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高中1.2 集合间的基本关系说课ppt课件
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这是一份高中1.2 集合间的基本关系说课ppt课件，共55页。PPT课件主要包含了内容索引，课标阐释，思维脉络，课前篇自主预习，知识点拨，子集与真子集，课堂篇探究学习等内容，欢迎下载使用。
1.了解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.(数学抽象)2.掌握子集、真子集及集合相等的应用,会判断集合间的基本关系.(逻辑推理)3.在具体情境中了解空集的含义并会应用.(数学抽象)4.能使用Venn图表达集合间的关系,体会直观图对理解抽象概念的作用.(直观想象)
[激趣诱思]银河系是地球和太阳所属的星系.因其主体部分投影在天空上的亮带被我国称为银河而得名.问题:如果我们把银河系包含的所有行星和恒星构成的集合叫集合A,把太阳系包含的所有行星和恒星构成的集合叫集合B.那么集合A与集合B有怎样的关系?
知识点一:子集与真子集1.Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.名师点析 对Venn图的理解(1)表示集合的Venn图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.(2)用Venn图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显.
名师点析 1.对子集的理解(1)“A是B的子集”的含义:集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,即由任意x∈A,能推出x∈B.(2)若A⊆B,则A有以下三种情况:①A是空集;②A是由B的部分元素组成的集合;③A是由B的全部元素组成的集合.故不能简单地认为“若A⊆B,则A是由B的部分元素组成的集合”.
2.对真子集的理解(1)真子集的概念也可以叙述为:若集合A⊆B,存在元素x∈B,且x∉A,则称集合A是集合B的真子集.(2)集合A是集合B的真子集,需要满足以下两个条件:a.集合A是集合B的子集;b.存在元素x∈B,且x∉A.所以,如果集合A是集合B的真子集,那么集合A一定是集合B的子集,反之不成立.(3)任何集合都一定有子集,一个集合的真子集的个数比子集的个数少1.
微思考(1)子集定义中“任意一个元素”能否改为“某个或某些元素”?提示 不能.“A是B的子集”的定义中“集合A中的任意一个元素都是集合B的元素”,即对任意x∈A都能推出x∈B.注意“任意一个元素”而不是某个或某些元素.(2)符号“⊆”与符号“∈”有什么区别?提示 符号“⊆”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“∈”表示元素与集合之间的从属关系.
(3)集合A⫋B与集合A⊆B有什么区别?提示 A⊆B⇒A=B或A⫋B.因此若集合A是集合B的子集包含两个方面:A⫋B或A=B.(4)任何一个集合都有子集吗?任何一个集合都有真子集吗?提示 任何一个集合都有子集,但是并不是任何一个集合都有真子集,空集就没有真子集.
微练习(1)已知集合P={-1,0,1,2},Q={-1,0,1},则( )A.P∈Q B.P⊆Q C.Q⊆PD.Q∈P(2)已知集合A={x|-1
名师点析 对集合相等的理解 (1)A=B的图形表示如右:(2)集合A与集合B相等,就是集合A与集合B中的元素完全一致.(3)集合“A=B”可类比实数中的结论“若a≤b,且b≤a,则a=b”,即“若A⊆B,且B⊆A,则A=B”.(4)若A=B,则有A⊆B,且B⊆A.
微思考本书1.1中,我们是如何定义两个集合相等的?提示 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.微练习已知集合A={1,-m},B={1,m2},且A=B,则m的值为 . 答案 0解析 由A=B,得m2=-m,解得m=0或m=-1.当m=-1时不满足集合中元素的互异性,舍去.故m=0.
知识点三:空集一般地,我们把不含有任何元素的集合叫做空集,记为⌀,并规定:空集是任何集合的子集,即⌀⊆A.
微拓展有限集合的子集问题若有限非空集合A中含有n个元素,则有:(1)集合A的子集的个数为2n;(2)集合A的真子集的个数为2n-1;(3)集合A的非空子集的个数为2n-1;(4)集合A的非空真子集的个数为2n-2.例如,集合{1,2}的元素个数为2,其子集个数为22=4,子集分别为⌀,{1},{2},{1,2};真子集个数为22-1=3,真子集分别为⌀,{1},{2};非空子集个数为22-1=3,非空子集分别为{1},{2},{1,2};非空真子集个数为22-2=2,非空真子集分别为{1},{2}.
微思考(1){0},⌀,{⌀}之间有什么区别与联系?提示 {0}是含有一个元素0的集合,⌀是不含任何元素的集合,因此⌀⊆{0},而{⌀}是含有一个元素⌀的集合.(2)若A⊆B,能不能看成集合A是集合B中部分元素组成的集合?提示 不能.因为当A=⌀时,A⊆B,但A中不含任何元素;当A=B时,有A⊆B,但A中含有B中所有元素.(3)若一个集合只有一个子集,则这个集合有什么特征?提示 一个集合只有一个子集,则这个集合是空集.
知识点四:子集与真子集的性质由子集、真子集和空集的概念可得:(1)空集是任何集合的子集,⌀⊆A;(2)任何一个集合是它自身的子集,即A⊆A;(3)空集只有一个子集,即它自身;(4)对于集合A,B,C,由A⊆B,B⊆C可得A⊆C;(5)对于集合A,B,C,由A⫋B,B⫋C可得A⫋C.
微思考∈与⊆、a与{a}之间有什么区别?提示 (1)∈与⊆的区别:∈表示元素与集合之间的关系,因此,有 ∉Q等;⊆表示集合与集合之间的关系,因此,有Q⊆R,⌀⊆R等.(2)a与{a}的区别:一般地,a表示一个对象,而{a}表示由一个元素组成的集合(常称单元素集),a是集合{a}的一个元素.因此,有2∈{2},不能写成2={2}.
例1(1)(2020安徽合肥高一检测)集合A={x|0≤x<3,x∈N}的真子集的个数是( )A.16B.8C.7D.4(2)(2020浙江台州高一检测)已知集合A={x|x2+x=0,x∈R},则集合A= .若集合B满足{0}⫋B⊆A,则集合B= . (3)已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集.
(1)答案 C解析 (1)由已知得,A={0,1,2},此集合的真子集为⌀,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},共7个.(2)答案 {-1,0} {-1,0}解析 因为解方程x2+x=0,得x=-1或x=0,所以集合A={x|x2+x=0,x∈R}={-1,0},因为集合B满足{0}⫋B⊆A,所以集合B={-1,0}.(3)解 因为A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}.所以A的子集有⌀,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.
反思感悟 1.求集合的子集、真子集的步骤判断—根据子集、真子集的概念判断出集合中含有元素的可能情况↓分类—根据集合中元素的多少进行分类↓列举—采用列举法逐一写出每种情况的子集2.求元素个数有限的集合的子集两个关注点(1)要注意两个特殊的子集:⌀和自身;(2)按集合中含有元素的个数由少到多,分类一一写出,保证不重不漏.
变式训练1(1)若{1,2,3}⫋A⊆{1,2,3,4,5},则满足条件的集合A的个数为( )A.2B.3C.4D.5(2)已知集合A⫋{1,2,3},且A中至少含有一个奇数,则满足条件的集合A的个数为( )A.6B.5C.4D.3(3)设集合A={x∈Z|-1≤x+1≤6},求A的非空真子集的个数.
(1)答案 B解析 集合{1,2,3}是集合A的真子集,同时集合A又是集合{1,2,3,4,5}的子集,所以集合A只能取集合{1,2,3,4},{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5}.(2)答案 B解析 由题知,A⫋{1,2,3},且A中至少含有一个奇数,故集合A={1},{3},{1,2},{1,3},{2,3},共5个.(3)解 化简集合A,可得A={x∈Z|-2≤x≤5}.∵x∈Z,∴A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},即A中含有8个元素,∴A的非空真子集的个数
例2判断下列集合间的关系:(1)A={x|-1
(4)集合A表示直线y=x+1上点的纵坐标构成的集合,而集合B则表示直线y=x+1上点的坐标构成的集合,所以A≠B.
反思感悟 判断两个集合间的关系时,首先要明确集合的元素特征,分析集合的元素之间的关系.然后根据以下方法判断:(1)直接法:首先判断一个集合A中的任意一个元素是否属于另一个集合B,若是,则A⊆B,否则A不是B的子集.其次通过判断另一个集合B中的任意一个元素是否属于集合A来判断它们之间的真子集关系;(2)而对于不等式表示的数集,可在数轴上标出集合的元素,直观地进行判断,但要注意端点值的取舍;(3)对于用列举法表示的集合,只需要观察其元素即可知道它们之间的关系;(4)对于用描述法表示的集合,要从所含元素的特征来分析,若集合之间可以统一形式,则需要统一形式后判断.
变式训练2指出下列各对集合之间的关系:(1)A={-1,1},B={x∈Z|x2=1};(2)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形};(3)A={x|x是12的约数},B={x|x是36的约数}.解 (1)用列举法表示集合B={-1,1},故A=B.(2)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故A⫋B.(3)因为若x是12的约数,则必定是36的约数,反之不成立,所以A⫋B.
例3已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},且A=B,求实数x,y的值.分析根据A=B列出关于x,y的方程组进行求解.
反思感悟 根据集合相等求参数,首先分析一个集合中元素与另一集合中哪个元素相等,分几种情况进行讨论,然后通过列方程(组)求解.当集合中的未知元素不止一个时,情况会更复杂,需要多次讨论.求出参数后要根据集合中元素的互异性进行检验,排除不合要求的解.
延伸探究 若将本例已知条件改为“集合A={x,xy,x-y},集合B={0,|x|,y},且A=B”,求实数x,y的值.解 ∵0∈B,A=B,∴0∈A.又由集合中元素的互异性,可知|x|≠0,y≠0,∴x≠0,xy≠0,故x-y=0,即x=y.此时A={x,x2,0},B={0,|x|,x},∴x2=|x|,解得x=±1.当x=1时,x2=1,与集合中元素的互异性矛盾,∴x=-1,即x=y=-1.
例4已知集合A={x|-5
延伸探究 (1)例4(2)中,是否存在实数a,使得A⊆B?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,试说明理由.(2)若集合A={x|x<-5,或x>2},B={x|2a-32},B={x|x>2a-3},且A⊆B,求a的取值范围;若改为B⊆A呢?(4)若A={x|x>2},B={x|x>2a-3},且A⫋B,求a的取值范围;若改为B⫋A呢?
解 (1)不存在.理由如下,因为A={x|-5
特别提醒 此类问题易错点有三个:①忽略A=⌀的情况,没有分类讨论;②在数轴上画两个集合时,没有分清实心点与空心圈;③没有弄清包含关系,以致没有正确地列出不等式或不等式组.(3)解决集合中含参问题时,最后结果要注意验证.验证是指:①分类讨论求得的参数的值,还需要代入原集合中看是否满足集合中元素的互异性.②所求参数能否取到端点值需要单独验证.
典例 已知集合A={x|1
2.已知集合A={1,2,5,6},B={5,x},若B⊆A,则x可以取的值为( )A.1,2B.1,6C.2,6D.1,2,6答案 D解析 由B⊆A和集合元素的互异性可知,x可以取的值为1,2,6.
3.(2021山西怀仁高一期中)下列关系中正确的是( )A.0∈⌀B.⌀⊆{0}C.{0,1}⊆{(0,1)}D.{(a,b)}={(b,a)}答案 B解析 对于A,0∈⌀,错误;对于B,⌀⊆{0},正确;对于C,{0,1}⊆{(0,1)},错误;对于D,{(a,b)}={(b,a)},错误.故选B.
4.(2021浙江嘉兴一中高一期中)设集合M={x|1
6.已知集合P={x|-2
1.了解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.(数学抽象)2.掌握子集、真子集及集合相等的应用,会判断集合间的基本关系.(逻辑推理)3.在具体情境中了解空集的含义并会应用.(数学抽象)4.能使用Venn图表达集合间的关系,体会直观图对理解抽象概念的作用.(直观想象)
[激趣诱思]银河系是地球和太阳所属的星系.因其主体部分投影在天空上的亮带被我国称为银河而得名.问题:如果我们把银河系包含的所有行星和恒星构成的集合叫集合A,把太阳系包含的所有行星和恒星构成的集合叫集合B.那么集合A与集合B有怎样的关系?
知识点一:子集与真子集1.Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.名师点析 对Venn图的理解(1)表示集合的Venn图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.(2)用Venn图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显.
名师点析 1.对子集的理解(1)“A是B的子集”的含义:集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,即由任意x∈A,能推出x∈B.(2)若A⊆B,则A有以下三种情况:①A是空集;②A是由B的部分元素组成的集合;③A是由B的全部元素组成的集合.故不能简单地认为“若A⊆B,则A是由B的部分元素组成的集合”.
2.对真子集的理解(1)真子集的概念也可以叙述为:若集合A⊆B,存在元素x∈B,且x∉A,则称集合A是集合B的真子集.(2)集合A是集合B的真子集,需要满足以下两个条件:a.集合A是集合B的子集;b.存在元素x∈B,且x∉A.所以,如果集合A是集合B的真子集,那么集合A一定是集合B的子集,反之不成立.(3)任何集合都一定有子集,一个集合的真子集的个数比子集的个数少1.
微思考(1)子集定义中“任意一个元素”能否改为“某个或某些元素”?提示 不能.“A是B的子集”的定义中“集合A中的任意一个元素都是集合B的元素”,即对任意x∈A都能推出x∈B.注意“任意一个元素”而不是某个或某些元素.(2)符号“⊆”与符号“∈”有什么区别?提示 符号“⊆”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“∈”表示元素与集合之间的从属关系.
(3)集合A⫋B与集合A⊆B有什么区别?提示 A⊆B⇒A=B或A⫋B.因此若集合A是集合B的子集包含两个方面:A⫋B或A=B.(4)任何一个集合都有子集吗?任何一个集合都有真子集吗?提示 任何一个集合都有子集,但是并不是任何一个集合都有真子集,空集就没有真子集.
微练习(1)已知集合P={-1,0,1,2},Q={-1,0,1},则( )A.P∈Q B.P⊆Q C.Q⊆PD.Q∈P(2)已知集合A={x|-1
名师点析 对集合相等的理解 (1)A=B的图形表示如右:(2)集合A与集合B相等,就是集合A与集合B中的元素完全一致.(3)集合“A=B”可类比实数中的结论“若a≤b,且b≤a,则a=b”,即“若A⊆B,且B⊆A,则A=B”.(4)若A=B,则有A⊆B,且B⊆A.
微思考本书1.1中,我们是如何定义两个集合相等的?提示 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.微练习已知集合A={1,-m},B={1,m2},且A=B,则m的值为 . 答案 0解析 由A=B,得m2=-m,解得m=0或m=-1.当m=-1时不满足集合中元素的互异性,舍去.故m=0.
知识点三:空集一般地,我们把不含有任何元素的集合叫做空集,记为⌀,并规定:空集是任何集合的子集,即⌀⊆A.
微拓展有限集合的子集问题若有限非空集合A中含有n个元素,则有:(1)集合A的子集的个数为2n;(2)集合A的真子集的个数为2n-1;(3)集合A的非空子集的个数为2n-1;(4)集合A的非空真子集的个数为2n-2.例如,集合{1,2}的元素个数为2,其子集个数为22=4,子集分别为⌀,{1},{2},{1,2};真子集个数为22-1=3,真子集分别为⌀,{1},{2};非空子集个数为22-1=3,非空子集分别为{1},{2},{1,2};非空真子集个数为22-2=2,非空真子集分别为{1},{2}.
微思考(1){0},⌀,{⌀}之间有什么区别与联系?提示 {0}是含有一个元素0的集合,⌀是不含任何元素的集合,因此⌀⊆{0},而{⌀}是含有一个元素⌀的集合.(2)若A⊆B,能不能看成集合A是集合B中部分元素组成的集合?提示 不能.因为当A=⌀时,A⊆B,但A中不含任何元素;当A=B时,有A⊆B,但A中含有B中所有元素.(3)若一个集合只有一个子集,则这个集合有什么特征?提示 一个集合只有一个子集,则这个集合是空集.
知识点四:子集与真子集的性质由子集、真子集和空集的概念可得:(1)空集是任何集合的子集,⌀⊆A;(2)任何一个集合是它自身的子集,即A⊆A;(3)空集只有一个子集,即它自身;(4)对于集合A,B,C,由A⊆B,B⊆C可得A⊆C;(5)对于集合A,B,C,由A⫋B,B⫋C可得A⫋C.
微思考∈与⊆、a与{a}之间有什么区别?提示 (1)∈与⊆的区别:∈表示元素与集合之间的关系,因此,有 ∉Q等;⊆表示集合与集合之间的关系,因此,有Q⊆R,⌀⊆R等.(2)a与{a}的区别:一般地,a表示一个对象,而{a}表示由一个元素组成的集合(常称单元素集),a是集合{a}的一个元素.因此,有2∈{2},不能写成2={2}.
例1(1)(2020安徽合肥高一检测)集合A={x|0≤x<3,x∈N}的真子集的个数是( )A.16B.8C.7D.4(2)(2020浙江台州高一检测)已知集合A={x|x2+x=0,x∈R},则集合A= .若集合B满足{0}⫋B⊆A,则集合B= . (3)已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集.
(1)答案 C解析 (1)由已知得,A={0,1,2},此集合的真子集为⌀,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},共7个.(2)答案 {-1,0} {-1,0}解析 因为解方程x2+x=0,得x=-1或x=0,所以集合A={x|x2+x=0,x∈R}={-1,0},因为集合B满足{0}⫋B⊆A,所以集合B={-1,0}.(3)解 因为A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}.所以A的子集有⌀,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.
反思感悟 1.求集合的子集、真子集的步骤判断—根据子集、真子集的概念判断出集合中含有元素的可能情况↓分类—根据集合中元素的多少进行分类↓列举—采用列举法逐一写出每种情况的子集2.求元素个数有限的集合的子集两个关注点(1)要注意两个特殊的子集:⌀和自身;(2)按集合中含有元素的个数由少到多,分类一一写出,保证不重不漏.
变式训练1(1)若{1,2,3}⫋A⊆{1,2,3,4,5},则满足条件的集合A的个数为( )A.2B.3C.4D.5(2)已知集合A⫋{1,2,3},且A中至少含有一个奇数,则满足条件的集合A的个数为( )A.6B.5C.4D.3(3)设集合A={x∈Z|-1≤x+1≤6},求A的非空真子集的个数.
(1)答案 B解析 集合{1,2,3}是集合A的真子集,同时集合A又是集合{1,2,3,4,5}的子集,所以集合A只能取集合{1,2,3,4},{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5}.(2)答案 B解析 由题知,A⫋{1,2,3},且A中至少含有一个奇数,故集合A={1},{3},{1,2},{1,3},{2,3},共5个.(3)解 化简集合A,可得A={x∈Z|-2≤x≤5}.∵x∈Z,∴A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},即A中含有8个元素,∴A的非空真子集的个数
例2判断下列集合间的关系:(1)A={x|-1
(4)集合A表示直线y=x+1上点的纵坐标构成的集合,而集合B则表示直线y=x+1上点的坐标构成的集合,所以A≠B.
反思感悟 判断两个集合间的关系时,首先要明确集合的元素特征,分析集合的元素之间的关系.然后根据以下方法判断:(1)直接法:首先判断一个集合A中的任意一个元素是否属于另一个集合B,若是,则A⊆B,否则A不是B的子集.其次通过判断另一个集合B中的任意一个元素是否属于集合A来判断它们之间的真子集关系;(2)而对于不等式表示的数集,可在数轴上标出集合的元素,直观地进行判断,但要注意端点值的取舍;(3)对于用列举法表示的集合,只需要观察其元素即可知道它们之间的关系;(4)对于用描述法表示的集合,要从所含元素的特征来分析,若集合之间可以统一形式,则需要统一形式后判断.
变式训练2指出下列各对集合之间的关系:(1)A={-1,1},B={x∈Z|x2=1};(2)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形};(3)A={x|x是12的约数},B={x|x是36的约数}.解 (1)用列举法表示集合B={-1,1},故A=B.(2)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故A⫋B.(3)因为若x是12的约数,则必定是36的约数,反之不成立,所以A⫋B.
例3已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},且A=B,求实数x,y的值.分析根据A=B列出关于x,y的方程组进行求解.
反思感悟 根据集合相等求参数,首先分析一个集合中元素与另一集合中哪个元素相等,分几种情况进行讨论,然后通过列方程(组)求解.当集合中的未知元素不止一个时,情况会更复杂,需要多次讨论.求出参数后要根据集合中元素的互异性进行检验,排除不合要求的解.
延伸探究 若将本例已知条件改为“集合A={x,xy,x-y},集合B={0,|x|,y},且A=B”,求实数x,y的值.解 ∵0∈B,A=B,∴0∈A.又由集合中元素的互异性,可知|x|≠0,y≠0,∴x≠0,xy≠0,故x-y=0,即x=y.此时A={x,x2,0},B={0,|x|,x},∴x2=|x|,解得x=±1.当x=1时,x2=1,与集合中元素的互异性矛盾,∴x=-1,即x=y=-1.
例4已知集合A={x|-5
延伸探究 (1)例4(2)中,是否存在实数a,使得A⊆B?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,试说明理由.(2)若集合A={x|x<-5,或x>2},B={x|2a-3
解 (1)不存在.理由如下,因为A={x|-5
特别提醒 此类问题易错点有三个:①忽略A=⌀的情况,没有分类讨论;②在数轴上画两个集合时,没有分清实心点与空心圈;③没有弄清包含关系,以致没有正确地列出不等式或不等式组.(3)解决集合中含参问题时,最后结果要注意验证.验证是指:①分类讨论求得的参数的值,还需要代入原集合中看是否满足集合中元素的互异性.②所求参数能否取到端点值需要单独验证.
典例 已知集合A={x|1
2.已知集合A={1,2,5,6},B={5,x},若B⊆A,则x可以取的值为( )A.1,2B.1,6C.2,6D.1,2,6答案 D解析 由B⊆A和集合元素的互异性可知,x可以取的值为1,2,6.
3.(2021山西怀仁高一期中)下列关系中正确的是( )A.0∈⌀B.⌀⊆{0}C.{0,1}⊆{(0,1)}D.{(a,b)}={(b,a)}答案 B解析 对于A,0∈⌀,错误;对于B,⌀⊆{0},正确;对于C,{0,1}⊆{(0,1)},错误;对于D,{(a,b)}={(b,a)},错误.故选B.
4.(2021浙江嘉兴一中高一期中)设集合M={x|1
6.已知集合P={x|-2
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