2020-2021学年山东省临沂市高一（下）6月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年山东省临沂市高一（下）6月月考数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 1+3i2−3i的实部为( )
A.−3B.3C.−7D.11

2. 如图，网格纸中小正方形的边长均为1，A，B，C，D，E，F，G这7个点都是小正方形的顶点，则( )

A.AB→//EF→B.CD→//EF→C.EF→⊥CG→D.AB→⊥CG→

3. 下列判断正确的是( )
A.空间中任意三点确定一个平面
B.垂直同一个平面的两条直线互相垂直
C.一个西瓜切3刀最多可切成8块
D.垂直同一个平面的两个平面互相平行

4. 已知O为复平面内的原点，复数z1=2+ai7，z2=4+a+2ia∈R在复平面内对应的点分别为A，B，则OA→⋅OB→的取值范围是( )
A.[9,+∞）B.(−∞,9]C.[7,+∞）D.(−∞,7]

5. 圆柱形容器内部盛有高度为ℎ的水，若放入两个直径为3cm的铁球（球的半径与圆柱底面半径相等）后，水恰好淹没最上面的铁球（如图所示），则ℎ=( )

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

6. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知4c2=3b2，sinAsinC=393，则A=( )
A.π6B.π3C.5π6D.2π3

7. 已知正四棱锥P−ABCD的所有棱长均为22，E，F分别是PC，AB的中点，则EF=( )
A.6B.5C.7D.3

8. 若向量a→，b→满足|a→|=5,cs⟨a→,b→⟩=14，且当λ∈R时，|b→−λa→|的最小值为15，则|a→−b→|=（ ）
A.21B.26C.6D.31
二、多选题

在复数集内( )
A.方程z2=−1有两个解
B.方程z2−2z=0只有实数解
C.方程z4=1只有两个解
D.方程z2−2z+3=0的两个解互为共轭复数

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则由下列条件可以得出△ABC为锐角三角形的是( )
A.a=b=4,c=3B.a=3,b=5,sinA+sinC=2sinB
C.△ABC中的最小角为46∘D.△ABC中最大角的正切值为2

定义一种向量运算“⊕”； a⊕b=a→⋅b→，当0<⟨a→，b→⟩≤π2时，|a→−b→|，当a→//b→时，−a→⋅b→，当π2<⟨a→，b→⟩<π时，(a→，b→为任意向量)，则( )
A.a→⊕b→≥0
B.a→⊕−b→=a→⊕b→
C.a→+b→⊕c→=(a→⊕c→)+(b→⊕c→)
D.当e→是单位向量时，a→⊕e→≤|a→|+1

如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M为线段AC上的动点，则( )

A.当AM=1时，异面直线D1M与CD所成角的正切值为5
B.当AM=1时，四棱锥M−AA1D1D外接球的体积为4π3
C.DM+D1M的最小值为3+1
D.直线D1M与底面ABCD所成最大角的正切值为62
三、填空题

若向量AB→=1,2，AC→=3,m，AB→⊥BC→，则AB→+AC→=________．

写出一个复数z，使得z在复平面内对应的点位于第三象限，但z2在复平面内对应的点位于第一象限，则z= ________．

填空题：梵净山是云贵高原向湘西丘陵过渡斜坡上的第一高峰，是乌江与沅江的分水岭，也是横亘于贵州、重庆、湖南、湖北四省（市）的武陵山脉的最高主峰．某测量小组为测量该山最高的金顶P的海拔，选取了一块海拔为400米的平地，在平地上选取相距885米的两个观测点A与B，如图，在点A处测得P的仰角为60∘，在点B处测得P的仰角为45∘，则金顶P的海拔为________米．（结果精确到整数部分，取3=1.732）


在长方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱CC1上一点，F为棱AA1的中点，且CE=2C1E，AB=2，AA1=3，BC=4，则平面BEF截该长方体所得截面为________边形，截面与侧面ADD1A1、侧面CDD1C1的交线长度之和为________．
四、解答题

某大学工商管理专业共有1000名大学生，其中男生有520名．为了解该专业大学生的身高情况，李明按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为169.3cm，160.1cm． 假设李明在各层中按比例分配样本．
(1)如果总样本量为200，那么李明在男生、女生中分别抽取了多少名？

(2)请估计这1000名大学生的平均身高．（结果精确到0.01）

已知z的共轭复数z¯=csπ4−isinπ12csπ12+isinπ4 .
(1)求z；

(2)若z02z−12i=2+3i，求|z0| .

如图，在正三棱锥S−ABC中，D，E，F，G分别为SA，SC，BC，AB的中点．

(1)证明：D，E，F，G四点共面，且AC//平面DEFG．

(2)刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为π3，故各个顶点的曲率均为2π−3×π3=π若正三棱锥S−ABC在顶点S的曲率为π2，且AB=2，求四边形DEFG的面积．

在平行四边形ABCD中，CE→=4EB→,DF→=2FC→ .
(1)用AB→,AD→表示AE→,AF→；

(2)若AC→=λAE→+μAF→，求λ，μ；

(3)若AB=3,AD=5,∠BAD=60∘，求AE→⋅AF→.

如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1 中，AB//CD，且侧面CDD1C1⊥底面ABCD，AD=CD=DD1=2,AB=1 .

(1)过D1求作一条直线，使该直线既与AD垂直又与BC垂直，并说明理由；

(2)已知tan∠CDD1=43，若四棱柱ABCD−A1B1C1D1的体积为245，求点D到平面ACD1的距离．

如图，在平面四边形ABCD中，BC=CD=AD=33AB .

(1)设∠CBD=θ，证明：csAsin2θ为定值．

(2)若BC=1，记△ABD的面积为S1,△BCD的面积为S2,S=2S12+S22，求S的最大值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省临沂市高一（下）6月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的基本概念
【解析】
因为1+3i2−3i=11+3i，所以(1+3i)(2−3i)的实部为11 .
【解答】
解：因为1+3i2−3i=11+3i，
所以(1+3i)(2−3i)的实部为11 .
故选D .
2.
【答案】
D
【考点】
向量语言表述面面的垂直、平行关系
【解析】
由图可知AB//CD，CD⊥CG，则AB⊥CG，则AB→⊥CG→．
【解答】
解：由图可知AB//CD，CD⊥CG，
则AB⊥CG，则AB→⊥CG→．
故选D .
3.
【答案】
C
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：空间中任意三点不一定可确定一个平面，故A错误；
垂直同一个平面的两条直线互相平行，故B错误；
垂直同一个平面的两个平面未必互相平行，故D错误；
一个西瓜切3刀等价于一个正方体被三个平面切割，按照如图所示的方法切割可得最多块数，故C正确.
故选C .
4.
【答案】
B
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
平面向量数量积的运算
【解析】
因为z1=2−ai，所以A的坐标为2,−a，又B的坐标为4,a+2，所以OA→⋅OB→=8−a2−2a=−a+12+9≤9 .
【解答】
解：因为z1=2−ai，
所以A的坐标为2,−a，
又B的坐标为4,a+2，
所以OA→⋅OB→=8−a2−2a=−a+12+9≤9 .
故选B .
5.
【答案】
A
【考点】
柱体、锥体、台体的体积
球的表面积和体积
【解析】
无
【解答】
解：依题意可得π×(32)2ℎ+43π×(32)3×2=π×(32)2×(32)×4，
解得ℎ=2cm．
故选A．
6.
【答案】
C
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为sinAsinC=393，所以ac=393，即a=393c．
又4c2=3b2，则b=23c，
从而 csA=43c2+c2−399c243c2=−32 ．
又A∈0,π，故A=5π6 .
故选C .
7.
【答案】
A
【考点】
棱锥的结构特征
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图，设正方形ABCD的中心为O，连接OC，PO，OF，
则PO⊥平面ABCD，OC=OP=2．
设OC的中点为H，连接EH，FH，则EH//OP，
所以EH=12PO=1．
在△OFH中，OH=1，OF=2，∠FOC=135∘，
所以由余弦定理可得FH=5，
所以EF=EH2+FH2=6 .
故选A .
8.
【答案】
D
【考点】
平面向量数量积的运算
向量的模
平面向量的数量积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由向量的减法法则可得，当向量a→与b→−λa→垂直时，|b→−λa→|取得最小值，
则|b→|sin⟨a→,b→⟩=154|b→|=15，
解得|b→|=4，
则|a→−b→|2=a→2−2a→⋅b→+b→2=25−40×14+16=31，
故|a→−b→|=31．
故选D．
二、多选题
【答案】
A,B,D
【考点】
复数的基本概念
复数的运算
【解析】
因为方程z2=−1的解为±i，所以A正确．方程z2−2z=0的解为0和2，故B正确．方程z4=1有四个解，分别为±i,±1，故C错误．方程z2−2z+3=0的解为1±2，故D正确．
【解答】
解：因为方程z2=−1的解为±i，所以A正确．
方程z2−2z=0的解为0和2，故B正确．
方程z4=1有四个解，分别为±i,±1，故C错误．
方程z2−2z+3=0的解为1±2i，故D正确．
故选ABD .
【答案】
A,C,D
【考点】
三角形的形状判断
正弦定理
余弦定理
反证法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：若a=b=4,c=3，则△ABC为锐角三角形，故A符合题意．
若a=3,b=5,sinA+sinC=2sinB，
则a+c=2b，从而c=7，
因为a2+b2−c2<0，
所以△ABC为钝角三角形，故B不符合题意．
当△ABC中的最小角为46∘时，假设该三角形不是锐角三角形，则必有一个角不小于90∘，
则另一个角必小于180∘−90∘−46∘=44∘，从而最小角不是46∘，
所以假设不成立，则该三角形必为锐角三角形，故C符合题意．
若△ABC中最大角的正切值为2，
则最大角为大于60∘的锐角，
从而三角形必为锐角三角形，故D符合题意．
故选ACD .
【答案】
A,D
【考点】
平面向量数量积的运算
向量的加法及其几何意义
向量的减法及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：当a→，b→共线时，a→⊕b→=|a→−b→|≥0；
当0<⟨a,b⟩≤π2时，a→⊕b→=a→⋅b→>0，
当⟨a,b⟩为钝角时，a→⊕b→=−a→⋅b→>0，故A正确．
当a→，b→均为非零向量且共线时，
a→⊕−b→=|a→+b→|，a→⊕b→=|a→−b→|，故B错误．
当a→，b→，c→均为非零向量，a→，b→与c→均不共线，且a→+b→=c→时，
(a→+b→)⊕c→=|a→+b→−c→|=0，
a→⊕c→>0，b→⊕c→>0，a→⊕c→+b→⊕c→≠0，故C错误．
若e→是单位向量，当a→与e→不共线时，
则a→⊕e→<|a→|×1<|a→|+1；
当a→与e→共线时，则a→⊕e→=|a→−e→|≤|a→|+|e→|=|a→|+1，故D正确．
故选AD.
【答案】
A,B,C
【考点】
异面直线及其所成的角
直线与平面所成的角
球内接多面体
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：对于A，如图1，取AD的中点E，连接EM,D1E，
因为AC=2,AM=1，
所以M为AC的中点，
所以EM//CD，则∠EMD1为异面直线D1M与CD所成的角．
易证EM⊥D1E，则tan∠EMD1=D1EEM=5，故A正确．
对于B，设O为侧面ADD1A1 的中心，因为OA=OM=1，
所以四棱锥M−AA1D1D外接球的半径为1，其体积为4π3，故B正确．
对于C，如图2，将等边△ACD1沿AC旋转，使△ACD1与等腰直角△ACD在同一个平面内，
则当D，M，D1三点共线时，DM+D1M最小，
此时DD1⊥AC，
所以DM=1，D1M=3，
所以DD1=3+1，故C正确．
对于D，易知直线D1M与底面ABCD所成角为∠D1MD，
tan∠D1MD=DD1DM=2DM，
当DM⊥AC时，DM取得最小值，此时正切值最大，
故tan∠D1MD的最大值为2，故D错误．
故选ABC .
三、填空题
【答案】
5
【考点】
平面向量的坐标运算
数量积判断两个平面向量的垂直关系
向量的模
【解析】
左侧图片未给出解析
【解答】
解：因为AB→=1,2，AC→=3,m，AB→⊥BC→，
所以BC→=AC→−AB→=2,m−2，
AB→⋅BC→=2+2m−2=0，
则m=1，
从而AB→+AC→=1+32+2+12=5．
故答案为：5．
【答案】
−2−i
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】

【解答】
解：只要z=a+bia,b∈R满足a<0，b<0，
且a>b即可．
故答案为：−2−i．
【答案】
2494
【考点】
解三角形的实际应用
解三角形
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设AD=x米，依题意可得∠PAD=60∘,∠PBD=45∘，
则PD=BD=x+885．
因为PDAD=tan∠PAD=3，
所以x+885=3x，
则x=8853−1=8850.732≈1209，
所以PD≈1209+885=2094米，
故金顶P的海拔为2094+400=2494米．
故答案为：2494 .
【答案】
五,10+956
【考点】
棱柱的结构特征
【解析】

【解答】
解：如图，设平面BEF与棱C1D1，A1D1分别交于G，H，则截面为五边形BEGHF，
易证BF//EG，BE//FH，
则∠ABF=∠EGC1，∠CBE=∠A1HF，
则C1EC1G=AFAB=322，A1FA1H=CECB=24，
因为C1E=1，A1F=32，
所以C1G=43，A1H=3，
从而FH+GE=352+53=10+956．
故答案为：五；10+956．
四、解答题
【答案】
解：(1)男生被抽取了200×5201000=104名，
女生被抽取了200−104=96名．
(2)这1000名大学生的平均身高的估计值为：
169.3×5201000+160.1×1−5201000
=164.884≈164.88(cm) .
【考点】
分层抽样方法
加权平均数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)男生被抽取了200×5201000=104名，
女生被抽取了200−104=96名．
(2)这1000名大学生的平均身高的估计值为：
169.3×5201000+160.1×1−5201000
=164.884≈164.88(cm) .
【答案】
解：(1)因为z¯=csπ4−isinπ12csπ12+isinπ4
=csπ4csπ12+sinπ12sinπ4+isinπ4csπ4−sinπ12csπ12，
所以z¯=csπ4−π12+i(sinπ2−sinπ62)=32+14i，
故z=32−14i．
(2)由(1)可知2z−12i=3−i，
因此z0=2+3i3−i=2+3i3+i3−i3+i=3+5i4=34+54i
所以|z0|=342+542=72 ．
【考点】
复数代数形式的乘除运算
共轭复数
两角和与差的余弦公式
二倍角的正弦公式
复数的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为z¯=csπ4−isinπ12csπ12+isinπ4
=csπ4csπ12+sinπ12sinπ4+isinπ4csπ4−sinπ12csπ12，
所以z¯=csπ4−π12+i(sinπ2−sinπ62)=32+14i，
故z=32−14i．
(2)由(1)可知2z−12i=3−i，
因此z0=2+3i3−i=2+3i3+i3−i3+i=3+5i4=34+54i
所以|z0|=342+542=72 ．
【答案】
(1)证明：因为D，E，F，G分别为SA，SC，BC，AB的中点，
所以DE//AC，GF//AC，
所以DE//GF，即D，E，F，G四点共面．
又因为AC⊄平面DEFG，DE⊂平面DEFG，
所以AC//平面DEFG．
(2)解：由D，E，F，G分别为SA，SC，BC，AB的中点，同理可证DG//EF .
在正三棱锥S−ABC中，易知顶点S的三个面角均相等，不妨设面角为θ.
由曲率定义，得2π−3θ=π2，则θ=π2 ．
由AB=2，可知△SAB，△SBC，△SAC均为斜边为2的等腰直角三角形，△ABC为边长为2的正三角形．
如图，记AC的中点为O，连接SO，BO，
则SO⊥AC，BO⊥AC，SO∩BO=O，
所以AC⊥平面OBS，则AC⊥SB，
所以DE⊥DG，四边形DEFG为矩形，
DG=12SB=12×22×2=22，DE=12AC=12×2=1，
所以四边形DEFG的面积为DG×DE=22 .
【考点】
直线与平面平行的判定
平面与平面垂直的判定
棱柱的结构特征
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：因为D，E，F，G分别为SA，SC，BC，AB的中点，
所以DE//AC，GF//AC，
所以DE//GF，即D，E，F，G四点共面．
又因为AC⊄平面DEFG，DE⊂平面DEFG，
所以AC//平面DEFG．
(2)解：由D，E，F，G分别为SA，SC，BC，AB的中点，同理可证DG//EF .
在正三棱锥S−ABC中，易知顶点S的三个面角均相等，不妨设面角为θ.
由曲率定义，得2π−3θ=π2，则θ=π2 ．
由AB=2，可知△SAB，△SBC，△SAC均为斜边为2的等腰直角三角形，△ABC为边长为2的正三角形．
如图，记AC的中点为O，连接SO，BO，
则SO⊥AC，BO⊥AC，SO∩BO=O，
所以AC⊥平面OBS，则AC⊥SB，
所以DE⊥DG，四边形DEFG为矩形，
DG=12SB=12×22×2=22，DE=12AC=12×2=1，
所以四边形DEFG的面积为DG×DE=22 .
【答案】
解：(1)AE→=AB→+BE→=AB→+15BC→=AB→+15AD→，
AF→=AD→+DF→=AD→+23DC→=23AB→+AD→ .
(2)因为AC→=AB→+AD→，
所以AB→+AD→=λAB→+15AD→+μ23AB→+AD→，
则λ+23μ=1,15λ+μ=1，
解得λ=513,μ=1213 .
(3)因为AB=3,AD=5,∠BAD=60∘，
所以AB→⋅AD→=3×5×12=152，
AE→⋅AF→=AB→+15AD→23AB→+AD→
=23AB→2+1715AB→⋅AD→+15AD→2，
=23×32+1715×152+15×52=392 ．
【考点】
向量在几何中的应用
向量的线性运算性质及几何意义
相等向量与相反向量
平面向量的基本定理
平面向量数量积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)AE→=AB→+BE→=AB→+15BC→=AB→+15AD→，
AF→=AD→+DF→=AD→+23DC→=23AB→+AD→ .
(2)因为AC→=AB→+AD→，
所以AB→+AD→=λAB→+15AD→+μ23AB→+AD→，
则λ+23μ=1,15λ+μ=1，
解得λ=513,μ=1213 .
(3)因为AB=3,AD=5,∠BAD=60∘，
所以AB→⋅AD→=3×5×12=152，
AE→⋅AF→=AB→+15AD→23AB→+AD→
=23AB→2+1715AB→⋅AD→+15AD→2，
=23×32+1715×152+15×52=392 ．
【答案】
解：(1)过D1作D1H⊥CD，垂足为H，则直线D1H即要求作的直线．
证明如下：
因为侧面CDD1C1∩底面ABCD=CD，侧面CDD1C1⊥底面ABCD，
所以D1H⊥底面ABCD．
因为AD，BC⊂平面ABCD，
所以D1H⊥AD且D1H⊥BC .
(2)由(1)知，D1H⊥底面ABCD，
因为tan∠CDD1=43，
所以sin∠CDD1=45，D1H=DD1sin∠CDD1=85．
设梯形ABCD的高为ℎ，
则四棱柱ABCD−A1B1C1D1的体积V=85×12×1+2ℎ=245，
解得ℎ=2，
因为AD=2=ℎ，
所以AD为该梯形的高，则AD⊥CD，
又D1H⊥AD，D1H∩CD=D，
所以AD⊥侧面CDD1C1 .
因为CD=DD1=2，cs∠CDD1=35，
所以CD1=22×2−2×22×35=455 .
因为AD=CD=2，AD⊥CD，
所以AC=22 .
连接AH，则D1H⊥AH，
从而AD1=AD2+DH2+D1H2=22 .
所以△ACD1的面积为12×455×222−2552=125 .
设点D到平面ACD1的距离为d，
由VD−ACD1=VA−CDD1，
得13×125d=13×2×12×22×45．
解得d=43，故点D到平面ACD1的距离为43 .
【考点】
直线与平面垂直的性质
点、线、面间的距离计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)过D1作D1H⊥CD，垂足为H，则直线D1H即要求作的直线．
证明如下：
因为侧面CDD1C1∩底面ABCD=CD，侧面CDD1C1⊥底面ABCD，
所以D1H⊥底面ABCD．
因为AD，BC⊂平面ABCD，
所以D1H⊥AD且D1H⊥BC .
(2)由(1)知，D1H⊥底面ABCD，
因为tan∠CDD1=43，
所以sin∠CDD1=45，D1H=DD1sin∠CDD1=85．
设梯形ABCD的高为ℎ，
则四棱柱ABCD−A1B1C1D1的体积V=85×12×1+2ℎ=245，
解得ℎ=2，
因为AD=2=ℎ，
所以AD为该梯形的高，则AD⊥CD，
又D1H⊥AD，D1H∩CD=D，
所以AD⊥侧面CDD1C1 .
因为CD=DD1=2，cs∠CDD1=35，
所以CD1=22×2−2×22×35=455 .
因为AD=CD=2，AD⊥CD，
所以AC=22 .
连接AH，则D1H⊥AH，
从而AD1=AD2+DH2+D1H2=22 .
所以△ACD1的面积为12×455×222−2552=125 .
设点D到平面ACD1的距离为d，
由VD−ACD1=VA−CDD1，
得13×125d=13×2×12×22×45．
解得d=43，故点D到平面ACD1的距离为43 .
【答案】
(1)证明：设BC=1，则AB=3 .
在△BCD中，因为BC=CD=1，
所以BD=2csθ .
在△ABD中，由余弦定理得BD2=AB2+AD2−2AB⋅ADcsA，
即4cs2θ=3+1−23csA ，
则21−cs2θ=3csA，
即2sin2θ=3csA，
故csAsin2θ=233为定值．
(2)解：在△BCD中，BD2=BC2+DC2−2BC⋅DCcsC，
则4−23csA=2−2csC，即csC=3csA−1．
S=2S12+S22=232sinA2+12sinC2
=32sin2A+14sin2C
=321−cs2A+141−cs2C
=321−cs2A+141−3csA−12
=−94csA−392+1912．
当csA=39时，S取得最大值1912 .
【考点】
余弦定理
同角三角函数间的基本关系
正弦定理
解三角形
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：设BC=1，则AB=3 .
在△BCD中，因为BC=CD=1，
所以BD=2csθ .
在△ABD中，由余弦定理得BD2=AB2+AD2−2AB⋅ADcsA，
即4cs2θ=3+1−23csA ，
则21−cs2θ=3csA，
即2sin2θ=3csA，
故csAsin2θ=233为定值．
(2)解：在△BCD中，BD2=BC2+DC2−2BC⋅DCcsC，
则4−23csA=2−2csC，即csC=3csA−1．
S=2S12+S22=232sinA2+12sinC2
=32sin2A+14sin2C
=321−cs2A+141−cs2C
=321−cs2A+141−3csA−12
=−94csA−392+1912．
当csA=39时，S取得最大值1912 .