2020-2021学年安徽省高二（上）12月月考宏志班数学试卷北师大版

这是一份2020-2021学年安徽省高二（上）12月月考宏志班数学试卷北师大版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. “xy=0”是“x=0且y=0”成立的( )
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分也非必要条件

2. 已知△ABC的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，若c=acsB+bcsC，则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形B.等边三角形
C.直角三角形D.等腰直角三角形

3. 在数列{an}中，若a1=2，an+1=an2an+1(n∈N∗)，则a5=( )
A.417B.317C.217D.517

4. 命题“若∠C=90∘，则△ABC是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )
A.0B.3C.2D.1

5. 已知等比数列an的首项a1=e，公比q=e，则数列lnan的前10项和S10=( )
A.45B.55C.110D.210

6. 已知∀x∈R， ∃m∈R，使4x−2x+1+m=0成立，则m的取值范围是( )
A.(−∞,1]B.−∞,1C.−∞,−1D.[−1,+∞)

7. 若点P(x, y)在线段AB上运动，且A(4, 0)，B(0, 2)，设T=lg2x+lg2y，则( )
A.T有最大值2B.T有最小值1
C.T有最大值1D.T没有最大值和最小值

8. 已知Sn是等差数列ann∈N∗的前n项和，且S5>S6>S4，以下有四个命题：
①数列an中的最大项为S10 ；②数列an的公差d0 ； ④S110，xx2+x+1≤a恒成立，则实数a的最小值是( )
A.13B.14C.15D.16

12. 已知数列：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，这个数列的第2013项a2013满足( )
A.00，
则y=−t2+2t=−t−12+1≤1，
∴ 函数y=−4x+2x+1的值域为(−∞,1]，
∴ 实数m的取值范围是(−∞,1].
故选A．
7.
【答案】
C
【考点】
对数的运算性质
基本不等式
【解析】
由已知点P(x, y)在线段AB上运动，且A(4, 0)，B(0, 2)，即点P满足x+2y=4(x>0, y>0)，再利用基本不等式的性质、对数运算法则即可得出．
【解答】
解：由已知点P(x, y)在线段AB上运动，且A(4, 0)，B(0, 2)，
即点P满足AB所在直线方程x+2y=4(x>0, y>0)，
∴ xy=12(x⋅2y)≤12(x+2y2)2=2，
当且仅当x=2y，x+2y=4 时，
即x=2，y=1 时，(xy)max=2，
∴ Tmax=lg2xy=lg22=1.
故选C.
8.
【答案】
B
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的性质
【解析】
S5>S6>S4，可得a5>0，a60，dS6>S4，
∴ a5=S5−S4>0，a6=S6−S50，
∴ d0，③正确；
S11=11a1+a112=11a60的解集为{x|xb}，
根据不等式解集的意义，
可知方程ax2−3x+2=0的两根为x1=1，x2=b．
则1+b=3a，1⋅b=2a，
解得，a=1，b=2．
由此知an=1+2(n−1)=2n−1，Sn=n(1+2n−1)2=n2.
(2)令bn=1an⋅an+1=1(2n−1)⋅(2n+1)
=12(12n−1−12n+1).
则Tn=b1+b2+b3+…+bn
=12[(11−13)+(13−15)+(15−17)+…+(12n−1−12n+1)]
=12(1−12n+1)=n2n+1.
【答案】
(1)证明：∵ AD⊥平面PDC，PD⊂平面PDC，DC⊂平面PDC，
∴ AD⊥PD，AD⊥DC.
在梯形ABCD中，过点B作BH⊥CD于H，
在△BCH中，BH=CH=1，
∴ ∠BCH=45∘.
又∵在△DAB中，AD=AB=1，
∴ ∠ADB=45∘，
∴ ∠BDC=45∘，
∴ ∠DBC=90∘，
∴ BC⊥BD.
∵ PD⊥AD，PD⊥DC，AD∩DC=D，
AD⊂平面ABCD，DC⊂平面ABCD，
∴ PD⊥面ABCD.
∵ BC⊂平面ABCD，
∴ PD⊥BC.
∵ BD∩PD=D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD，
∴ BC⊥平面PBD.
∵BC⊂平面PBC，
∴ 平面PBC⊥平面PBD.
(2)解：以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则P0,0,1，C0,2,0，A1,0,0，B1,1,0，
令Qx0,y0,z0，PQ→x0,y0,z0−1，PC→=0,2,−1，
∵ PQ→=λPC→，
∴ x0,y0,z0−1=λ0,2,−1，
∴ Q=0,2λ,1−λ，
∴ BQ→=−1,2λ−1,1−λ.
∵ DP⊥平面ABCD，
∴ n→=0,0,1是平面ABCD的一个法向量.
∵ sinθ=n→⋅BQ→|n→||BD→|=1−λ1×1+2λ−12+1−λ2.
∵ sinθ=55，
∴ 1−λ1×1+2λ−12+1−λ2=55 ，
解得λ=12．
【考点】
平面与平面垂直的判定
用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】
（1）在梯形ABCD中，过点作B作BH⊥CD于H，通过面面垂直的判定定理即得结论；
（2）以D为原点， DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，令Qx0,y0,z0，PQ¯x0,y0,z0−1，由PQ→=λPC→，可得Q=0,2λ,1−λ，再利用空间向量法表示线面角的正弦值，得到方程解得孔即可；
【解答】
(1)证明：∵ AD⊥平面PDC，PD⊂平面PDC，DC⊂平面PDC，
∴ AD⊥PD，AD⊥DC.
在梯形ABCD中，过点B作BH⊥CD于H，
在△BCH中，BH=CH=1，
∴ ∠BCH=45∘.
又∵在△DAB中，AD=AB=1，
∴ ∠ADB=45∘，
∴ ∠BDC=45∘，
∴ ∠DBC=90∘，
∴ BC⊥BD.
∵ PD⊥AD，PD⊥DC，AD∩DC=D，
AD⊂平面ABCD，DC⊂平面ABCD，
∴ PD⊥面ABCD.
∵ BC⊂平面ABCD，
∴ PD⊥BC.
∵ BD∩PD=D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD，
∴ BC⊥平面PBD.
∵BC⊂平面PBC，
∴ 平面PBC⊥平面PBD.
(2)解：以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则P0,0,1，C0,2,0，A1,0,0，B1,1,0，
令Qx0,y0,z0，PQ→x0,y0,z0−1，PC→=0,2,−1，
∵ PQ→=λPC→，
∴ x0,y0,z0−1=λ0,2,−1，
∴ Q=0,2λ,1−λ，
∴ BQ→=−1,2λ−1,1−λ.
∵ DP⊥平面ABCD，
∴ n→=0,0,1是平面ABCD的一个法向量.
∵ sinθ=n→⋅BQ→|n→||BD→|=1−λ1×1+2λ−12+1−λ2.
∵ sinθ=55，
∴ 1−λ1×1+2λ−12+1−λ2=55 ，
解得λ=12．
【答案】
解：(1)因为an+1=2an−2n，
所以an+12n+1=an2n−12，
所以an+12n+1−an2n=−12，
所以an2n是公差为−12的等差数列，
且a2=2a1−2，
所以a1=112，
且a121=114，
所以an2n=114+(n−1)−12，
所以an=134−n2⋅2n．
(2)因为Sn=114⋅21+94⋅22+74⋅23+⋯+13−2n4⋅2n，
所以2Sn=114⋅22+94⋅23+74⋅24+⋯+13−2n4⋅2n+1，
所以−Sn=114⋅21+−12⋅22+−12⋅23+⋯
+−12⋅2n−13−2n4⋅2n+1，
所以Sn=−114⋅21+21+22+⋯+2n−1+13−2n4⋅2n+1
=−112+2(1−2n−1)1−2+13−2n4⋅2n+1，
所以Sn=−112+(2n−2)+13−2n4⋅2n+1
=15−2n4⋅2n+1−152．
(3)因为an=134−n2⋅2n，
所以an+1=134−n+12⋅2n+1，
所以an+1−an
=134−n+12⋅2n+1−134−n2⋅2n
=94−n2⋅2n，
当n≤4时，an+1−an>0，
所以{an}递增，
当n≥5时，an+1−an