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人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）导学案
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）导学案，共9页。
授课提示：对应学生用书第73页
[教材提炼]
知识点 函数模型
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2 KB，然后每3分自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍．那么开机后多少分，该病毒会占据64 MB内存(1 MB＝1 024 KB)？
知识梳理 (1)指数型函数模型：y＝a·bx＋c(a，b，c为常数，b>0且b≠1，a≠0)．
(2)对数型函数模型：y＝algbx＋c(a，b，c为常数，b>0且b≠1，a≠0)．
(3)用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：
[自主检测]
1．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系式是( )
A．y＝2x B．y＝2x－1
C．y＝2x D．y＝2x＋1
答案：D
2．某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林( )
A．14 400亩 B．172 800亩
C．17 280亩 D．20 736亩
答案：C
3．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________．
解析：∵y＝a·0.5x＋b，且当x＝1时，y＝1，当x＝2时y＝1.5，则有：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝a×0.5＋b，1.5＝a×0.52＋b，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，b＝2，))
∴y＝－2×0.5x＋2，
当x＝3时，
y＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)．
答案：1.75万件
4．某地2004年年底人口为500万，人均住房面积为6平方米，若该地区的人口年平均增长率为1%，要使2015年年底该地区人均住房面积至少为7平方米，平均每年新增住房面积至少为________万平方米(精确到1万平方米，参考数据：1.019≈1.093 7,1.0110≈1.104 6，1.0111≈1.115 7)．
解析：设平均每年新增住房面积为x万平方米，则有eq \f(500×6＋11x,5001＋1%11)≥7，解得x≥82.26≈82.
答案：82
授课提示：对应学生用书第73页
探究一 利用已知函数模型求解实际问题
[例1] 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5lg2eq \f(Q,10)(单位：m/s)，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
[解析] (1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题中的函数关系式，可得0＝5lg2eq \f(Q,10)，解得Q＝10.
即燕子静止时的耗氧量是10个单位．
(2)将耗氧量Q＝80代入题中给出的函数关系式，得
v＝5lg2eq \f(80,10)＝5lg28＝15.
即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.
对数函数应用题中的基本类型和求解策略
(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数解析式，然后根据实际问题再求解．
(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．
设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系式是y＝cekx，其中c，k为常量，已知某地某天海平面上的大气压为1.01×105 Pa,1 000 m高空的大气压为0.90×105 Pa，求600 m高空的大气压强(结果保留3位有效数字)．
解析：将x＝0，y＝1.01×105；x＝1 000，y＝0.90×105分别代入函数关系式y＝cekx中，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1.01×105＝cek·0，0.90×105＝ce1 000k，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝1.01×105，0.90×105＝ce1 000k.))
将c＝1.01×105代入0.90×105＝ce1 000k中得0.90×105＝1.01×105e1 000k，
∴k＝eq \f(1,1 000)×lneq \f(0.90,1.01).由计算器算得k＝－1.15×10－4，
∴y＝1.01×105×e－1.15×10－4x.
将x＝600代入上述函数关系式得y＝1.01×105×e－1.15×10－4×600，
由计算器算得y＝0.943×105 Pa.
答：600 m高空的大气压强约为0.943×105 Pa.
探究二 自建函数模型解决实际问题
[例2] 电声器材厂在生产扬声器的过程中，有一道重要的工序：使用AB胶粘合扬声器中的磁钢与夹板．长期以来，由于对AB胶的用量没有一个确定的标准，经常出现用胶过多，胶水外溢或用胶过少，产生脱胶，影响了产品的质量．经过实验，已有一些恰当用胶量的具体数据如下表：
现在请提出一个既科学又简便的方法来确定磁钢面积与用胶量的关系．
[解析] 我们取磁钢面积x为横坐标、用胶量y为纵坐标，建立直角坐标系．根据表中数据在直角坐标系中描点，得出如图所示的图形．
从图中我们清楚地看到这些点基本上分布在一条直线附近．画出这条直线，使图上的点比较均匀地分布在直线两侧．用函数y＝ax＋b表示用胶量与磁钢面积的关系．
取点(56.6,0.812)、(189.0,2.86)，将它们的坐标代入
y＝ax＋b中，得方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0.812＝56.6a＋b，2.86＝189.0a＋b.))
解得a＝0.015 47，b＝－0.063 50.
这条直线是y＝0.015 47x－0.063 50.
对于这类应用题，首先找出适当的函数关系式，再验证并结合实际问题做出回答．函数拟合的一般步骤：
(1)由原始数据，画出散点图．
(2)通过散点图，找出最贴近实际的直线或曲线．
(3)根据所学知识，求出拟合直线或曲线的解析式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测，为决策和管理提供依据.
目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．
(参考数据：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)15≈1.196，(1＋1.2%)16≈1.210)
解析：(1)当x＝1时，y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；
当x＝2时，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；
当x＝3时，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3；
……
故y关于x的函数解析式为y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)．
(2)当x＝10时，y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7.故10年后该县约112.7万人．
(3)设x年后该县的人口总数为120万，即100×(1＋1.2%)x＝120，解得x＝lg1.012eq \f(120,100)≈15.3.
因为x为年份，根据实际意义知，大约16年后该县的人口总数将达到120万．
探究三 函数的建模与拟合
[例3] 某蔬菜基地种植青瓜，由历年市场行情得知，从4月1日起的300天内，青瓜的种植成本Q(万元)与上市时间t(天)的关系如表所示：
模拟函数可以选用二次函数Q＝a(t－150)2＋b(a，b为常数，且a≠0)，或一次函数Q＝kt＋m(k，m为常数，且k≠0)．已知种植成本Q＝112.5万元时，上市时间t＝200天，则用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．
[解析] 设f(t)＝a(t－150)2＋b(其中a，b为常数，a≠0)，g(t)＝kt＋m(k≠0)．
由已知，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f50＝150，,f150＝100，))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(g50＝150，,g150＝100.))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a50－1502＋b＝150，,a150－1502＋b＝100，))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(50k＋m＝150，,150k＋m＝100.))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,200)，,b＝100，))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝－\f(1,2)，,m＝175.))
所以f(t)＝eq \f(1,200)(t－150)2＋100，g(t)＝－eq \f(1,2)t＋175.
因为f(200)＝eq \f(1,200)×(200－150)2＋100＝112.5，
g(200)＝－eq \f(1,2)×200＋175＝75，
所以选用f(t)＝eq \f(1,200)(t－150)2＋100作为模拟函数较好．
有些函数模型是不确定的，需要去探索尝试，找到最适合的模型．此类题的解题过程一般有如下五步：
(1)作图：根据已知数据，画出散点图；
(2)选择函数模型：一般是根据散点图的特征，联想哪些函数具有类似图象特征，找几个比较接近的函数模型尝试；
(3)求出函数模型：求出(2)中找到的几个函数模型的解析式；
(4)检验：将(3)中求出的几个函数模型进行比较、验证，得出最合适的函数模型；
(5)利用所求出的函数模型解决问题．
18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位)如下表所示：
他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了一颗谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置．在土星外面的是什么星？它与太阳的距离大约是多少？
解析：根据散点图(如图)，知宜采用指数函数作模型．
设f(x)＝a·bx＋c，
代入前三个数据可得a＝eq \f(3,20)，b＝2，c＝eq \f(2,5).
所以f(x)＝eq \f(3,20)×2x＋eq \f(2,5)，把x＝5和6代入检验，得f(5)＝eq \f(26,5)＝5.2，f(6)＝10，刚好符合，所以f(4)＝2.8，f(7)＝19.6.谷神星在离太阳的平均距离为2.8天文单位的位置．实际上后来在离太阳19.2天文单位处发现了天王星，与19.6非常接近，提丢斯创造了一个天文史上的传奇．
授课提示：对应学生用书第75页
数学建模的实施与过程
用函数构建数学模型解决实际问题时，首先要对实际问题中的变化过程进行分析，析出其中的常量、变量及其相互关系；明确其运动变化的基本特征，从而确定它的运动变化类型．然后根据分析结果，选择适当的函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；再通过运算、推理，求解函数模型．最后利用函数模型的解说明实际问题的变化规律，达到解决问题的目的．在构建函数模型时，经常会遇到没有现成数据可用的情况，这时就需要先收集数据．
1．观察实际情景，发现和提出问题
中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感．那么在25 ℃室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？
2．收集数据
所用工具：秒表、温度计(或计算机、数据采集器、温度传感器等)
收集茶水温度随时间的变化数据．
每隔1 min测量一次茶水温度，得到表1的一组数据．
表1
3.分析数据
画散点图
设茶水温度从85 ℃开始，经过x min后的温度为y ℃.根据表1，画散点图(图1)．
图1
想象函数
观察散点图的分布状况，并考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，可选择函数y＝kax＋25(k∈R,0＜a＜1，x≥0)来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律．
4．建立模型
根据实际情况可知，当x＝0时，y＝85，可得k＝60.
为了求出温度的衰减比例a，可从第2 min的温度数据开始，计算每分(y－25)的值与上一分(y－25)值的比值，列出表2.
表2
计算各比值的平均值，得
a＝eq \f(1,5)×(0.903 2＋0.918 1＋0.928 4＋0.935 1＋0.928 5)＝0.922 7.
我们把这个平均值作为衰减比例，就得到一个函数模型
y＝60×0.922 7x＋25(x≥0)．①
5．检验模型
将已知数据代入①式，或画出函数①的图象(图2)，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，这说明它能较好地反映茶水温度随时间的变化规律．
图2
6．求解问题
将y＝60代入y＝60×0.922 7x＋25，得
60×0.922 7x＋25＝60.
解得
x＝lg0.922 7eq \f(7,12).
由信息技术得
x≈6.699 7.
所以，泡制一杯最佳口感茶水所需时间大约是7 min.
7．撰写研究报告
________年________班完成时间：
内 容 标 准
学 科 素 养
1.了解函数模型的广泛应用．
数学建模
数据分析
2.收集并能解决指数函数、对数函数等常见的函数模型，了解数学建模的过程.
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
磁钢面积/cm2
11.0
19.4
26.2
46.6
56.6
67.2
125.2
189.0
247.1
443.4
用胶量/g
0.164
0.396
0.404
0.664
0.812
0.972
1.688
2.86
4.076
7.332
种植成本Q(万元)
150
100
上市时间t(天)
50
150
行星
1(金星)
2(地球)
3(火星)
4( )
5(木星)
6(土星)
7( )
距离
0.7
1.0
1.6
5.2
10.0
时间/min
0
1
2
3
4
5
水温/℃
85.00
79.19
74.75
71.19
68.19
65.10
x
0
1
2
3
4
5
y－25
60.00
54.19
49.75
46.19
43.19
40.10
比值
0.903 2
0.918 1
0.928 4
0.935 1
0.928 5
1.课题名称
2.课题组成员及分工
3.选题的意义
4.研究计划(包括对选题的分析，解决问题的思路等)
5.研究过程(收集数据、分析数据、建立模型、求解模型的过程，以及过程中出现的难点及解决方案等)
6.研究结果
7.收获与体会
8.对此研究的评价(由评价小组或老师填写)
授课提示：对应学生用书第73页
[教材提炼]
知识点 函数模型
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2 KB，然后每3分自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍．那么开机后多少分，该病毒会占据64 MB内存(1 MB＝1 024 KB)？
知识梳理 (1)指数型函数模型：y＝a·bx＋c(a，b，c为常数，b>0且b≠1，a≠0)．
(2)对数型函数模型：y＝algbx＋c(a，b，c为常数，b>0且b≠1，a≠0)．
(3)用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：
[自主检测]
1．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系式是( )
A．y＝2x B．y＝2x－1
C．y＝2x D．y＝2x＋1
答案：D
2．某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林( )
A．14 400亩 B．172 800亩
C．17 280亩 D．20 736亩
答案：C
3．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________．
解析：∵y＝a·0.5x＋b，且当x＝1时，y＝1，当x＝2时y＝1.5，则有：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝a×0.5＋b，1.5＝a×0.52＋b，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，b＝2，))
∴y＝－2×0.5x＋2，
当x＝3时，
y＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)．
答案：1.75万件
4．某地2004年年底人口为500万，人均住房面积为6平方米，若该地区的人口年平均增长率为1%，要使2015年年底该地区人均住房面积至少为7平方米，平均每年新增住房面积至少为________万平方米(精确到1万平方米，参考数据：1.019≈1.093 7,1.0110≈1.104 6，1.0111≈1.115 7)．
解析：设平均每年新增住房面积为x万平方米，则有eq \f(500×6＋11x,5001＋1%11)≥7，解得x≥82.26≈82.
答案：82
授课提示：对应学生用书第73页
探究一 利用已知函数模型求解实际问题
[例1] 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5lg2eq \f(Q,10)(单位：m/s)，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
[解析] (1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题中的函数关系式，可得0＝5lg2eq \f(Q,10)，解得Q＝10.
即燕子静止时的耗氧量是10个单位．
(2)将耗氧量Q＝80代入题中给出的函数关系式，得
v＝5lg2eq \f(80,10)＝5lg28＝15.
即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.
对数函数应用题中的基本类型和求解策略
(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数解析式，然后根据实际问题再求解．
(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．
设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系式是y＝cekx，其中c，k为常量，已知某地某天海平面上的大气压为1.01×105 Pa,1 000 m高空的大气压为0.90×105 Pa，求600 m高空的大气压强(结果保留3位有效数字)．
解析：将x＝0，y＝1.01×105；x＝1 000，y＝0.90×105分别代入函数关系式y＝cekx中，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1.01×105＝cek·0，0.90×105＝ce1 000k，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝1.01×105，0.90×105＝ce1 000k.))
将c＝1.01×105代入0.90×105＝ce1 000k中得0.90×105＝1.01×105e1 000k，
∴k＝eq \f(1,1 000)×lneq \f(0.90,1.01).由计算器算得k＝－1.15×10－4，
∴y＝1.01×105×e－1.15×10－4x.
将x＝600代入上述函数关系式得y＝1.01×105×e－1.15×10－4×600，
由计算器算得y＝0.943×105 Pa.
答：600 m高空的大气压强约为0.943×105 Pa.
探究二 自建函数模型解决实际问题
[例2] 电声器材厂在生产扬声器的过程中，有一道重要的工序：使用AB胶粘合扬声器中的磁钢与夹板．长期以来，由于对AB胶的用量没有一个确定的标准，经常出现用胶过多，胶水外溢或用胶过少，产生脱胶，影响了产品的质量．经过实验，已有一些恰当用胶量的具体数据如下表：
现在请提出一个既科学又简便的方法来确定磁钢面积与用胶量的关系．
[解析] 我们取磁钢面积x为横坐标、用胶量y为纵坐标，建立直角坐标系．根据表中数据在直角坐标系中描点，得出如图所示的图形．
从图中我们清楚地看到这些点基本上分布在一条直线附近．画出这条直线，使图上的点比较均匀地分布在直线两侧．用函数y＝ax＋b表示用胶量与磁钢面积的关系．
取点(56.6,0.812)、(189.0,2.86)，将它们的坐标代入
y＝ax＋b中，得方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0.812＝56.6a＋b，2.86＝189.0a＋b.))
解得a＝0.015 47，b＝－0.063 50.
这条直线是y＝0.015 47x－0.063 50.
对于这类应用题，首先找出适当的函数关系式，再验证并结合实际问题做出回答．函数拟合的一般步骤：
(1)由原始数据，画出散点图．
(2)通过散点图，找出最贴近实际的直线或曲线．
(3)根据所学知识，求出拟合直线或曲线的解析式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测，为决策和管理提供依据.
目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．
(参考数据：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)15≈1.196，(1＋1.2%)16≈1.210)
解析：(1)当x＝1时，y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；
当x＝2时，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；
当x＝3时，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3；
……
故y关于x的函数解析式为y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)．
(2)当x＝10时，y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7.故10年后该县约112.7万人．
(3)设x年后该县的人口总数为120万，即100×(1＋1.2%)x＝120，解得x＝lg1.012eq \f(120,100)≈15.3.
因为x为年份，根据实际意义知，大约16年后该县的人口总数将达到120万．
探究三 函数的建模与拟合
[例3] 某蔬菜基地种植青瓜，由历年市场行情得知，从4月1日起的300天内，青瓜的种植成本Q(万元)与上市时间t(天)的关系如表所示：
模拟函数可以选用二次函数Q＝a(t－150)2＋b(a，b为常数，且a≠0)，或一次函数Q＝kt＋m(k，m为常数，且k≠0)．已知种植成本Q＝112.5万元时，上市时间t＝200天，则用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．
[解析] 设f(t)＝a(t－150)2＋b(其中a，b为常数，a≠0)，g(t)＝kt＋m(k≠0)．
由已知，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f50＝150，,f150＝100，))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(g50＝150，,g150＝100.))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a50－1502＋b＝150，,a150－1502＋b＝100，))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(50k＋m＝150，,150k＋m＝100.))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,200)，,b＝100，))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝－\f(1,2)，,m＝175.))
所以f(t)＝eq \f(1,200)(t－150)2＋100，g(t)＝－eq \f(1,2)t＋175.
因为f(200)＝eq \f(1,200)×(200－150)2＋100＝112.5，
g(200)＝－eq \f(1,2)×200＋175＝75，
所以选用f(t)＝eq \f(1,200)(t－150)2＋100作为模拟函数较好．
有些函数模型是不确定的，需要去探索尝试，找到最适合的模型．此类题的解题过程一般有如下五步：
(1)作图：根据已知数据，画出散点图；
(2)选择函数模型：一般是根据散点图的特征，联想哪些函数具有类似图象特征，找几个比较接近的函数模型尝试；
(3)求出函数模型：求出(2)中找到的几个函数模型的解析式；
(4)检验：将(3)中求出的几个函数模型进行比较、验证，得出最合适的函数模型；
(5)利用所求出的函数模型解决问题．
18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位)如下表所示：
他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了一颗谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置．在土星外面的是什么星？它与太阳的距离大约是多少？
解析：根据散点图(如图)，知宜采用指数函数作模型．
设f(x)＝a·bx＋c，
代入前三个数据可得a＝eq \f(3,20)，b＝2，c＝eq \f(2,5).
所以f(x)＝eq \f(3,20)×2x＋eq \f(2,5)，把x＝5和6代入检验，得f(5)＝eq \f(26,5)＝5.2，f(6)＝10，刚好符合，所以f(4)＝2.8，f(7)＝19.6.谷神星在离太阳的平均距离为2.8天文单位的位置．实际上后来在离太阳19.2天文单位处发现了天王星，与19.6非常接近，提丢斯创造了一个天文史上的传奇．
授课提示：对应学生用书第75页
数学建模的实施与过程
用函数构建数学模型解决实际问题时，首先要对实际问题中的变化过程进行分析，析出其中的常量、变量及其相互关系；明确其运动变化的基本特征，从而确定它的运动变化类型．然后根据分析结果，选择适当的函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；再通过运算、推理，求解函数模型．最后利用函数模型的解说明实际问题的变化规律，达到解决问题的目的．在构建函数模型时，经常会遇到没有现成数据可用的情况，这时就需要先收集数据．
1．观察实际情景，发现和提出问题
中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感．那么在25 ℃室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？
2．收集数据
所用工具：秒表、温度计(或计算机、数据采集器、温度传感器等)
收集茶水温度随时间的变化数据．
每隔1 min测量一次茶水温度，得到表1的一组数据．
表1
3.分析数据
画散点图
设茶水温度从85 ℃开始，经过x min后的温度为y ℃.根据表1，画散点图(图1)．
图1
想象函数
观察散点图的分布状况，并考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，可选择函数y＝kax＋25(k∈R,0＜a＜1，x≥0)来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律．
4．建立模型
根据实际情况可知，当x＝0时，y＝85，可得k＝60.
为了求出温度的衰减比例a，可从第2 min的温度数据开始，计算每分(y－25)的值与上一分(y－25)值的比值，列出表2.
表2
计算各比值的平均值，得
a＝eq \f(1,5)×(0.903 2＋0.918 1＋0.928 4＋0.935 1＋0.928 5)＝0.922 7.
我们把这个平均值作为衰减比例，就得到一个函数模型
y＝60×0.922 7x＋25(x≥0)．①
5．检验模型
将已知数据代入①式，或画出函数①的图象(图2)，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，这说明它能较好地反映茶水温度随时间的变化规律．
图2
6．求解问题
将y＝60代入y＝60×0.922 7x＋25，得
60×0.922 7x＋25＝60.
解得
x＝lg0.922 7eq \f(7,12).
由信息技术得
x≈6.699 7.
所以，泡制一杯最佳口感茶水所需时间大约是7 min.
7．撰写研究报告
________年________班完成时间：
内 容 标 准
学 科 素 养
1.了解函数模型的广泛应用．
数学建模
数据分析
2.收集并能解决指数函数、对数函数等常见的函数模型，了解数学建模的过程.
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
磁钢面积/cm2
11.0
19.4
26.2
46.6
56.6
67.2
125.2
189.0
247.1
443.4
用胶量/g
0.164
0.396
0.404
0.664
0.812
0.972
1.688
2.86
4.076
7.332
种植成本Q(万元)
150
100
上市时间t(天)
50
150
行星
1(金星)
2(地球)
3(火星)
4( )
5(木星)
6(土星)
7( )
距离
0.7
1.0
1.6
5.2
10.0
时间/min
0
1
2
3
4
5
水温/℃
85.00
79.19
74.75
71.19
68.19
65.10
x
0
1
2
3
4
5
y－25
60.00
54.19
49.75
46.19
43.19
40.10
比值
0.903 2
0.918 1
0.928 4
0.935 1
0.928 5
1.课题名称
2.课题组成员及分工
3.选题的意义
4.研究计划(包括对选题的分析，解决问题的思路等)
5.研究过程(收集数据、分析数据、建立模型、求解模型的过程，以及过程中出现的难点及解决方案等)
6.研究结果
7.收获与体会
8.对此研究的评价(由评价小组或老师填写)
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