数学人教A版 (2019)第五章 三角函数5.5 三角恒等变换第3课时学案设计

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授课提示：对应学生用书第107页
[教材提炼]
知识点 倍角公式
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
利用Cα＋β、Sα＋β、Tα＋β，令α＝β可推出什么公式？
知识梳理
[自主检测]
1.eq \f(1,2)－cs2eq \f(π,8)的值等于( )
A．－eq \f(\r(2),4) B.eq \f(\r(2),4)
C.eq \f(\r(2),2) D．－eq \f(\r(2),2)
答案：A
2．已知cs x＝eq \f(3,5)，则cs 2x等于( )
A.eq \f(7,25) B．－eq \f(7,25)
C.eq \f(24,25) D．－eq \f(24,25)
答案：B
3．1－2sin2750°＝________.
答案：eq \f(1,2)
4.eq \f(2tan 150°,1－tan2150°)＝________.
答案：－eq \r(3)
授课提示：对应学生用书第108页
探究一 给角求值
[例1] 求下列各式的值：
(1)eq \f(1,sin 10°)－eq \f(\r(3),cs 10°)；(2)cs 20°cs 40°cs 80°.
[解析] (1)原式＝eq \f(cs 10°－\r(3)sin 10°,sin 10°cs 10°)
＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 10°－\f(\r(3),2)sin 10°)),sin 10°cs 10°)
＝eq \f(4sin 30°cs 10°－cs 30°sin 10°,2sin 10°cs 10°)
＝eq \f(4sin 20°,sin 20°)＝4.
(2)原式＝eq \f(2sin 20°·cs 20°·cs 40°·cs 80°,2sin 20°)
＝eq \f(2sin 40°·cs 40°·cs 80°,4sin 20°)
＝eq \f(2sin 80°·cs 80°,8sin 20°)
＝eq \f(sin 160°,8sin 20°)＝eq \f(1,8).
1．同角三角函数关系式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等都可应用于三角函数式的化简．在应用时，应找到化简思路后再动手化简．
2．注意观察式子的特点及角之间的特殊关系，灵活运用二倍角公式解题，通过观察角度的关系，发现其特征(二倍角形式)，创造条件正用或者逆用二倍角公式，使问题得以解决．
计算eq \f(\r(3)tan 12°－3,4cs212°－2sin 12°)＝________.
解析：原式＝eq \f(\f(\r(3)sin 12°,cs 12°)－3,22cs2 12°－1sin 12°)
＝eq \f(2\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin 12°－\f(\r(3),2)cs 12°)),cs 12°2cs 24°sin 12°)
＝eq \f(2\r(3)sin－48°,2cs 24°sin 12°cs 12°)
＝eq \f(－2\r(3)sin 48°,sin 24°cs 24°)＝eq \f(－2\r(3)sin 48°,\f(1,2)sin 48°)＝－4eq \r(3).
答案：－4eq \r(3)
探究二 给值求值
[例2] (1)设α为锐角，若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,12)))的值为________．
(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(5,13)，0[解析] (1)∵α为锐角，
∴α＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3))).
又∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(3,5)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(24,25)，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－1＝eq \f(7,25)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,12)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))－\f(π,4)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))cs eq \f(π,4)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))sin eq \f(π,4)
＝eq \f(24,25)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(7,25)×eq \f(\r(2),2)
＝eq \f(17\r(2),50).
(2)∵0又∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(5,13)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(12,13).
∵cs 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))
＝2cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))
＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))，
∴eq \f(cs 2x,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)))＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(24,13).
[答案] (1)eq \f(17\r(2),50) (2)eq \f(24,13)
(1)条件求值问题常有两种解题途径：
①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．
(2)一个重要结论：(sin θ±cs θ)2＝1±sin 2θ.
(1)已知tan α＝2，则tan 2α＝________；
(2)已知0<α解析：(1)∵tan α＝2，
∴tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(2×2,1－22)＝－eq \f(4,3).
(2)∵0<α∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(1,3)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(2\r(2),3).
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))))
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝2×eq \f(2\r(2),3)×eq \f(1,3)＝eq \f(4\r(2),9).
答案：(1)－eq \f(4,3) (2)eq \f(4\r(2),9)
探究三 利用二倍角公式化简证明
[例3] 求证：tan2x＋eq \f(1,tan2x)＝eq \f(23＋cs 4x,1－cs 4x).
[证明] 法一：(切化弦)∵左边＝eq \f(sin2x,cs2x)＋eq \f(cs2x,sin2x)
＝eq \f(sin4x＋cs4x,sin2xcs2x)＝eq \f(sin2x＋cs2x2－2sin2xcs2x,sin2xcs2x)
＝eq \f(1－2sin2xcs2x,sin2xcs2x)＝eq \f(1－\f(1,2)sin22x,\f(1,4)sin22x)
＝eq \f(1－\f(1,2)·\f(1－cs 4x,2),\f(1,8)1－cs 4x)＝eq \f(23＋cs 4x,1－cs 4x)＝右边，
∴等式成立．
法二：(弦化切)∵右边＝eq \f(22＋1＋cs 4x,2sin22x)
＝eq \f(22＋2cs22x,2sin22x)＝eq \f(21＋cs22x,4sin2xcs2x)
＝eq \f(1＋cs2x－sin2x2,2sin2xcs2x)
＝eq \f(sin2x＋cs2x2＋cs2x－sin2x2,2sin2xcs2x)
＝eq \f(2sin4x＋cs4x,2sin2xcs2x)＝tan2x＋eq \f(1,tan2x)＝左边，∴等式成立．
证明三角恒等式常用方法
从左边推到右边；
从右边推到左边；
找中间量，常用技巧：切化弦，降次消元，拆项拆角，“1”的代换以及公式变形等．指导思想是统一三角函数名称，统一为相同的角．
求证：eq \f(1＋sin 4α－cs 4α,1＋sin 4α＋cs 4α)＝tan 2α.
证明：法一：左边＝eq \f(1－cs 4α＋sin 4α,1＋cs 4α＋sin 4α)
＝eq \f(2sin22α＋2sin 2αcs 2α,2cs22α＋2sin 2αcs 2α)
＝eq \f(2sin 2αsin 2α＋cs 2α,2cs 2αsin 2α＋cs 2α)＝tan 2α＝右边．
法二：左边＝eq \f(1＋sin 4α－1－2sin22α,1＋sin 4α＋2cs22α－1)
＝eq \f(2sin 2αcs 2α＋2sin22α,2sin 2αcs 2α＋2cs22α)
＝eq \f(2sin 2αsin 2α＋cs 2α,2cs 2αsin 2α＋cs 2α)＝tan 2α＝右边．
授课提示：对应学生用书第108页
一、二倍角公式的使用技巧
1．正用：从条件出发，顺着问题的线索，以“展开”公式的方式使用．
2．逆用：逆向转换，应用时要求对公式特点有一个整体感知．
主要形式有2sin αcs α＝sin 2α，sin αcs α＝eq \f(1,2)sin 2α，cs2α－sin2α＝cs 2α，eq \f(2tan α,1－tan2α)＝tan 2α等．
3．变形用：将公式进行简单等价变形后，利用其新形式．主要形式有1＋cs 2α＝2cs2α，1－cs 2α＝2sin2α，cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2).
4．三角函数式的化简要注意“三变”：
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等．
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，其手法通常有：“常值代换”“逆用变用公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等．
[典例] 已知α∈(0，π)，化简：
eq \f(1＋sin α＋cs α·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)－sin\f(α,2))),\r(2＋2cs α))＝________.
[解析] 原式
＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs2\f(α,2)＋2sin\f(α,2)cs\f(α,2)))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)－sin\f(α,2))),\r(4cs2\f(α,2))).
因为α∈(0，π)，所以cseq \f(α,2)＞0，
所以原式
＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs2\f(α,2)＋2sin\f(α,2)cs\f(α,2)))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)－sin\f(α,2))),2cs\f(α,2))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)＋sin\f(α,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)－sin\f(α,2)))
＝cs2eq \f(α,2)－sin2eq \f(α,2)＝cs α.
[答案] cs α
二、忽略角的范围致错
[典例] 化简 eq \r(2－\r(2＋\r(2＋2cs α)))(3π＜α＜4π)．
[解析] 原式＝eq \r(2－\r(2＋\r(4cs2\f(α,2))))(eq \f(3,2)π＜eq \f(α,2)＜2π)
＝ eq \r(2－\r(2＋2cs\f(α,2)))
＝ eq \r(2－\r(4cs2\f(α,4)))(eq \f(3,4)π＜eq \f(α,4)＜π)
＝ eq \r(2＋2cs\f(α,4))
＝ eq \r(4cs2\f(α,8))(eq \f(3,8)π＜eq \f(α,8)＜eq \f(π,2))
＝2cseq \f(α,8).
纠错心得 此题易错于运用倍角公式从里到外去掉根号时，没有顾及角的范围而选择正、负号，只是机械地套用公式．
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程．
逻辑推理
数学运算
2.能够灵活运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行化简、求值、证明.
名称
公式
记法
二倍角的正弦
sin 2α＝2sin_αcs_α
S2α
二倍角的余弦
cs 2α＝cs2α－sin2α＝1－2sin2α＝2cs2α－1
C2α
二倍角的正切
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)
T2α