人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.2 指数函数第2课时导学案及答案

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类型1 利用指数函数的单调性比较大小
【例1】 (对接教材P117例题)比较下列各组数的大小：
(1)1.52.5和1.53.2；
(2)0.6－1.2和0.6－1.5；
(3)1.70.2和0.92.1；
(4)a1.1与a0.3(a>0且a≠1)．
[解] (1)1.52.5,1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<
(2)0.6－1.2,0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，
因为函数y＝0.6x在R上是减函数，且－1.2>－1.5，
所以0.6－1.2<0.6－1.5.
(3)由指数函数性质得，1.70.2>1.70＝1,0.92.1<0.90＝1，
所以1.70.2>
(4)当a>1时，y＝ax在R上是增函数，故a1.1>a0.3；
当0比较幂大小的方法
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断．
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断．
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间量来判断．
(4)当底数含参数时，要按底数a>1和0eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．比较下列各值的大小：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))，2，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))3，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))).
[解] 先根据幂的特征，将这4个数分类：
(1)负数：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))3；(2)大于1的数：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))，2；(3)大于0且小于1的数：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))).
(2)中，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))<2<2 (也可在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))x，y＝2x的图象，再分别取x＝eq \f(1,3)，x＝eq \f(2,3)，比较对应函数值的大小，如图)，
故有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))3 类型2 利用指数函数的单调性解不等式
【例2】 (1)解不等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3x－1≤2；
(2)已知ax2－3x＋10，a≠1)，求x的取值范围．
[解] (1)∵2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－1，∴原不等式可以转化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3x－1≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－1.
∵y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x在R上是减函数，
∴3x－1≥－1，∴x≥0，
故原不等式的解集是{x|x≥0}．
(2)分情况讨论：
①当00，a≠1)在R上是减函数，
∴x2－3x＋1>x＋6，
∴x2－4x－5>0，
根据相应二次函数的图象可得x<－1或x>5；
②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函数，
∴x2－3x＋1∴x2－4x－5<0，
根据相应二次函数的图象可得－1综上所述，当05；当a>1时，－1指数型不等式的解法
(1)指数型不等式af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的解法：
当a>1时，f(x)>g(x)；
当0(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a>0，且a≠1)，a－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))x(a>0，且a≠1)等．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2．求解下列不等式：
(1)已知3x≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－0.5，求实数x的取值范围；
(2)若a－5x>ax＋7(a>0且a≠1)，求x的取值范围．
[解] (1)因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－0.5＝30.5，所以由3x≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－0.5可得：3x≥30.5，因为y＝3x为增函数，故x≥0.5.
(2)①当0ax＋7可得－5x－eq \f(7,6).
②当a>1时，函数y＝ax是增函数，则由a－5x>ax＋7可得－5x>x＋7，解得x<－eq \f(7,6).
综上，当0－eq \f(7,6)；当a>1时，x<－eq \f(7,6).
类型3 指数型函数的单调性及应用
【例3】 判断f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x2－2x的单调性．
如果令u＝x2－2x，试分别写出y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))u及u＝x2－2x的单调区间，并思考y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x2－2x的单调性同y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))u及u＝x2－2x单调性存在怎样的关系．
[解] 令u＝x2－2x，则原函数变为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))u.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))u在(－∞，＋∞)上递减，
∴y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x2－2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．
1．把本例的函数改为“f(x)＝2－x2＋2x”，求其单调区间．
[解] 函数y＝2－x2＋2x的定义域是R.
令u＝－x2＋2x，则y＝2u.
当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，
所以函数y＝2－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数．
当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在[1，＋∞)上是减函数．
综上，函数y＝2－x2＋2x的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]．
2．本例函数不变，求f(x)的值域．
[解] 法一：∵f(x)在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减，
∴f(x)max＝f(1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))1－2＝3.
又f(x)>0，
∴f(x)的值域为(0,3]．
法二：∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))u，u∈[－1，＋∞)，
∴0∴原函数的值域为(0,3]．
函数y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧
(1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数是a>1还是0(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3．求下列函数的单调区间：
(1)y＝a－x2＋3x＋2(a>1)；(2)y＝2|x－1|.
[解] (1)设u＝－x2＋3x＋2＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋eq \f(17,4)，易知u在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2)))上是增函数，在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))上是减函数，
∴a>1时，y＝au在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2)))上是增函数，在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))上是减函数．
故函数y＝a－x2＋3x＋2(a＞1)增区间为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2)))，减区间为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)).
(2)当x∈[1，＋∞)时，函数y＝2x－1，因为t＝x－1为增函数，y＝2t为增函数，
∴y＝2x－1在[1，＋∞)上为增函数；
当x∈(－∞，1)时，函数y＝21－x.
而t＝1－x为减函数，y＝2t为增函数，
∴y＝21－x为减函数．
故函数y＝2|x－1|在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数．
1．若2x＋1<1，则x的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(0,1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)
D [∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数，
∴x＋1<0，∴x<－1.]
2．下列判断正确的是( )
A．1.72.5＞1.73B．0.82＜0.83
C．π2＜πD．0.90.3＞0.90.5
D [∵y＝0.9x在定义域上是减函数，0.3＜0.5，∴0.90.3＞]
3．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x(x≥8)的值域是( )
A．RB．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,256)))
C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,256)))D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,256)，＋∞))
B [因为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x在[8，＋∞)上单调递减，所以04．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1－x的单调递增区间为( )
A．(－∞，＋∞)B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞)D．(0,1)
A [由已知得，y＝f(x)的定义域为R.
设u＝1－x，
则y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))u.
因为u＝1－x在R上为减函数，
又因为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))u在(－∞，＋∞)上为减函数，
所以y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1－x在(－∞，＋∞)上为增函数，
所以选A.]
5．函数y＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x)的定义域是________．
[0，＋∞) [由1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x≥0得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x≤1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0，
∴x≥0，
∴函数y＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x)的定义域为[0，＋∞)．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如何比较两个指数式值的大小？
[提示] 比较两个指数式值的大小的主要方法
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn.
2．函数y＝af(x)的单调性同y＝f(x)的单调性存在怎样的对应关系？
[提示] 当a>1时，y＝af(x)与f(x)单调性相同；
当0即“同增异减”．
3．如何求函数y＝af(x)的值域？
[提示] 函数y＝af(x)的值域的求解方法如下：
(1)换元，令t＝f(x)；
(2)求t＝f(x)的定义域x∈D；
(3)求t＝f(x)的值域t∈M；
(4)利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
学 习 任 务
核 心 素 养
1．掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式．(重点)
2．通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题．(难点)
借助指数函数的性质及应用，培养逻辑推理和数学运算素养.