2020-2021学年安徽省淮北市高三（上）11月月考数学（理）试卷北师大版

这是一份2020-2021学年安徽省淮北市高三（上）11月月考数学（理）试卷北师大版，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合M={x|x>3}，N={x|x2−7x+10≤0}，则M∪N=( )
A.[2,3)B.(3,5]C.(−∞,5]D.[2,+∞)

2. 若z=1+2i，则4iz⋅z¯−1=( )
A.1B.−1C.iD.−i

3. 设a∈R，b>0，则“3a>2b”是“a>lg3b”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4. 已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的右焦点为F，点B是虚轴上的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若BA→=2AF→，且|BF→|=4，则双曲线C的方程为( )
A.x26−y25=1B.x28−y212=1C.x28−y24=1D.x24−y26=1

5. 生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，现从中任选两门，其中“礼”和“书”至少有一门被选出来的概率为( )
A.15B.25C.35D.45

6. 某班有50名学生，在一次数学考试中，an表示学号为n的学生的成绩，执行如图所示的程序框图中，则下列结论正确的是( )

A.P表示成绩不高于60分的人数
B.Q表示成绩低于80分的人数
C.R表示成绩高于80分的人数
D.Q表示成绩不低于60分，且低于80分的人数

7. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，平面α与此正方体相交，如果正方体ABCD−A1B1C1D1的八个顶点中恰好有m个点到平面α的距离等于d0A.m≠6B.m≠5C.m≠4D.m≠3

8. 函数f(x)=x(2x+2−x)2+csx的部分图像大致为( )
A.B.
C.D.

9. 如图，△GCD为正三角形，AB为△GCD的中位线，AB=3AE，BC=3BF，O为DC的中点，则向量FE→，OF→所成夹角的余弦值为( )

A.12B.−12C.−22D.22

10. 若函数fx=csx+acsx2+b在区间0,π上的最大值是M，最小值是m，则M−m的值( )
A.与a有关，且与b有关B.与a有关，但与b无关
C.与a无关，且与b无关D.与a无关，但与b有关

11. 已知F是抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，抛物线C上动点A,B满足AF→=4FB→，若A,B在准线上的射影分别为M,N，且△MFN的面积为5，则|AB|=( )
A.94B.134C.214D.254

12. 已知定义在区间[1, +∞)上的函数f(x)=2x，1≤x≤2，12f(x2)，x>2， 若函数g(x)=f(x)−kx有无穷多个零点，则实数k的取值范围是( )
A.(1, 2)B.(2, 4]C.(2, 8]D.[4, 8]
二、填空题

某工厂现将一棱长为3的正四面体毛坯件切割成一个圆柱体零件，则该圆柱体的体积的最大值为________.
三、解答题

如图，半圆弧AD⌢所在的平面与平面ABCD垂直，且M是AD⌢上异于A，D的点，AB//CD，∠ABC=90∘，AB=2CD=2BC.

(1)求证：AM⊥平面BDM；

(2)若M为AD⌢的中点，求二面角B−MC−D的余弦值．

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2=4，2Sn=(n+1)an(n∈N∗)．
(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn=(an+1)2Sn，求数列{bn}的前n项和Tn．

2019年某饮料公司计划从A，B两款新配方饮料中选择一款进行新品推介，现对这两款饮料进行市场调查，让接受调查的受访者同时饮用这两种饮料，并分别对A，B两款饮料进行评分，现对接受调查的100万名受访者的评分进行整理得到如下统计图．
对以往调查数据分析可以得出如下结论：评分在[0, 60)的受访者中有20%会购买，评分在[60, 80)的受访者中有60%会购买，评分在[80, 100]的受访者中有90%会购买．
(1)在受访的100万人中，求对A款饮料评分在60分以下的人数（单位：万人）；

(2)现从受访者中随机抽取1人进行调查，试估计该受访者购买A款饮料的可能性高于购买B款饮料的可能性的概率；

(3)如果你是决策者，进行新品推介时，你会主推哪一款饮料，并说明你的理由．

已知函数fx=xeax(a>0).
(1)求函数fx的极值；

(2)当a=1时，若fx−1≥lnx+bx恒成立，求实数b的取值范围．

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的长轴长是短轴长的2倍，且过点3,12.
(1)求椭圆C的方程；

(2)若在椭圆上有相异的两点A，B（A，O，B三点不共线），O为坐标原点，且直线AB，直线OA，直线OB的斜率满足kAB2=kOA⋅kOBkAB>0．
(i)求证：|OA|2+|OB|2是定值．
(ii)设△AOB的面积为S，当S取得最大值时，求直线AB的方程．

已知在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2+csφ，y=1+sinφ（其中φ为参数），点M在曲线C1上运动，动点P满足OP→=2OM→，其轨迹为曲线C2，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C1，C2的普通方程；

(2)若点A，B分别是射线l:θ=π4与曲线C1，C2的公共点，求|AB|的最大值．

设函数fx=|2x−a|+|x|，其中a>0.
(1)当a=2时，求不等式fx≤4的解集；

(2)若对任意的实数x都有fx−f−x≥a2−8，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年安徽省淮北市高三（上）11月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
并集及其运算
一元二次不等式的解法
【解析】
先解一元二次不等式化简集合N，然后求并集即可.
【解答】
解：因为集合M={x|x>3}，
集合N={x|x2−7x+10≤0}
={x|(x−5)(x−2)≤0}
={x|2≤x≤5}，
所以M∪N=[2,+∞).
故选D.
2.
【答案】
C
【考点】
共轭复数
复数代数形式的乘除运算
【解析】
利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．
【解答】
解：∵ z=1+2i，∴z¯=1−2i，
则4iz⋅z¯−1=4i(1+2i)(1−2i)−1=4i5−1=i．
故选C.
3.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为a∈R，b>0，
若3a>2b，则a>lg32b，可得a>lg3b，充分性成立；
若a>lg3b，可得3a>b，无法得到3a>2b，必要性不成立，
所以“3a>2b”是“a>lg3b”的充分不必要条件.
故选A.
4.
【答案】
D
【考点】
双曲线的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设A(x, y)，
因为右焦点为F(c, 0)，点B(0, b)，
线段BF与双曲线C的右支交于点A，BA→=2AF→，
所以x=2c3，y=b3，A(2c3,b3)，
代入双曲线方程，可得49×c2a2−19=1，
所以b=62a，
因为|BF→|=4，
所以c2+b2=16，
所以a=2，b=6，
所以双曲线C的方程为x24−y26=1．
故选D.
5.
【答案】
C
【考点】
古典概型及其概率计算公式
概率的基本性质
【解析】
本题是一个古典概型，从“六艺”中任选两门有C62种结果，“礼和书一门都没有”有C42种结果，根据古典概型和对立事件的概率得到结果．
【解答】
解：设“礼和书至少有一门”为事件A，
则A的对立事件“礼和书一门都没有”为事件B,
P(B)=C42C62=25，
∴ P(A)=1−P(B)=35.
故选C.
6.
【答案】
D
【考点】
程序框图
【解析】
执行程序框图，可知其功能为用P表示成绩不高于60分的人数；Q表示成绩不低于60分，且低于80分人数；R表示成绩不低于80分的人数．
【解答】
解：执行程序框图，可知其功能为输入50个学生成绩an，(1≤n≤50)，
P=P+1，P表示成绩低于60分的人数，故A错误；
Q=Q+1，Q表示成绩不低于60分，且低于80分的人数，故选项B错误，D正确；
R=R+1，R表示成绩不低于80分的人数.
故选D.
7.
【答案】
B
【考点】
点、线、面间的距离计算
【解析】
本题首先画出正方体的各种模型，然后用分类讨论的方法判断点、面的各种位置关系．
【解答】
解：如图(1)恰好有3个点到平面α的距离为d；
如图(2)恰好有4个点到平面α的距离为d；
如图(3)恰好有6个点到平面α的距离为d.
故选B.
8.
【答案】
C
【考点】
函数的图象
函数奇偶性的判断
【解析】
识别函数图象的策略
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
利用上述方法排除、筛选选项．
【解答】
解：函数定义域为R，
因为f−x=−x2−x+2x2+cs−x
=−x2x+2−x2+csx
=−fx，
所以函数fx为奇函数，函数fx的图象关于原点对称，排除AB选项．
当x=π时，fπ=π×2π+2−π>0，
所以函数fx的图象过第一象限，排除D选项.
故选C.
9.
【答案】
B
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
建立平面直角坐标系，将向量问题用坐标形式处理，可以把复杂问题简单化，降低向量的运算难度．
【解答】
解：以O为坐标原点，DC所在的直线为x轴，OG所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设△GCD的边长为4，
则A−1,3，E−13,3，B1,3，C2,0，F43,233，
所以FE→=(−53,33)，OF→=43,233，
FE→⋅OF→=−149，
FE→=273，OF→=273，
所以cs=−149273×273=−12．
故选B．
10.
【答案】
B
【考点】
二倍角的余弦公式
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
设csx2=t，则0≤t≤1，∴ gt=2t2+at+b−1，结合二次函数的图象和性质，设函数gt=2t2+at+b−1在t1处取得最大值，在t2处取得最小值，0≤t1≤1，0≤t2≤1，且t1≠t2，∴ M−m=2(t22−t22)+at1−t2，即可得到答案．
【解答】
解：设csx2=t，则0≤t≤1，
则fx=gt=2cs2x2−1+acsx2+b
=2t2+at+b−1．
设函数gt=2t2+at+b−1在t1处取得最大值，在t2处取得最小值，
0≤t1≤1，0≤t2≤1，且t1≠t2，
∴ M=gt1=2t12+at1+b−1，
m=gt2=2t22+at2+b−1，
∴ M−m=2t12+at1+b−1−2t22−at2−b+1
=2t12−t22+at1−t2，
∴ 与a有关，但与b无关．
故选B．
11.
【答案】
D
【考点】
抛物线的性质
向量的线性运算性质及几何意义
直线的点斜式方程
斜率的计算公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：假设点A在第一象限，点B在第四象限，
作BD⊥AM于点D，如图所示：
设|FB→|=m,|AF→|=4m,
则由抛物线的性质得：|AM|=4m，|BN|=m,
∴ AD=3m，AB=5m，BD=4m，
∴ 直线AB的斜率k=BDAD=43,
设A(x1,y1)，Bx2,y2，
焦点坐标F(p2,0),
∴ 直线方程为y=43x−p2,
将直线方程代入抛物线方程得：8x2−17px+2p2=0，
∴ x1+x2=17p8，x1⋅x2=p24，
x1−x1=158p,
y1−y2=43⋅x1−x2=52p,
∵ S△MFN=5，
∴ 12⋅y1−y2⋅p=5,
∴ p2=4，∵ p>0，∴ p=2，
∴ |AB|=x1+x2+p=178×2+2=254.
故选D.
12.
【答案】
C
【考点】
函数的零点与方程根的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为方程gx=fx−kx的零点个数即为y=fx与y=kx的交点个数，
定义在区间[1,+∞)上的函数fx=2x，1≤x≤2，12fx2，x>2，
所以令2令4⋯⋯
令2m则fx=12m⋅2x2 m,
画出y=8x和 y=2x，fx=2x，1≤x≤2，12fx2，x>2的图象，如图，
可得y=8x与y=fx图象的交点为(2m+1,42m)(m∈N+)，
所以由图象可知当实数k的取值范围是(2,8]时，y=fx与y=kx的交点个数是无穷多个．
故选C.
二、填空题
【答案】
2π27
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
首先找出正四面体中内接圆柱的体积取最大值的临界条件，然后通过体积公式和均值不等式求出最值．
【解答】
解：如图，圆柱体体积最大时，圆柱的底面圆心为正四面体的底面中心O′，圆柱的上底面与棱锥侧面的交点N在侧面的中线AM上．
∵ 正四面体棱长为3，
∴ BM=32，O′M=12，BO′=1，
∴ AO′=2，
设圆柱的底面半径为r，高为ℎ，则0由△AON与△AO′M相似得r12=2−ℎ2，即ℎ=2−22r，
圆柱的体积V=πr2ℎ=2πr21−2r，
∵ r21−2r≤r+r+1−2r33=127，
当且仅当r=1−2r，即r=13时等号成立，
∴ 圆柱的最大体积为2π27．
故答案为：2π27.
三、解答题
【答案】
(1)证明：取AB的中点为E，连接DE，
因为AB=2CD，所以CD=BE，
又AB//CD，所以四边形BCDE为平行四边形，
又CD=BC，∠ABC=90∘，
所以四边形BCDE为正方形，
不妨设CD=1，
则BC=DE=BE=AE=1，AB=2，BD=AD=2，
所以BD2+AD2=AB2，即BD⊥AD，
又平面ADM⊥平面ABCD，平面ADM∩平面ABCD=AD，
所以BD⊥平面ADM，
又AM⊂平面ADM，所以AM⊥BD，
因为M是半圆弧AD⌢上异于A，D的点，
所以AM⊥DM，
又DM∩BD=D，
所以AM⊥平面BDM．
(2)解：取AD的中点为O，连接OM，OE，则OE//BD，
所以OE⊥AD，
当M为AD⌢的中点时，有MA=MD，则OM⊥AD，
因为平面ADM⊥平面ABCD，
平面ADM∩平面ABCD=AD，
所以OM⊥平面ABCD，
以O为坐标原点，分别以OE→，OD→，OM→为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz．
由(1)知，B2,22,0，C22,2,0，D0,22,0，M0,0,22，
MC→=22,2,−22，BC→=−22,22,0，MD→=0,22,−22，
设m→=x1,y1,z1是平面MBC的一个法向量，
则m→⋅MC→=0，m→⋅BC→=0，即x1+2y1−z1=0，x1−y1=0，
令x1=1，则y1=1，z1=3，m→=1,1,3，
设n→=x2,y2,z2是平面MCD的一个法向量，
则n→⋅MC→=0，n→⋅MD→=0即x2+2y2−z2=0，y2−z2=0，
令y2=1，则x2=−1，z2=1，n→=−1,1,1，
所以cs=m→⋅n→m→⋅n→=311×3=3311，
由图可知所求二面角为钝角，
所以二面角B−MC−D的余弦值为−3311．
【考点】
直线与平面垂直的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
（1）取AB的中点为E，连接DE，利用勾股定理，证得BD⊥AD，再利用面面垂直的性质，证得BD⊥平面ADM，最后利用线面垂直的判定定理，即可证得AM⊥平面BDM．
（2）以O为坐标原点，分别以OE→，OD→，OM→为x轴，y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，求得平面MBC和平而MCD的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．
【解答】
(1)证明：取AB的中点为E，连接DE，
因为AB=2CD，所以CD=BE，
又AB//CD，所以四边形BCDE为平行四边形，
又CD=BC，∠ABC=90∘，
所以四边形BCDE为正方形，
不妨设CD=1，
则BC=DE=BE=AE=1，AB=2，BD=AD=2，
所以BD2+AD2=AB2，即BD⊥AD，
又平面ADM⊥平面ABCD，平面ADM∩平面ABCD=AD，
所以BD⊥平面ADM，
又AM⊂平面ADM，所以AM⊥BD，
因为M是半圆弧AD⌢上异于A，D的点，
所以AM⊥DM，
又DM∩BD=D，
所以AM⊥平面BDM．
(2)解：取AD的中点为O，连接OM，OE，则OE//BD，
所以OE⊥AD，
当M为AD⌢的中点时，有MA=MD，则OM⊥AD，
因为平面ADM⊥平面ABCD，
平面ADM∩平面ABCD=AD，
所以OM⊥平面ABCD，
以O为坐标原点，分别以OE→，OD→，OM→为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz．
由(1)知，B2,22,0，C22,2,0，D0,22,0，M0,0,22，
MC→=22,2,−22，BC→=−22,22,0，MD→=0,22,−22，
设m→=x1,y1,z1是平面MBC的一个法向量，
则m→⋅MC→=0，m→⋅BC→=0，即x1+2y1−z1=0，x1−y1=0，
令x1=1，则y1=1，z1=3，m→=1,1,3，
设n→=x2,y2,z2是平面MCD的一个法向量，
则n→⋅MC→=0，n→⋅MD→=0即x2+2y2−z2=0，y2−z2=0，
令y2=1，则x2=−1，z2=1，n→=−1,1,1，
所以cs=m→⋅n→m→⋅n→=311×3=3311，
由图可知所求二面角为钝角，
所以二面角B−MC−D的余弦值为−3311．
【答案】
解：(1)数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2=4，2Sn=(n+1)an(n∈N∗)．
当n=2时，2S2=3a2，
∴ 2(a1+a2)=3a2，∴ 2a1=a2=4，∴ a1=2．
又2Sn=(n+1)an，
∴ 2Sn−1=(n−1+1)an−1(n≥2)，
∴ 2an=(n+1)an−nan−1，
∴ (n−1)an=nan−1，
anan−1=nn−1(n≥2)，
∴ an=anan−1×an−1an−2×⋯×a2a1×a1
=nn−1×n−1n−2×⋯×21×2=2n．
∴ an=2n．
(2)bn=(an+1)2Sn=4n2+4n+1n(n+1)
=4+1n(n+1)=4+1n−1n+1，
故Tn=b1+b2+⋯+bn
=4n+(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)
=4n+1−1n+1
=4n2+5nn+1．
【考点】
数列递推式
数列的求和
【解析】
(Ⅰ)首先利用数列的递推关系式求出相邻项之间的关系，进一步利用叠乘法求出数列的通项公式．
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．
【解答】
解：(1)数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2=4，2Sn=(n+1)an(n∈N∗)．
当n=2时，2S2=3a2，
∴ 2(a1+a2)=3a2，∴ 2a1=a2=4，∴ a1=2．
又2Sn=(n+1)an，
∴ 2Sn−1=(n−1+1)an−1(n≥2)，
∴ 2an=(n+1)an−nan−1，
∴ (n−1)an=nan−1，
anan−1=nn−1(n≥2)，
∴ an=anan−1×an−1an−2×⋯×a2a1×a1
=nn−1×n−1n−2×⋯×21×2=2n．
∴ an=2n．
(2)bn=(an+1)2Sn=4n2+4n+1n(n+1)
=4+1n(n+1)=4+1n−1n+1，
故Tn=b1+b2+⋯+bn
=4n+(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)
=4n+1−1n+1
=4n2+5nn+1．
【答案】
解：(1)由对A款饮料的评分饼状图，
得到对A款饮料评分在60分以下的频率为0.05+0.15=0.2，
∴ 对A款饮料评分在60分以下的人数为100×0.2=20（万人）．
(2)设受访者购买A款饮料的可能性高于购买B款饮料的可能性为事件C，
记购买A款饮料的可能性为20%为事件A1，
购买A款饮料的可能性为60%为事件A2，
购买A款饮料的可能性为90%为事件A3，
购买B款饮料的可能性为20%为事件B1，
购买B款饮料的可能性为60%为事件B2，
购买B款饮料的可能性为90%为事件B3，
P(A1)=0.05+0.15=0.2，
P(A2)=0.1+0.2=0.3，
P(A3)=0.15+0.35=0.5，
由用频率估计概率得：
P(B1)=5+5100=0.1，
P(B2)=15+20100=0.35，
P(B3)=15+40100=0.55，
∵ 事件Ai与Bj相互独立，其中i，j=1，2，3，
∴ P(C)=P(A2B1+A3B1+A3B2)
=P(A2)P(B1)+P(A3)P(B1)+P(A3)P(B2)
=0.3×0.1+0.5×0.1+0.5×0.35=0.255．
∴ 该受访者购买A款饮料的可能性高于购买B款饮料的可能性的概率为0.255．
(3)从受访者对A，B两款饮料购买期望角度看：
A款饮料购买期望X的分布列为：
B方案“选择倾向指数”Y的分布列为：
∴ E(X)=0.2×0.2+0.6×0.3+0.9×0.5=0.67，
E(Y)=0.2×0.1+0.6×0.35+0.9×0.55=0.725．
根据上述期望可知E(X)【考点】
扇形统计图
用频率估计概率
古典概型及其概率计算公式
相互独立事件的概率乘法公式
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
(Ⅰ)由对A㰪饮料的评分饼状图，得到对A款饮料评分在60分以下的频率为0.2，由此对A款饮料评分在60分以下的人数．
(Ⅱ)设受访者购买A款饮料的可能性高于购买B款饮料的可能性为事件C，记购买A款饮料的可能性为20%为事件A1，购买A款饮料的可能性为60%为事件A2，购买A款饮料的可能性为90%为事件B1，由此能求出该受访者购买A款饮料的可能性高于购买B款饮料的可能性的概率．
(Ⅲ)从受访者对A，B两款饮料的购买期望角度分别求出A款饮料购买期望X的分布列和B方案“选择倾向指数”Y的分布列，由此能求出新品推介应该主推B款饮料．
【解答】
解：(1)由对A款饮料的评分饼状图，
得到对A款饮料评分在60分以下的频率为0.05+0.15=0.2，
∴ 对A款饮料评分在60分以下的人数为100×0.2=20（万人）．
(2)设受访者购买A款饮料的可能性高于购买B款饮料的可能性为事件C，
记购买A款饮料的可能性为20%为事件A1，
购买A款饮料的可能性为60%为事件A2，
购买A款饮料的可能性为90%为事件A3，
购买B款饮料的可能性为20%为事件B1，
购买B款饮料的可能性为60%为事件B2，
购买B款饮料的可能性为90%为事件B3，
P(A1)=0.05+0.15=0.2，
P(A2)=0.1+0.2=0.3，
P(A3)=0.15+0.35=0.5，
由用频率估计概率得：
P(B1)=5+5100=0.1，
P(B2)=15+20100=0.35，
P(B3)=15+40100=0.55，
∵ 事件Ai与Bj相互独立，其中i，j=1，2，3，
∴ P(C)=P(A2B1+A3B1+A3B2)
=P(A2)P(B1)+P(A3)P(B1)+P(A3)P(B2)
=0.3×0.1+0.5×0.1+0.5×0.35=0.255．
∴ 该受访者购买A款饮料的可能性高于购买B款饮料的可能性的概率为0.255．
(3)从受访者对A，B两款饮料购买期望角度看：
A款饮料购买期望X的分布列为：
B方案“选择倾向指数”Y的分布列为：
∴ E(X)=0.2×0.2+0.6×0.3+0.9×0.5=0.67，
E(Y)=0.2×0.1+0.6×0.35+0.9×0.55=0.725．
根据上述期望可知E(X)【答案】
解：(1)由fx=xeax得f′x=1+axeax，
令f′x=1+axeax=0，得x=−1a，
当x<−1a时，f′x<0，当x>−1a时，f′x>0，
∴ 函数fx在−∞,−1a上单调递减，函数fx在−1a,+∞上单调递增．
故函数fx存在极小值，其极小值为f−1a=−1ea，无极大值．
(2)由题意得xex−1≥lnx+bx恒成立，
即b≤ex−lnxx−1x恒成立．
设gx=ex−lnxx−1x，
则g′(x)=ex−1−lnxx2+1x2=x2ex+lnxx2，
设ℎx=x2ex+lnx，
下面证明ℎx=0有唯一解．
易知ℎ(x)单调递增，且ℎ(1)=e>0，
所以若ℎx有零点x，则0令ℎx=0，可得xex=−lnxx,0注意到−lnxx=f−lnx，
所以方程（※）等价于fx=f−lnx0又由(1)可知，当a=1时，fx在0,+∞上单调递增，
又当0所以方程fx=f−lnx等价于方程x=−lnx0设函数mx=x+lnx0又m(1e)=1e−1<0，m1=1>0，
所以存在x0∈1e,1，
使得mx0=0，即方程x=−lnx有唯一解x0，即ex0=1x0，
因此方程fx=f−lnx有唯一解x0，
所以ℎx=0有唯一解x0，
当x∈0,x0时，ℎx<0，gx单调递减；
当x∈x0,+∞时，ℎx>0，gx单调递增．
故gx的最小值为gx0=ex0−lnx0x0−1x0
=1x0−(−x0)x0−1x0=1，
所以b≤1．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】


【解答】
解：(1)由fx=xeax得f′x=1+axeax，
令f′x=1+axeax=0，得x=−1a，
当x<−1a时，f′x<0，当x>−1a时，f′x>0，
∴ 函数fx在−∞,−1a上单调递减，函数fx在−1a,+∞上单调递增．
故函数fx存在极小值，其极小值为f−1a=−1ea，无极大值．
(2)由题意得xex−1≥lnx+bx恒成立，
即b≤ex−lnxx−1x恒成立．
设gx=ex−lnxx−1x，
则g′(x)=ex−1−lnxx2+1x2=x2ex+lnxx2，
设ℎx=x2ex+lnx，
下面证明ℎx=0有唯一解．
易知ℎ(x)单调递增，且ℎ(1)=e>0，
所以若ℎx有零点x，则0令ℎx=0，可得xex=−lnxx,0注意到−lnxx=f−lnx，
所以方程（※）等价于fx=f−lnx0又由(1)可知，当a=1时，fx在0,+∞上单调递增，
又当0所以方程fx=f−lnx等价于方程x=−lnx0设函数mx=x+lnx0又m(1e)=1e−1<0，m1=1>0，
所以存在x0∈1e,1，
使得mx0=0，即方程x=−lnx有唯一解x0，即ex0=1x0，
因此方程fx=f−lnx有唯一解x0，
所以ℎx=0有唯一解x0，
当x∈0,x0时，ℎx<0，gx单调递减；
当x∈x0,+∞时，ℎx>0，gx单调递增．
故gx的最小值为gx0=ex0−lnx0x0−1x0
=1x0−(−x0)x0−1x0=1，
所以b≤1．
【答案】
解：(1)由题可知a=2b，
可设椭圆方程为x24b2+y2b2=1，
又因椭圆过点3,12，
则34b2+14b2=1，解得a=2，b=1，
所以椭圆方程为x24+y2=1．
(2)设直线AB方程为y=kx+m(k>0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
∵ kAB2=kOA⋅kOB(kAB>0)，
∴ k2=y1y2x1x2=kx1+mkx2+mx1x2，
化简得kmx1+x2+m2=0，
∵ A，O，B三点不共线，
∴ m≠0，则kx1+x2+m=0，①
由y=kx+m，x2+4y2=4，
可得1+4k2x2+8kmx+4m2−1=0，
由韦达定理可得x1+x2=−8km1+4k2，x1x2=4m2−11+4k2，②
且Δ=161+4k2−m2>0，③
将②代入①式得k−8km1+4k2+m=0(k>0)，解得k=12，
则x1+x2=−2m，x1x2=2m2−1，④
(i)|OA|2+|OB|2=x12+y12+x22+y22
=34x12+34x22+2
=34(x1+x2)2−2x1x2+2，
将④代入得|OA|2+|OB|2
=34×[4m2−2×2m2−1]+2=5．
(ii)S△AOB=12|AB|⋅d
=121+k2|x1−x2|⋅|m|1+k2
=12(x1+x2)2−4x1x2⋅|m|=2−m2⋅|m|，
由③和m≠0得m∈−2,0∪0,2，
则S△AOB=2−m2⋅|m|=2−m2m2≤1，
当且仅当m=±1时，直线方程为y=12x±1．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆结合的最值问题
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
（1）定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的．定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现．
（2）在圆锥曲线中研究最值，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑；①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．
【解答】
解：(1)由题可知a=2b，
可设椭圆方程为x24b2+y2b2=1，
又因椭圆过点3,12，
则34b2+14b2=1，解得a=2，b=1，
所以椭圆方程为x24+y2=1．
(2)设直线AB方程为y=kx+m(k>0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
∵ kAB2=kOA⋅kOB(kAB>0)，
∴ k2=y1y2x1x2=kx1+mkx2+mx1x2，
化简得kmx1+x2+m2=0，
∵ A，O，B三点不共线，
∴ m≠0，则kx1+x2+m=0，①
由y=kx+m，x2+4y2=4，
可得1+4k2x2+8kmx+4m2−1=0，
由韦达定理可得x1+x2=−8km1+4k2，x1x2=4m2−11+4k2，②
且Δ=161+4k2−m2>0，③
将②代入①式得k−8km1+4k2+m=0(k>0)，解得k=12，
则x1+x2=−2m，x1x2=2m2−1，④
(i)|OA|2+|OB|2=x12+y12+x22+y22
=34x12+34x22+2
=34(x1+x2)2−2x1x2+2，
将④代入得|OA|2+|OB|2
=34×[4m2−2×2m2−1]+2=5．
(ii)S△AOB=12|AB|⋅d
=121+k2|x1−x2|⋅|m|1+k2
=12(x1+x2)2−4x1x2⋅|m|=2−m2⋅|m|，
由③和m≠0得m∈−2,0∪0,2，
则S△AOB=2−m2⋅|m|=2−m2m2≤1，
当且仅当m=±1时，直线方程为y=12x±1．
【答案】
解：(1)设Px,y，Mx′,y′，
∵OP→=2OM→，
∴ x′=12x，y′=12y，
∵ 点M在曲线C1上，
∴ x′=2+csφ，y′=1+sinφ，
∴ 曲线C1的普通方程为(x′−2)2+(y′−1)2=1，
∴ 曲线C2的普通方程为x−42+y−22=4．
(2)由x=ρcsθ，y=ρsinθ得曲线C1的极坐标方程为ρ2−4ρcsθ−2ρsinθ+4=0，
曲线C2的极坐标方程为ρ2−8ρcsθ−4ρsinθ+16=0，
由ρ2−4ρcsθ−2ρsinθ+4=0，θ=π4
得ρ=2，θ=π4 或ρ=22，θ=π4，
∴ Aπ4,2或π4,22，
由ρ2−8ρcsθ−4ρsinθ+16=0，θ=π4
得ρ=22，θ=π4或ρ=42，θ=π4，
∴ Bπ4,22或π4,42，
∴ |AB|的最大值为32.
【考点】
参数方程与普通方程的互化
圆的极坐标方程
参数方程的优越性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设Px,y，Mx′,y′，
∵OP→=2OM→，
∴ x′=12x，y′=12y，
∵ 点M在曲线C1上，
∴ x′=2+csφ，y′=1+sinφ，
∴ 曲线C1的普通方程为(x′−2)2+(y′−1)2=1，
∴ 曲线C2的普通方程为x−42+y−22=4．
(2)由x=ρcsθ，y=ρsinθ得曲线C1的极坐标方程为ρ2−4ρcsθ−2ρsinθ+4=0，
曲线C2的极坐标方程为ρ2−8ρcsθ−4ρsinθ+16=0，
由ρ2−4ρcsθ−2ρsinθ+4=0，θ=π4
得ρ=2，θ=π4 或ρ=22，θ=π4，
∴ Aπ4,2或π4,22，
由ρ2−8ρcsθ−4ρsinθ+16=0，θ=π4
得ρ=22，θ=π4或ρ=42，θ=π4，
∴ Bπ4,22或π4,42，
∴ |AB|的最大值为32.
【答案】
解：(1)当a=2时，不等式为|2x−2|+|x|≤4，
当x≤0时，不等式化为2−3x≤4，解得x≥−23，即x∈−23,0；
当0当x≥1时，不等式化为3x−2≤4，解得x≤2，即x∈[1,2]．
综上，不等式的解集为[−23,2]．
(2)因为对任意的实数x都有fx−f−x≥a2−8，
所以fx−f−xmin≥a2−8，
又因为fx−f−x=|2x−a|−|2x+a|
≥−|2x−a−2x−a|=−|2a|=−2a，
所以只需−2a≥a2−8，解得−4≤a≤2，
又a>0，
所以0【考点】
绝对值不等式
不等式恒成立问题
【解析】


【解答】
解：(1)当a=2时，不等式为|2x−2|+|x|≤4，
当x≤0时，不等式化为2−3x≤4，解得x≥−23，即x∈−23,0；
当0当x≥1时，不等式化为3x−2≤4，解得x≤2，即x∈[1,2]．
综上，不等式的解集为[−23,2]．
(2)因为对任意的实数x都有fx−f−x≥a2−8，
所以fx−f−xmin≥a2−8，
又因为fx−f−x=|2x−a|−|2x+a|
≥−|2x−a−2x−a|=−|2a|=−2a，
所以只需−2a≥a2−8，解得−4≤a≤2，
又a>0，
所以00.2
0.6
0.9
P
0.2
0.3
0.5
Y
0.2
0.6
0.9
B
0.1
0.35
0.55
X
0.2
0.6
0.9
P
0.2
0.3
0.5
Y
0.2
0.6
0.9
B
0.1
0.35
0.55