2020-2021学年甘肃省天水市高二（下）314周考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年甘肃省天水市高二（下）314周考数学试卷人教A版，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 线性回归方程y=bx+a必经过的点是( )
A.0,aB.x¯,bC.x¯,y¯D.a,b

2. 下列求导数运算正确的是( )
A.(x+1x)′=1+1x2B.(lg2x)′=1xln2
C.(3x)′=3xlg3eD.(x2csx)′=−2xsinx

3. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )

A.r2
4. 一物体做直线运动，其位移s与时间t的关系是s=t2+2t，则物体在t=2时的瞬时速度为( )
A.4B.6C.8D.10

5. 已知fx=xlnx，若f′x0=0，则x0=( )
A.1eB.1C.eD.e2

6. 某生物研究所在新冠病毒COVID−19疫苗的研制过程中，为验证疫苗的治疗效果，进行了动物的对比试验．现对200只小白鼠进行试验，得到如下数据：
附：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d
则下列说法正确的是( )
A.至少有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”
B.至多有99%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”
C.至多有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”
D.“发病与没接种疫苗有关”的错误率至少有0.01%

7. 如图，已知函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=−12x+6，则f(5)+f′(5)等于( )

A.3B.4C.153D.163

8. 函数fx=13x2−lnx的单调递减区间为( )
A.62,+∞B.−62,62C.0,62D.−∞,62

9. 若函数f(x)=ax+ex不存在极值点，则a的取值范围是( )
A.a<0B.a≤0C.a>0D.a≥0

10. 若fx是定义在0,+∞上的可导函数，且fx−xf′x>0，则( )
A.f(2)>2f(1)B.ef2>2feC.3f(2)>2f(3)D.3fπ>πf(3)
二、填空题

设函数fx=x2+2x−3，则f′1=________.
三、解答题

已知函数f(x)=x2lnx.
(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若f(x)≥ax−1对任意的x∈(0,+∞)成立，求实数a的取值范围．

某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下表所示：

(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；

(2)求出y关于x的线性回归直线方程y=bx+a，并在坐标系中画出回归直线；

(3)试预测加工10个零件需要多少时间？

2021年1月4日上午，辽宁省省委、省政府在沈阳召开辽宁省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程．某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20, 40)内的产品视为合格品，否则为不合格品．如图是设备改造前的样本的频率分布直方图，如表是设备改造后的样本的频数分布表．
设备改造后样本的频数分布表

(1)完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；

(2)根据图和表提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较.
附：
K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
参考答案与试题解析
2020-2021学年甘肃省天水市高二（下）3.14周考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
根据线性回归方程，所表示的直线必经过数据的样本中心点，可得答案．
【解答】
解：∵ 线性回归方程一定过这组数据的样本中心点，
∴ 线性回归方程表示的直线必经过(x¯, y¯)点.
故选C.
2.
【答案】
B
【考点】
导数的运算
【解析】
利用导数的运算法则即可判断出．
【解答】
解：A，(x+1x)′=1−1x2，故A错误；
B，(lg2x)′=1xln2，故B正确；
C，(3x)′=3xln3，故C错误；
D，(x2csx)′=2xcsx−x2sinx，故D错误．
故选B．
3.
【答案】
A
【考点】
相关系数
【解析】
根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小．
【解答】
解：由给出的四组数据的散点图可以看出，
图1和图3是正相关，相关系数大于0，
图2和图4是负相关，相关系数小于0，
图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以r1接近于1，r2接近于−1，
由此可得r2故选A.
4.
【答案】
B
【考点】
导数的运算
导数的概念
【解析】
根据题意，求出函数的导数，进而可得s′|t=2的值，由导数的几何意义即可得答案．
【解答】
解：根据题意，s=t2+2t，
则s′=2t+2，
则有s′|t=2=2×2+2=6，
即物体在t=2时的瞬时速度为6．
故选B．
5.
【答案】
A
【考点】
导数的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ fx=xlnx，
∴ f′x=lnx+1，
∵ f′x0=0，即lnx0+1=0，
∴ x0=1e.
故选A.
6.
【答案】
A
【考点】
独立性检验
【解析】

【解答】
解：根据所给表格的数据，结合K2计算公式，
可得其观测值为：
K2=200(20×40−60×80)2100×100×80×120=1003>10.828，
所以至少有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”.
故选A.
7.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
导数的几何意义
【解析】
由导数的几何意义知，函数y=f(x)的图象在点P处的切线的斜率就是函数y=f(x)在该点的导数值，因此可求得f′(5)，再根据切点的双重性，即切点既在曲线上又在切线上，可求得f(5)，则f(5)+f′(5)可求．
【解答】
解：根据图象知，函数y=f(x)的图象与在点P处的切线切于点P，
∴ f(5)=−12×5+6=72.
又f′(5)为函数y=f(x)的图象在点P处的切线的斜率，
∴ f′(5)=−12，
∴ f(5)+f′(5)=72−12=3．
故选A.
8.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
求导数fx，然后在定义域内解不等式fx<0可得答案．
【解答】
解：函数fx的定义域为0,+∞，
f′x=23x−1x=2x2−33x=2x+62x−623x.
令f′x<0，
即2x+62x−623x<0，得0所以函数fx=13x2−lnx的单调递减区间为0,62.
故选C．
9.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
函数f(x)=ax+ex在R上没有极值点，即函数的导数等于0无解或有唯一解（但导数在点的两侧符号相同），又导数为 f′(x)=a+ex，故a=−ex无解，根据指数函数的性质求得实数a的取值范围．
【解答】
解：函数f(x)=ax+ex在R上不存在极值点，
即函数的导数等于0无解或有唯一解（但导数在点的两侧符号相同）．
∵ 函数f(x)=ax+ex的导数为 f′(x)=a+ex，
∴ a+ex=0无解，∴ a=−ex无解，
∴ a≥0．
故选D．
10.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
构造函数gx=fxx，x>0，得到gx在0,+∞上单调递减，利用函数的单调性求解即可.
【解答】
解：构造函数gx=fxx，x>0，
则g′x=xf′x−fxx2<0，
∴ gx在0,+∞上单调递减，
∴ g2>ge，
∴ f22>fee，
即ef2>2fe，故B正确，
同理可得ACD错误.
故选B.
二、填空题
【答案】
4
【考点】
导数的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ fx=x2+2x−3，
∴ f′x=2x+2，
则f′1=2×1+2=4．
故答案为：4．
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ fx=x2lnx，
∴ f′x=2xlnx+12.
令f′x=0，则2xlnx+12=0，
∴ x=0（舍）或x=ee.
分析知，当x∈0,ee时，f′x<0；
当x∈ee,+∞时，f′x>0，
∴ 函数fx在区间0,ee上单调递减，在区间ee,+∞上单调递增．
(2)据题意知，a≤x2lnx+1x对任意的x∈0,+∞成立．
令gx=x2lnx+1x，则g′x=x2lnx+x2−1x2，
当x≥1时，g′x≥0，
当0∴ 函数gx在区间1,+∞上单调递增，在区间0,1上单调递减，
∴ gxmin=g1=1，
∴ a≤1，即所求实数a的取值范围为(−∞,1]．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ fx=x2lnx，
∴ f′x=2xlnx+12.
令f′x=0，则2xlnx+12=0，
∴ x=0（舍）或x=ee.
分析知，当x∈0,ee时，f′x<0；
当x∈ee,+∞时，f′x>0，
∴ 函数fx在区间0,ee上单调递减，在区间ee,+∞上单调递增．
(2)据题意知，a≤x2lnx+1x对任意的x∈0,+∞成立．
令gx=x2lnx+1x，则g′x=x2lnx+x2−1x2，
当x≥1时，g′x≥0，
当0∴ 函数gx在区间1,+∞上单调递增，在区间0,1上单调递减，
∴ gxmin=g1=1，
∴ a≤1，即所求实数a的取值范围为(−∞,1]．
【答案】
解：(1)如图即为所求散点图.
(2)由表中数据得x¯=2+3+4+54=3.5，
y¯=2.5+3+4+4.54=3.5，i=14xi2=54，i=14xiyi=52.5，
∴ b=52.5−4×3.5×3.554−4×3.52=0.7，a=3.5−0.7×3.5=1.05，
∴ 所求线性回归方程为y=0.7x+1.05.
∴ 所求回归直线如图所示.
(3)把x=10代入回归直线方程，
得y=0.7×10+1.05=8.05（小时），
∴ 加工10个零件大约需要8.05个小时．
【考点】
散点图
求解线性回归方程
回归分析的初步应用
【解析】
（1）根据表中所给的数据，可得散点图；
（2）求出出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，求出对应的横标和纵标的积的和，求出横标的平方和，做出系数和a的值，写出线性回归方程．
（3）将x=10代入回归直线方程，可得结论．
【解答】
解：(1)如图即为所求散点图.
(2)由表中数据得x¯=2+3+4+54=3.5，
y¯=2.5+3+4+4.54=3.5，i=14xi2=54，i=14xiyi=52.5，
∴ b=52.5−4×3.5×3.554−4×3.52=0.7，a=3.5−0.7×3.5=1.05，
∴ 所求线性回归方程为y=0.7x+1.05.
∴ 所求回归直线如图所示.
(3)把x=10代入回归直线方程，
得y=0.7×10+1.05=8.05（小时），
∴ 加工10个零件大约需要8.05个小时．
【答案】
解：(1)根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表．
完成下面的2×2列联表：
将2×2列联表中的数据代入公式计算得：
K2=400×(172×8−28×192)2200×200×364×36≈12.210．
∵ 12.210>6.635，
∴ 有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关．
(2)根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表．
可知，设备改造前产品为合格品的概率约为172200=0.86，
设备改造后产品为合格品的概率约为192200=0.96，
设备改造后产品合格率更高，因此，设备改造后性能更优．
【考点】
独立性检验
概率的应用
【解析】
（1）根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表完成2×2列联表，求出K2K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)≈12.210>6.635，从而有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关．
（2）根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表，得到设备改造前产品为合格品的概率和设备改造后产品为合格品的概率，从而求出设备改造后性能更优．
（3）由表1知从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为12；二等品的频率为13，三等品的频率为16，由已知得：随机变量X的取值为：240，300，360，420，480．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．
【解答】
解：(1)根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表．
完成下面的2×2列联表：
将2×2列联表中的数据代入公式计算得：
K2=400×(172×8−28×192)2200×200×364×36≈12.210．
∵ 12.210>6.635，
∴ 有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关．
(2)根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表．
可知，设备改造前产品为合格品的概率约为172200=0.86，
设备改造后产品为合格品的概率约为192200=0.96，
设备改造后产品合格率更高，因此，设备改造后性能更优．未发病
发病
合计
未接种疫苗
20
60
80
接种疫苗
80
40
120
合计
100
100
200
PK2≥k0
0.05
0.01
0.005
0.001
k0
3.841
6.635
7.879
10.828
零件的个数x/∘C（个）
2
3
4
5
加工的时间y/ℎ
2.5
3
4
4.5
质量指标值
[15, 20)
[20, 25)
[25, 30)
[30, 35)
[35, 40)
[40, 45]
频数
4
36
96
28
32
4
设备改造前
设备改造后
合计
合格品
不合格品
合计
P(K2≥k0)
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
设备改造前
设备改造后
合计
合格品
172
192
364
不合格品
28
8
36
合计
200
200
400
设备改造前
设备改造后
合计
合格品
172
192
364
不合格品
28
8
36
合计
200
200
400