D
【考点】
三角函数的周期性及其求法
诱导公式
函数奇偶性的判断
【解析】
判断函数的奇偶性，再根据三角函数的周期性及其求法直接求函数的周期，然后确定选项．
【解答】
解：A，y=cs|2x|=cs2x的最小正周期为2π2=π，为偶函数，故A错误；
B，y=|sinx|的最小正周期是2π，为偶函数，故B错误；
C，y=sin(π2+2x)=cs2x的最小正周期是π，为偶函数，故C错误；
D，y=cs(3π2−2x)
=cs(π+π2−2x)，
=−cs(π2−2x)
=−sin2x，最小正周期为π，为奇函数，故D正确.
故选D.
7.
【答案】
D
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
首先根号下大于等于0，即2csx+1≥0；
又由csx≥−12得，−2π3+2kπ≤x≤2π3+2kπ（k为整数），所以−2π3+2kπ≤x≤2π3+2kπ，k∈Z.
【解答】
解：首先根号下大于等于0，
即2csx+1≥0，即csx≥−12
又由csx≥−12得，
−2π3+2kπ≤x≤2π3+2kπ（k为整数），
所以−2π3+2kπ≤x≤2π3+2kπ，(k∈Z).
故选D．
8.
【答案】
A
【考点】
正弦函数的对称性
【解析】
利用正弦函数的对称轴以及整体思想可得：φ的表达式，进而得到|φ|的最小值．
【解答】
解：由题意知函数y=3sin(2x+φ)的图象关于直线x=π6对称，
则有2×π6+φ=kπ+π2，k∈Z，
解得φ=kπ+π6，k∈Z，
当k=0时，|φ|min=π6．
故选A.
9.
【答案】
B
【考点】
回归分析
求解线性回归方程
【解析】
根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，现在方程是一个确定的方程，根据所给的x​的值，代入线性回归方程，预报身高为172cm的高三男生的体重
【解答】
解：由表中数据可得x¯=160+165+170+175+1805=170，
y¯=63+66+70+72+745=69，
因为( x¯, y¯)一定在回归直线方程y=0.56x+a上，
所以69=0.56×170+a，
解得a=−26.2，
所以y=0.56x−26.2，
当x=172时，y=0.56×172−26.2=70.12.
故选B.
10.
【答案】
C
【考点】
程序框图
分段函数的应用
【解析】
由输出的函数值倒推自变量》的取值范围．
【解答】
解：该程序的作用是计算分段函数
fx=2x,x∈−2,2,2,x∈−∞,−2∪2,+∞的函数值．
∵ 输出的函数值在区间14,12内，
∴ x=−2,−1.
故选C．
11.
【答案】
A
【考点】
函数的图象
【解析】
本题可采用排除法解答，先分析出函数的奇偶性，再求出f(π2)和f(π)的值，排除不满足条件的答案，可得结论．
【解答】
解：∵ y=x和y=sinx均为奇函数，
∴ 函数y=f(x)=xsinx为偶函数，
∴ 图象关于y轴对称，故排除D．
f(π2)=π2sinπ2=π2>0，
f(π)=πsinπ=0，故排除BC.
故选A．
12.
【答案】
C
【考点】
三角函数的最值
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
由题可得，y=2−2cs2x+2csx−3=−2(cs2x+x+14−14)−1=−2(csx+12)2−12，
则其最大值为−12，
故选C.
【解答】
解：由题可得y=2−2cs2x+2csx−3
=−2(cs2x−csx+14−14)−1=−2(csx−12)2−12，
∵ −1≤csx≤1，
∴ 当csx=12时，y取得最大值为−12.
故选C.
二、填空题
【答案】
7
【考点】
用辗转相除计算最大公约数
【解析】
利用“辗转相除法”即可得出．
【解答】
解：因为98=63×1+35，
63=35×1+28，
35=28×1+7，
28=7×4．
所以98与63的最大公约数是7．
故答案为：7．
三、解答题
【答案】
解：(1)原式=sin[−(2π+α)]⋅sin α(−tan α)⋅(−cs α)⋅(−cs α)
=−sin α⋅sin α−sin α⋅cs α
=sin αcs α
=tan α；
(2)原式=sin2 10∘−2sin 10∘cs 10∘+cs2 10∘sin 10∘−cs2 10∘
=|sin 10∘−cs 10∘|sin 10∘−cs 10∘=−1.
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)原式=sin[−(2π+α)]⋅sin α(−tan α)⋅(−cs α)⋅(−cs α)
=−sin α⋅sin α−sin α⋅cs α
=sin αcs α
=tan α；
(2)原式=sin2 10∘−2sin 10∘cs 10∘+cs2 10∘sin 10∘−cs2 10∘
=|sin 10∘−cs 10∘|sin 10∘−cs 10∘=−1.
【答案】
(1)证明：1−2sin2xcs2xcs22x−sin22x
=sin22x+cs22x−2sin2xcs2xcs22x−sin22x
=(sin2x−cs2x)2(cs2x+sin2x)(cs2x−sin2x)
=cs2x−sin2xcs2x+sin2x=1−tan2x1+tan2x .
(2)解：fx=2sin2x+π6+1，
令2x+π6=kπ，k∈Z，
解得x=kπ2−π12，k∈Z，
∴ 对称中心的坐标为kπ2−π12,1，k∈Z．
令2x+π6=π2+kπ，k∈Z，
解得x=kπ2+π6，k∈Z，
∴ 对称轴方程为x=kπ2+π6，k∈Z．
【考点】
三角函数中的恒等变换应用
正弦函数的对称性
【解析】
（1）1−2sin2xcs2xcs22x−sin22x=sin22x+cs22x−2sin2xcs2xcs22x−sin22x=(sin2x−cs2x)2(cs2x+sin2x)(cs2x−sin2x)
=cs2−sin2xcs2x+sin2x=1−tan2x1+tan2x .
【解答】
(1)证明：1−2sin2xcs2xcs22x−sin22x
=sin22x+cs22x−2sin2xcs2xcs22x−sin22x
=(sin2x−cs2x)2(cs2x+sin2x)(cs2x−sin2x)
=cs2x−sin2xcs2x+sin2x=1−tan2x1+tan2x .
(2)解：fx=2sin2x+π6+1，
令2x+π6=kπ，k∈Z，
解得x=kπ2−π12，k∈Z，
∴ 对称中心的坐标为kπ2−π12,1，k∈Z．
令2x+π6=π2+kπ，k∈Z，
解得x=kπ2+π6，k∈Z，
∴ 对称轴方程为x=kπ2+π6，k∈Z．
【答案】
解：(1)由题意知，任取2个小球的基本事件有：
1,2，1,3， 1,4， 1,A， 1,B，
2,3， 2,4，2,A，2,B，
3,4，3,A， 3,B，
4,A，4,B，
{A,B}，
共15个等可能的基本事件，
用M表示“所取2个小球都是红球”，
则M包含的基本事件有：1,2，1,3，1,4 ，2,3, {2,4}， 3,4，共6个，
所以所取2个小球都是红球的概率：PM=615=25 ．
(2)用N表示“所取的2个小球颜色不相同”，
则N包含的基本事件有：
1,A，1,B，{2,A}，{2,B}，{3,A}，{3,B}，4,A，{4,B}，共8个，
所以所取的2个小球颜色不相同的概率：PN=815．
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
（1）利用列举法求出任取2个小球的基本事件总数，用M表示“所取取2个小球都是红球”，利用列举法求出M包含的基本事
件个数，由此能求出所取取2个小球都是红球的概率．
（2）用N表示“所取的2个小球颜色不相同”，利用列举法求出N包含的基本事件个数，由此能求出所取的2个小球颜色不相同
的概率．
【解答】
解：(1)由题意知，任取2个小球的基本事件有：
1,2，1,3， 1,4， 1,A， 1,B，
2,3， 2,4，2,A，2,B，
3,4，3,A， 3,B，
4,A，4,B，
{A,B}，
共15个等可能的基本事件，
用M表示“所取2个小球都是红球”，
则M包含的基本事件有：1,2，1,3，1,4 ，2,3, {2,4}， 3,4，共6个，
所以所取2个小球都是红球的概率：PM=615=25 ．
(2)用N表示“所取的2个小球颜色不相同”，
则N包含的基本事件有：
1,A，1,B，{2,A}，{2,B}，{3,A}，{3,B}，4,A，{4,B}，共8个，
所以所取的2个小球颜色不相同的概率：PN=815．
【答案】
解：(1)由频率分布直方图可知，
0.004+a+0.018+0.022×2+0.028×10=1，
解得a=0.006，
该校学生满意度打分不低于70分的人数为
1000×0.28+0.22+0.18=680（人）．
(2)由题意，得打分平均值x¯=45×0.04+55×0.06+65×0.22
+75×0.28+85×0.22+95×0.18=76.2>75，
所以该校学生对食堂服务满意．
(3)由频率分布直方图可知，
打分在[40.50)和[50,60)内的频率分别为0.04和0.06，
抽取的5人采用分层抽样的方法，
在[40,50)内的人数为2人，在[50.60)内的人数为3人．
设[40,50)内的2人打分分别为a1，a2，
[50,60)内的3人打分分别为A1，A2，A3，
则从[40,60)的受访学生中随机抽取2人，
2人打分的基本事件有a1,a2，a1,A1，a1,A2，
a1,A3，a2,A1，a2,A2，a2,A3，A1,A2，A1,A3，
A2,A3共10种，
其中两人都在[50,60)内的可能结果为
A1,A2，A1,A3，A2,A3，
则这2人至少有一人打分在[40,50)的概率P=1−310=710.
【考点】
频率分布直方图
众数、中位数、平均数
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
（1）由频率分布直方图中所有频率的和为1可计算出④值，求出不低于70分的频率可估计出人数；
（2）取各组数据中点值为估计值乘以频率相加可得平均值，从而得结论；
（3）由频率得抽取的5人中在[40,50)和[50.60)上的人数，分别编号后用列举法写出所有基本事件，并得出两人都在[50.60)
内的可能结果从而结合对立事件的概率公式可得结论．
【解答】
解：(1)由频率分布直方图可知，
0.004+a+0.018+0.022×2+0.028×10=1，
解得a=0.006，
该校学生满意度打分不低于70分的人数为
1000×0.28+0.22+0.18=680（人）．
(2)由题意，得打分平均值x¯=45×0.04+55×0.06+65×0.22
+75×0.28+85×0.22+95×0.18=76.2>75，
所以该校学生对食堂服务满意．
(3)由频率分布直方图可知，
打分在[40.50)和[50,60)内的频率分别为0.04和0.06，
抽取的5人采用分层抽样的方法，
在[40,50)内的人数为2人，在[50.60)内的人数为3人．
设[40,50)内的2人打分分别为a1，a2，
[50,60)内的3人打分分别为A1，A2，A3，
则从[40,60)的受访学生中随机抽取2人，
2人打分的基本事件有a1,a2，a1,A1，a1,A2，
a1,A3，a2,A1，a2,A2，a2,A3，A1,A2，A1,A3，
A2,A3共10种，
其中两人都在[50,60)内的可能结果为
A1,A2，A1,A3，A2,A3，
则这2人至少有一人打分在[40,50)的概率P=1−310=710.
【答案】
(1)解：由题意x¯=17×1+2+3+4+5+6+7=4，
y¯=17×2.8+5.3+6.8+9.2+10.9+13.2+14.8=9，
所以b=307.9−7×4×9140−7×42≈1.996，
所以a=9−1.996×4=1.016，
所以y=1.996x+1.016.
(2)某年宣传费为4.5万元时，年销售量y的估计值为1.996×4.5+1.016=9.998.
(3)由(1)易得z=1.996x+1.016−0.25x2−1.25
=−0.25x2+1.996x−0.234，
可知，当x=−1.996−0.25×2=3.992时，年利润z最大．
【考点】
求解线性回归方程
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
（1）先求出x¯，然后结合所给数据求出b，从而可得到回归方程；
(2)把x=45代入回归方程中求解即可；
（3）由题意可得z=1.996x+1.016−0.25x2−1.25=−0.25x2+1.996x−0.234，然后利用二次函数的性质求其最大值
【解答】
(1)解：由题意x¯=17×1+2+3+4+5+6+7=4，
y¯=17×2.8+5.3+6.8+9.2+10.9+13.2+14.8=9，
所以b=307.9−7×4×9140−7×42≈1.996，
所以a=9−1.996×4=1.016，
所以y=1.996x+1.016.
(2)某年宣传费为4.5万元时，年销售量y的估计值为1.996×4.5+1.016=9.998.
(3)由(1)易得z=1.996x+1.016−0.25x2−1.25
=−0.25x2+1.996x−0.234，
可知，当x=−1.996−0.25×2=3.992时，年利润z最大．
【答案】
解：(1)因为T=2πω，
所以ω=2πT=2π2π3=3，
所以fx=3sin3x+π4．
(2)令2kπ+π2≤3x+π4≤2kπ+3π2，k∈Z，
所以23kπ+π12≤x≤23kπ+5π12，k∈Z，
所以fx的单调递减区间为23kπ+π12,23kπ+5π12，k∈Z.
(3)因为fx=3sin3x+π4，且x∈π3,π2，
所以令t=3x+π4∈5π4,7π4.
又因为y=3sint在[5π4,3π2)上单调递减，在3π2,7π4上单调递增，
所以fxmin=3sin3π2=−3，此时x=5π12.
又因为sin5π4=sin7π4=−22，
所以fxmax=3sin5π4=−322，此时x=π3或π2，
所以fx的值域为−3,−322．
【考点】
正弦函数的周期性
正弦函数的单调性
三角函数的最值
正弦函数的定义域和值域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为T=2πω，
所以ω=2πT=2π2π3=3，
所以fx=3sin3x+π4．
(2)令2kπ+π2≤3x+π4≤2kπ+3π2，k∈Z，
所以23kπ+π12≤x≤23kπ+5π12，k∈Z，
所以fx的单调递减区间为23kπ+π12,23kπ+5π12，k∈Z.
(3)因为fx=3sin3x+π4，且x∈π3,π2，
所以令t=3x+π4∈5π4,7π4.
又因为y=3sint在[5π4,3π2)上单调递减，在3π2,7π4上单调递增，
所以fxmin=3sin3π2=−3，此时x=5π12.
又因为sin5π4=sin7π4=−22，
所以fxmax=3sin5π4=−322，此时x=π3或π2，
所以fx的值域为−3,−322．身高x(cm)
160
165
170
175
180
体重y(kg)
63
66
70
72
74
x（万元）
1
2
3
4
5
6
7
y（单位：t）
2.8
5.3
6.8
9.2
10.9
13.2
14.8