2020-2021学年广西省贺州市高二（下）第二次月考数学（理）试卷北师大版

这是一份2020-2021学年广西省贺州市高二（下）第二次月考数学（理）试卷北师大版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 集合A=x∈Z|x2−3x−4≤0，B=0,2,4,6，则A∩B中元素的个数为( )
A.2B.3C.4D.5

2. 复数4−2i1+i=( )
A.−1−3iB.−1+3iC.1+3iD.1−3i

3. 有3名男生，3名女生站成一排照相留念，3名男生必须站在一起的方法数有( )
A.196B.144C.121D.72

4. 已知a→与b→的夹角θ满足csθ=14，且|a→|=4，|b→|=2，则a→⋅b→=（ ）
A.2B.32C.1D.12

5. 函数f(x)=ax3+x+1有极值的充要条件是( )
A.a>0B.a≥0C.a<0D.a≤0

6. 由0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位偶数共有( )
A.42个B.36个C.48个D.120个

7. 已知正项等比数列an中，a1a5a9=27，a6与a7的等差中项为9，则a10=( )
A.96B.332 C.181D.729

8. 若实数x，y满足x≤3,x+y≥2,y≤x,则x+2y的最大值为( )
A.1B.3C.5D.9

9. 已知点 a,ba>0,b>0 在直线x+y=1上，则1a+1b的最小值是（ ）
A.1B.2C.3D.4

10. x−2yx+y6的展开式中x3y4的系数为（ ）
A.25B.−25C.15D.−15

11. 已知f(x)=14x2+csx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是( )
A.B.
C.D.

12. 过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另外一条渐近线交于点B，若|AB|=2a，则ba=( )
A.2B.12C.5+12D.5−12
二、填空题

定积分12(2x+1x)dx的值为________．

设向量a→=(1, 2)，b→=(2, 1)，若向量a→−λb→与向量c→=(5, −2)共线，则λ的值为________．

函数f(x)=lgx−sinx的零点的个数为________．

等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n都有SnTn=2n−13n−2，则a11b6+b10+a5b7+b9的值为________．
三、解答题

已知等比数列{an}的各项均为正数，a2=8，a3+a4=48．
(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn=lg4an．证明：{bn}为等差数列，并求{bn}的前n项和Sn．

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足c−bsinA+B=asinA−bsinB，b=4 .
(1)若a=26，求角B；

(2)若△ABC的周长为10，求△ABC的面积．

甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为34，23，12，笔试、口试、实验通过考试分别记4分，2分，4分，没通过的项目记0分，各项成绩互不影响．
(1)若规定总分不低于8分即可进入复赛，求甲同学进入复赛的概率；

(2)记三个项目中通过考试的个数为X，求随机变量X的分布列．

如图所示，在直三棱柱ABC−A1B1C1中， AB⊥BC，且AA1=BC=2AB=4 .
(1)求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1；

(2)求二面角C1−AB−C的平面角．

已知椭圆C的短轴的两个端点分别为A(0,1)，B(0,−1)，焦距为23.
(1)求椭圆C的方程；

(2)已知直线y=m与椭圆C有两个不同的交点M，N，设D为直线AN上一点，且直线BD，BM的斜率的积为−14．证明：点D在x轴上．

已知a是实数，函数fx=x2x−a .
(1)当a=1时，求函数fx在x=1处的切线方程；

(2)求fx在区间0,2上的最大值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年广西省贺州市高二（下）第二次月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
一元二次不等式的解法
交集及其运算
【解析】
可求出集合A，然后进行交集的运算即可求出A∩B，从而得出A∩B元素的个数．
【解答】
解：∵集合A=x∈Z|x2−3x−4≤0
=x∈Z|−1≤x≤4
=−1,0,1,2,3,4，
B=0,2,4,6，
∴A∩B=0,2,4，
∴A∩B中元素的个数为3．
故选B．
2.
【答案】
D
【考点】
复数的运算
【解析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】
解：4−2i1+i=(4−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=2−6i2=1−3i．
故选D．
3.
【答案】
B
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
男生必须相邻而站，把三个男生看做一个元素，则共有4个元素进行全排列，再乘以男生内部的一个排列．
【解答】
解：把3名男生看成一个整体与其他人排列有A44种，再来考虑3名男生间的顺序有A33种，
故3名男生必须站在一起的排法有A44A33=144种．
故选B．
4.
【答案】
A
【考点】
平面向量数量积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：a→⋅b→=|a→||b→|csθ=4×2×14=2．
故选A．
5.
【答案】
C
【考点】
根据充分必要条件求参数取值问题
利用导数研究函数的极值
【解析】
用排除法．
当a=0时，判断原函数的单调性可知无极值点，排除B，D；
当a>0时，判断原函数的单调性可知无极值点，排除A，进而得到答案．
【解答】
解：当a=0时，函数f(x)=ax3+x+1=x+1是单调增函数无极值，
故排除B，D.
当a>0时，函数f(x)=ax3+x+1是单调增函数无极值，
故排除A.
故选C．
6.
【答案】
A
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：偶数即个位数字只能是0或2，
又0不能在万位上，
则共有A44+C31A33=42种.
故选A.
7.
【答案】
A
【考点】
等比数列的性质
等差中项
【解析】
直接利用等比数列公式得出结果.
【解答】
解：∵a1a5a9=27，
∴ a5 = 3，
∴a6 + a7 = 3q+3q2=18，解得q=2，
∴ a10=a5q5=3×25=96.
故选A.
8.
【答案】
D
【考点】
简单线性规划
求线性目标函数的最值
【解析】
本题考查线性规划的应用.
【解答】
解：作出可行域如图：
由图可知目标函数z=x+2y经过点A时取得最大值.
由x=3,x=y,可得A(3,3)，
则目标函数的最大值为：3+2×3=9.
故选D．
9.
【答案】
D
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
把点的坐标代入直线方程中，由此利用基本不等式求1a+1b的最小值．
【解答】
解：由题意知，a>0 ，b>0，且a+b=1，
所以1a+1b=1a+1ba+b=2+ba+ab≥2+2ba⋅ab=4，
当且仅当a=b=12时取等号，
所以1a+ab的最小值为4．
故选D．
10.
【答案】
B
【考点】
二项展开式的特定项与特定系数
【解析】
由题意利用二项展开式的通项公式，求出展开式中x3y4的系数．
【解答】
解：在x−2yx+y6的展开式中，
x3y4的系数为C64−2C63=15−2×20=−25.
故选B.
11.
【答案】
A
【考点】
导数的运算
函数奇偶性的判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ f(x)=14x2+csx，
∴f′(x)=12x−sinx,
∴f′(−x)=−f′(x),
∴ f′(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除B，D,
当x=π2， f′(π2)=π4−sinπ2=π4−1<0 ,
排除C，只有A适合，
故选A.
12.
【答案】
C
【考点】
双曲线的特性
双曲线的渐近线
【解析】
求得双曲线的渐近线方程，设FA的方程为y−0=abx+c，代入渐近线方程y=bax可得B的坐标，代入渐近线方程y=bax可得A的坐标，由|AB|=2a，运用两点的距离公式和a2+b2=c2，b>a，即可求得所求值．
【解答】
解：双曲线的渐近线方程为y=±bax，
设FA⊥渐近线y=−bax，
则直线FA斜率为ab，
直线FA的方程为y−0=abx+c，
代入渐近线方程y=bax可得B的坐标为(a2cb2−a2,abcb2−a2)b>a，
代入渐近线方程y=−bax可得A的坐标为(−a2c,abc)，
由|AB|=2a，可得(a2cb2−a2+a2c)2+(abcb2−a2−abc)2=4a2，
由c2=a2+b2，可得b2−a22=a2b2，
即为b4−3a2b2+a4=0，
可得b2=3+52a2，
即有ba=5+12．
故选C．
二、填空题
【答案】
3+ln2
【考点】
定积分
【解析】
根据定积分的计算法则计算即可．
【解答】
解：12(2x+1x)dx=(x2+lnx)|12=4+ln2−1−0=3+ln2..
故答案为：3+ln2．
【答案】
43
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
由平面向量坐标运算法则先求出a→−λb→，再由向量a→−λb→与向量c→=(5, −2)共线，能求出λ．
【解答】
解：∵ 向量a→=(1, 2)，b→=(2, 1)，
∴ a→−λb→=(1−2λ, 2−λ)，
∵ 向量a→−λb→与向量c→=(5, −2)共线．
∴ (1−2λ)×(−2)−(2−λ)×5=0，
解得λ=43．
故答案为：43．
【答案】
3
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
本题即求函数y=lgx的图象（红线部分）和函数y=sinx的图象（蓝线部分）的交点个数，数形结合可得结论．
【解答】
解：函数f(x)=lgx−sinx的零点的个数，
即函数y=lgx的图象（虚线部分）和函数y=sinx的图象（实线部分）的交点个数，
如图所示：
显然，函数y=lgx的图象和函数y=sinx的图象的交点个数为3，
故答案为：3．
【答案】
2943
【考点】
等差数列的性质
等差数列的前n项和
【解析】
结合等差数列的性质及等差数列的求和公式的特点进行转化即可求解．
【解答】
解：因为{an}，{bn}是等差数列，
所以a11b6+b10+a5b7+b9=a11+a52b8=2a82b8，
因为S15T15=a1+a15b1+b15=2a82b8=2×15−13×15−2=2943．
故答案为：2943．
三、解答题
【答案】
解：(1)设等比数列{an}的公比为q，依题意 q>0．
∵ a2=8，a3+a4=48，
∴ a1q=8，a1q2+a1q3=48．
两式相除得 q2+q−6=0，
解得 q=2，舍去 q=−3．
∴ a1=a2q=4．
∴ 数列{an}的通项公式为 an=a1⋅qn−1=2n+1．
(2)由(1)得 bn=lg4an=n+12．
∵ bn+1−bn=n+22−n+12=12，
∴ 数列{bn}是首项为1，公差为d=12的等差数列．
∴ Sn=nb1+n(n−1)2d=n2+3n4．
【考点】
等比数列的通项公式
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和
【解析】
(Ⅰ)利用等比数列的通项公式即可得出；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论和对数的运算法则进行化简，再计算bn+1−bn是否是一个常数即可判定，若是利用等差数列的前n项和公式即可．
【解答】
解：(1)设等比数列{an}的公比为q，依题意 q>0．
∵ a2=8，a3+a4=48，
∴ a1q=8，a1q2+a1q3=48．
两式相除得 q2+q−6=0，
解得 q=2，舍去 q=−3．
∴ a1=a2q=4．
∴ 数列{an}的通项公式为 an=a1⋅qn−1=2n+1．
(2)由(1)得 bn=lg4an=n+12．
∵ bn+1−bn=n+22−n+12=12，
∴ 数列{bn}是首项为1，公差为d=12的等差数列．
∴ Sn=nb1+n(n−1)2d=n2+3n4．
【答案】
解：(1)因为c−bsinA+B=asinA−bsinB，
所以c−bsinC=asinA−bsinB，
由正弦定理得c−bc=a2−b2，即c2+b2−a2=bc .
由余弦定理得csA=c2+b2−a22bc=12 .
又A∈0,π，所以A=60∘ .
由正弦定理得asinA=bsinB，即26sin60∘=4sinB，
则sinB=426sin60∘=22 .
又b(2)因为△ABC的周长为10，b=4，所以a+c=6 .
由(1)知c2+b2−a2=bc，
即c2−a2=4c−16，解得a=72，c=52，
所以S△ABC=12bcsinA=12×4×52×32=532 .
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】


【解答】
解：(1)因为c−bsinA+B=asinA−bsinB，
所以c−bsinC=asinA−bsinB，
由正弦定理得c−bc=a2−b2，即c2+b2−a2=bc .
由余弦定理得csA=c2+b2−a22bc=12 .
又A∈0,π，所以A=60∘ .
由正弦定理得asinA=bsinB，即26sin60∘=4sinB，
则sinB=426sin60∘=22 .
又b(2)因为△ABC的周长为10，b=4，所以a+c=6 .
由(1)知c2+b2−a2=bc，
即c2−a2=4c−16，解得a=72，c=52，
所以S△ABC=12bcsinA=12×4×52×32=532 .
【答案】
解：(1)记笔试、口试、实验独立通过考试分别为事件A，B，C，
则事件“甲同学进入复赛”表示为ABC+AB¯C．
∵ ABC与AB¯C为互斥事件，且A，B，C之间彼此独立，
∴ P(ABC+AB¯C)=P(ABC)+P(AB¯C)
=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B¯)P(C)
=34×23×12+34×13×12=38．
(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
∵ P(X=0)=P(A¯B¯C¯)=14×13×12=124，
P(X=1)=P(AB¯C¯+A¯BC¯+A¯B¯C)
=34×13×12+14×23×12+14×13×12=14，
P(X=2)=P(ABC¯+A¯BC+AB¯C)
=34×23×12+14×23×12+34×13×12=1124，
P(X=3)=P(ABC)=34×23×12=14，
随机变量X的分布列为
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
互斥事件的概率加法公式
离散型随机变量及其分布列
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)记笔试、口试、实验独立通过考试分别为事件A，B，C，
则事件“甲同学进入复赛”表示为ABC+AB¯C．
∵ ABC与AB¯C为互斥事件，且A，B，C之间彼此独立，
∴ P(ABC+AB¯C)=P(ABC)+P(AB¯C)
=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B¯)P(C)
=34×23×12+34×13×12=38．
(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
∵ P(X=0)=P(A¯B¯C¯)=14×13×12=124，
P(X=1)=P(AB¯C¯+A¯BC¯+A¯B¯C)
=34×13×12+14×23×12+14×13×12=14，
P(X=2)=P(ABC¯+A¯BC+AB¯C)
=34×23×12+14×23×12+34×13×12=1124，
P(X=3)=P(ABC)=34×23×12=14，
随机变量X的分布列为
【答案】
(1)证明：因为三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，
所以BB1⊥平面ABC，
因为AB⊂平面ABC，
所以BB1⊥AB .
因为AB⊥BC，BC∩BB1=B，
所以AB⊥平面BCC1B1，
又因为AB⊂平面ABC1，
所以平面ABC1⊥平面BCC1B1 .
(2)由(1)得AB⊥平面BCC1B1，∴ AB⊥BC1，
∵ AB⊥BC，∴ ∠C1BC为二面角C1−AB−C的平面角，
∵ AA1=CC1=BC=2AB=4，
∴ 在等腰Rt△BCC1中，∠C1BC=45∘ .
【考点】
平面与平面垂直的判定
二面角的平面角及求法
【解析】


【解答】
(1)证明：因为三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，
所以BB1⊥平面ABC，
因为AB⊂平面ABC，
所以BB1⊥AB .
因为AB⊥BC，BC∩BB1=B，
所以AB⊥平面BCC1B1，
又因为AB⊂平面ABC1，
所以平面ABC1⊥平面BCC1B1 .
(2)由(1)得AB⊥平面BCC1B1，∴ AB⊥BC1，
∵ AB⊥BC，∴ ∠C1BC为二面角C1−AB−C的平面角，
∵ AA1=CC1=BC=2AB=4，
∴ 在等腰Rt△BCC1中，∠C1BC=45∘ .
【答案】
(1)解：设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1，
由题意得b=1，c=3，
所以a2=b2+c2=4，即a=2，
故椭圆C的方程为x24+y2=1.
(2)证明：设Mx1,m，则N−x1,m，x1≠0，−1所以直线BM的斜率为kBM=m−−1x1−0=m+1x1.
因为直线BD，BM的斜率的积为−14，
所以直线BD的斜率为kBD=−x14m+1.
直线AN的方程为y=1−mx1x+1，
直线BD的方程为y=−x14m+1x−1，
联立y=1−mx1x+1，y=−x14m+1x−1，
解得点D的纵坐标为yD=−14x12−m2+1−14x12+m2−1.
因为点M在椭圆C上，
所以x124+m2=1，则yD=0，
所以点D在x轴上．
【考点】
椭圆的标准方程
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
(1)由已知条件得出b，c的值，进而可得出a的值，由此可求得椭圆C的方程；
(2)设点Mx1,m，可得N−x1,m，且x1≠0，−1【解答】
(1)解：设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1，
由题意得b=1，c=3，
所以a2=b2+c2=4，即a=2，
故椭圆C的方程为x24+y2=1.
(2)证明：设Mx1,m，则N−x1,m，x1≠0，−1所以直线BM的斜率为kBM=m−−1x1−0=m+1x1.
因为直线BD，BM的斜率的积为−14，
所以直线BD的斜率为kBD=−x14m+1.
直线AN的方程为y=1−mx1x+1，
直线BD的方程为y=−x14m+1x−1，
联立y=1−mx1x+1，y=−x14m+1x−1，
解得点D的纵坐标为yD=−14x12−m2+1−14x12+m2−1.
因为点M在椭圆C上，
所以x124+m2=1，则yD=0，
所以点D在x轴上．
【答案】
解：(1)当a=1时，fx=x3−x2，f′x=3x2−2x，
k切线=f′1=3×12−2×1=1，f1=0，则切点为1,0，
切线方程为y−0=1x−1，即x−y−1=0 .
(2)fx=3x2−2ax，令fx=0，解得x1=0，x2=2a3 .
①当2a3≤0，即a≤0时，fx在0,2上单调递增，从而fxmax=f2=8−4a .
②当2a3≥2，即a≥3时，fx在0,2上单调递减，从而fxmax=f0=0 .
③当0<2a3<2，即0因为f0=0，f2=8−4a，若8−4a≥0，即a≤2，fx=8−4a；
若8−4a<0，即a≥2，fxmax=0，
从而fx=8−4a0由①②③得，fxmax=8−4aa≤2，0a>2.
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
【解析】


【解答】
解：(1)当a=1时，fx=x3−x2，f′x=3x2−2x，
k切线=f′1=3×12−2×1=1，f1=0，则切点为1,0，
切线方程为y−0=1x−1，即x−y−1=0 .
(2)fx=3x2−2ax，令fx=0，解得x1=0，x2=2a3 .
①当2a3≤0，即a≤0时，fx在0,2上单调递增，从而fxmax=f2=8−4a .
②当2a3≥2，即a≥3时，fx在0,2上单调递减，从而fxmax=f0=0 .
③当0<2a3<2，即0因为f0=0，f2=8−4a，若8−4a≥0，即a≤2，fx=8−4a；
若8−4a<0，即a≥2，fxmax=0，
从而fx=8−4a0由①②③得，fxmax=8−4aa≤2，0a>2.X
0
1
2
3
P
124
14
1124
14
X
0
1
2
3
P
124
14
1124
14