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人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）学案设计
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）学案设计，共8页。
兔子是一种可爱的动物，尤其很受小朋友的喜爱．但是这样的兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至20世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
兔子为什么会如此快地从几只增长到75亿只呢？原来在理想的环境中，种群数量呈指数增长；在有限制的环境中，种群数量为对数增长.
知识点 常见函数模型
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述．( )
(2)在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型．( )
(3)在不同的范围下，对应关系不同时，可以选择分段函数模型．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
2.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是( )
A．y＝2x－1 B．y＝x2－1
C．y＝2x－1D．y＝1.5x2－2.5x＋2
D [逐一检验可知D选项符合．故选D.]
类型1 利用已知函数模型解决实际问题
【例1】 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up7(\f(t,h)) ，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？
[解] 先设定半衰期h，由题意知
40－24＝(88－24)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up7(\f(20,h)) ，
即eq \f(1,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up7(\f(20,h)) ，
解得h＝10，故原式可化简为
T－24＝(88－24)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up7(\f(t,10)) ，
当T＝32时，代入上式，得
32－24＝(88－24)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up7(\f(t,10)) ，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up7(\f(t,10)) ＝eq \f(8,64)＝eq \f(1,8)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3，∴t＝30.
因此，需要30 min，可降温到32 ℃.
已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．声强级L(单位：dB)由公式L＝10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(I,10－12)))给出，其中I为声强(单位：W/m2)．
(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1 W/m2，能听到的最低声强为10－12 W/m2，求人听觉的声强级范围；
(2)在一演唱会中，某女高音的声强级高出某男低音的声强级20 dB，请问该女高音的声强是该男低音声强的多少倍？
[解] (1)由题知10－12≤I≤1，
∴1≤eq \f(I,10－12)≤1012，
∴0≤lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(I,10－12)))≤12，∴0≤L≤120，
故人听觉的声强级范围是[0,120](单位：dB)．
(2)设该女高音的声强级为L1，声强为I1，该男低音的声强级为L2，声强为I2，
由题知L1－L2＝20，
则10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(I1,10－12)))－10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(I2,10－12)))＝20，
∴lgeq \f(I1,I2)＝lg 100，∴I1＝100I2.
故该女高音的声强是该男低音声强的100倍．
类型2 自建确定性函数模型解决实际问题
【例2】 一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．
(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．
[解] (1)最初的质量为500 g.
经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；
经过2年，w＝500×0.92；
由此推知，t年后，w＝500×0.9t.
(2)由题意得500×0.9t＝250，即0.9t＝0.5，两边取以10为底的对数，
得lg 0.9t＝lg 0.5，即tlg 0.9＝lg 0.5，
∴t＝eq \f(lg 0.5,lg 0.9)≈6.6.
即这种放射性元素的半衰期为6.6年．
自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”．
求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．
设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量．
列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等．
限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2．据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约1 000只，并以平均每年8%的速度增加．
(1)求两年后这种珍稀鸟类的大约个数；
(2)写出y(珍稀鸟类的个数)关于x(经过的年数)的函数关系式；
(3)约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上？(结果为整数)(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
[解] (1)依题意，一年后这种鸟类的个数为，
1 000＋1 000×8%＝1 080(只)，
两年后这种鸟类的个数为
1 080＋1 080×8%≈1 166(只)．
(2)由题意可知珍稀鸟类的现有个数约1 000只，并以平均每年8%的速度增加，则所求的函数关系式为y＝1 000×1.08x，x∈N
(3)令1 000×1.08x≥3×1 000，得：1.08x≥3两边取常用对数得：
lg 1.08x≥lg 3，即xlg 1.08≥lg 3，
考虑到lg 1.08>0，故x≥eq \f(lg 3,lg 1.08)，
故x≥eq \f(lg 3,lg \f(108,100))＝eq \f(lg 3,lg 108－2)，
因为lg 108＝lg(33×22)＝3lg 3＋2lg 2，所以
x≥eq \f(lg 3,3lg 3＋2lg 2－2)≈eq \f(0.477 1,3×0.477 1＋2×0.301－2)≈14.3.约经过15年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上．
类型3 拟合数据构建函数模型解决实
际问题
【例3】 某企业常年生产一种出口产品，自2016年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2016年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：
(1)画出2016～2019年该企业年产量的散点图；
(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；
(3)2020年(即x＝5)因受新型冠状病毒的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2020年的年产量为多少？
借助散点图，联想常见函数模型的变化趋势，思考选用哪种函数模型解题？
[解] (1)画出散点图，如图所示．
(2)由散点图知，可选用一次函数模型．
设f(x)＝ax＋b(a≠0)．由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝4，,3a＋b＝7，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1.5，,b＝2.5，))
∴f(x)＝1.5x＋2.5.
检验：f(2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1，
f(4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1.
∴一次函数模型f(x)＝1.5x＋2.5能基本反映年产量的变化．
(3)根据所建的函数模型，预计2020年的年产量为f(5)＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，即10×70%＝7万件，即2020年的年产量为7万件．
函数拟合与预测的一般步骤
(1)根据原始数据、表格，绘出散点图．
(2)通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线．
(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3．水葫芦原产于巴西，1901年作为观赏植物引入我国．现在南方一些水域中水葫芦已泛滥成灾，严重影响航道安全和水生动物生长．某科研团队在某水域放入一定量的水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2个月其覆盖面积为18 m2，经过3个月其覆盖面积为27 m2.现水葫芦的覆盖面积y(单位：m2)与经过的时间x(单位：月，x∈N)的关系有两个函数模型y＝kax(k>0，a>1)与y＝pxeq \f(1,2)＋q(p>0)可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(2)求原先投放的水葫芦的面积，并求约经过几个月该水域中水葫芦的面积是当初投入的1 000倍．
(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
[解] (1)∵y＝kax(k>0，a>1)的增长速度越来越快，y＝px＋q(p>0)的增长速度越来越慢，
∴函数模型y＝kax(k>0，a>1)更合适，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ka2＝18，,ka3＝27，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(3,2)，,k＝8，))
∴y＝8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))x(x∈N)．
(2)设经过x个月该水域中水葫芦的面积是当初投放的1 000倍．
当x＝0时，y＝8，则有8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))x＝8×1 000，
∴x＝ eq lg\s\d5(\f(3,2)) 1 000＝eq \f(lg 1 000,lg \f(3,2))＝eq \f(3,lg 3－lg 2)≈17.04.
∴原先投放的水葫芦的面积为8 m2，约经过17个月该水域中水葫芦的面积是当初投入的1 000倍.
1．根据日常生活A、B、C、D四个实际问题，现各收集到的五组数据在平面直角坐标系中画出的散点图(如图所示)，能够构建对数函数模型解决实际问题且拟合度较高的是( )
A B C D
[答案] B
2．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2021年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m，则从2021年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是( )
A．y＝0.95 eq \s\up8(\f(x,50)) ·m
B．y＝(1－0.05 eq \s\up8(\f(x,50)) )·m
C．y＝0.9550－x·m
D．y＝(1－0.0550－x)·m
A [设北冰洋每年冬季冰雪覆盖面积为上一年的q%.由题意可知(q%)50＝0.95，所以q%＝0.95 eq \s\up8(\f(1,50)) ，所以从2021年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式为y＝0.95 eq \s\up8(\f(x,50)) ·m.]
3．某市的房价(均价)经过6年时间从1 200元/m2增加到了4 800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是( )
A．600元 B．50%
C.eq \r(3,2)－1D．eq \r(3,2)＋1
C [设6年间平均年增长率为x，则有1 200(1＋x)6＝4 800，解得x＝eq \r(3,2)－1.]
4．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的eq \f(3,4)，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg 2≈0.301 0)．
4 [设至少要洗x次，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))x≤eq \f(1,100)，
所以x≥eq \f(1,lg 2)≈3.322，所以至少需4次．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
解决函数应用问题的基本步骤是什么？
[提示] 利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．
这些步骤用框图表示如图：
学 习 任 务
核 心 素 养
1．会利用已知函数模型解决实际问题．(重点)
2．能建立函数模型解决实际问题．(重点、难点)
3．了解拟合函数模型并解决实际问题．(重点)
通过本节内容的学习，认识函数模型的作用，提高数学建模、数据分析的素养.
(1)一次函数模型
y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型
y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)指数函数模型
y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
(4)对数函数模型
y＝mlgax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
(5)幂函数模型
y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(6)分段函数模型
y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋bxx
1
2
3
…
y
1
3
8
…
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.58
7.00
8.44
兔子是一种可爱的动物，尤其很受小朋友的喜爱．但是这样的兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至20世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
兔子为什么会如此快地从几只增长到75亿只呢？原来在理想的环境中，种群数量呈指数增长；在有限制的环境中，种群数量为对数增长.
知识点 常见函数模型
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述．( )
(2)在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型．( )
(3)在不同的范围下，对应关系不同时，可以选择分段函数模型．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
2.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是( )
A．y＝2x－1 B．y＝x2－1
C．y＝2x－1D．y＝1.5x2－2.5x＋2
D [逐一检验可知D选项符合．故选D.]
类型1 利用已知函数模型解决实际问题
【例1】 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up7(\f(t,h)) ，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？
[解] 先设定半衰期h，由题意知
40－24＝(88－24)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up7(\f(20,h)) ，
即eq \f(1,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up7(\f(20,h)) ，
解得h＝10，故原式可化简为
T－24＝(88－24)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up7(\f(t,10)) ，
当T＝32时，代入上式，得
32－24＝(88－24)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up7(\f(t,10)) ，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up7(\f(t,10)) ＝eq \f(8,64)＝eq \f(1,8)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3，∴t＝30.
因此，需要30 min，可降温到32 ℃.
已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．声强级L(单位：dB)由公式L＝10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(I,10－12)))给出，其中I为声强(单位：W/m2)．
(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1 W/m2，能听到的最低声强为10－12 W/m2，求人听觉的声强级范围；
(2)在一演唱会中，某女高音的声强级高出某男低音的声强级20 dB，请问该女高音的声强是该男低音声强的多少倍？
[解] (1)由题知10－12≤I≤1，
∴1≤eq \f(I,10－12)≤1012，
∴0≤lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(I,10－12)))≤12，∴0≤L≤120，
故人听觉的声强级范围是[0,120](单位：dB)．
(2)设该女高音的声强级为L1，声强为I1，该男低音的声强级为L2，声强为I2，
由题知L1－L2＝20，
则10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(I1,10－12)))－10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(I2,10－12)))＝20，
∴lgeq \f(I1,I2)＝lg 100，∴I1＝100I2.
故该女高音的声强是该男低音声强的100倍．
类型2 自建确定性函数模型解决实际问题
【例2】 一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．
(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．
[解] (1)最初的质量为500 g.
经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；
经过2年，w＝500×0.92；
由此推知，t年后，w＝500×0.9t.
(2)由题意得500×0.9t＝250，即0.9t＝0.5，两边取以10为底的对数，
得lg 0.9t＝lg 0.5，即tlg 0.9＝lg 0.5，
∴t＝eq \f(lg 0.5,lg 0.9)≈6.6.
即这种放射性元素的半衰期为6.6年．
自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”．
求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．
设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量．
列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等．
限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2．据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约1 000只，并以平均每年8%的速度增加．
(1)求两年后这种珍稀鸟类的大约个数；
(2)写出y(珍稀鸟类的个数)关于x(经过的年数)的函数关系式；
(3)约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上？(结果为整数)(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
[解] (1)依题意，一年后这种鸟类的个数为，
1 000＋1 000×8%＝1 080(只)，
两年后这种鸟类的个数为
1 080＋1 080×8%≈1 166(只)．
(2)由题意可知珍稀鸟类的现有个数约1 000只，并以平均每年8%的速度增加，则所求的函数关系式为y＝1 000×1.08x，x∈N
(3)令1 000×1.08x≥3×1 000，得：1.08x≥3两边取常用对数得：
lg 1.08x≥lg 3，即xlg 1.08≥lg 3，
考虑到lg 1.08>0，故x≥eq \f(lg 3,lg 1.08)，
故x≥eq \f(lg 3,lg \f(108,100))＝eq \f(lg 3,lg 108－2)，
因为lg 108＝lg(33×22)＝3lg 3＋2lg 2，所以
x≥eq \f(lg 3,3lg 3＋2lg 2－2)≈eq \f(0.477 1,3×0.477 1＋2×0.301－2)≈14.3.约经过15年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上．
类型3 拟合数据构建函数模型解决实
际问题
【例3】 某企业常年生产一种出口产品，自2016年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2016年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：
(1)画出2016～2019年该企业年产量的散点图；
(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；
(3)2020年(即x＝5)因受新型冠状病毒的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2020年的年产量为多少？
借助散点图，联想常见函数模型的变化趋势，思考选用哪种函数模型解题？
[解] (1)画出散点图，如图所示．
(2)由散点图知，可选用一次函数模型．
设f(x)＝ax＋b(a≠0)．由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝4，,3a＋b＝7，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1.5，,b＝2.5，))
∴f(x)＝1.5x＋2.5.
检验：f(2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1，
f(4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1.
∴一次函数模型f(x)＝1.5x＋2.5能基本反映年产量的变化．
(3)根据所建的函数模型，预计2020年的年产量为f(5)＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，即10×70%＝7万件，即2020年的年产量为7万件．
函数拟合与预测的一般步骤
(1)根据原始数据、表格，绘出散点图．
(2)通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线．
(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3．水葫芦原产于巴西，1901年作为观赏植物引入我国．现在南方一些水域中水葫芦已泛滥成灾，严重影响航道安全和水生动物生长．某科研团队在某水域放入一定量的水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2个月其覆盖面积为18 m2，经过3个月其覆盖面积为27 m2.现水葫芦的覆盖面积y(单位：m2)与经过的时间x(单位：月，x∈N)的关系有两个函数模型y＝kax(k>0，a>1)与y＝pxeq \f(1,2)＋q(p>0)可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(2)求原先投放的水葫芦的面积，并求约经过几个月该水域中水葫芦的面积是当初投入的1 000倍．
(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
[解] (1)∵y＝kax(k>0，a>1)的增长速度越来越快，y＝px＋q(p>0)的增长速度越来越慢，
∴函数模型y＝kax(k>0，a>1)更合适，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ka2＝18，,ka3＝27，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(3,2)，,k＝8，))
∴y＝8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))x(x∈N)．
(2)设经过x个月该水域中水葫芦的面积是当初投放的1 000倍．
当x＝0时，y＝8，则有8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))x＝8×1 000，
∴x＝ eq lg\s\d5(\f(3,2)) 1 000＝eq \f(lg 1 000,lg \f(3,2))＝eq \f(3,lg 3－lg 2)≈17.04.
∴原先投放的水葫芦的面积为8 m2，约经过17个月该水域中水葫芦的面积是当初投入的1 000倍.
1．根据日常生活A、B、C、D四个实际问题，现各收集到的五组数据在平面直角坐标系中画出的散点图(如图所示)，能够构建对数函数模型解决实际问题且拟合度较高的是( )
A B C D
[答案] B
2．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2021年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m，则从2021年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是( )
A．y＝0.95 eq \s\up8(\f(x,50)) ·m
B．y＝(1－0.05 eq \s\up8(\f(x,50)) )·m
C．y＝0.9550－x·m
D．y＝(1－0.0550－x)·m
A [设北冰洋每年冬季冰雪覆盖面积为上一年的q%.由题意可知(q%)50＝0.95，所以q%＝0.95 eq \s\up8(\f(1,50)) ，所以从2021年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式为y＝0.95 eq \s\up8(\f(x,50)) ·m.]
3．某市的房价(均价)经过6年时间从1 200元/m2增加到了4 800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是( )
A．600元 B．50%
C.eq \r(3,2)－1D．eq \r(3,2)＋1
C [设6年间平均年增长率为x，则有1 200(1＋x)6＝4 800，解得x＝eq \r(3,2)－1.]
4．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的eq \f(3,4)，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg 2≈0.301 0)．
4 [设至少要洗x次，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))x≤eq \f(1,100)，
所以x≥eq \f(1,lg 2)≈3.322，所以至少需4次．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
解决函数应用问题的基本步骤是什么？
[提示] 利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．
这些步骤用框图表示如图：
学 习 任 务
核 心 素 养
1．会利用已知函数模型解决实际问题．(重点)
2．能建立函数模型解决实际问题．(重点、难点)
3．了解拟合函数模型并解决实际问题．(重点)
通过本节内容的学习，认识函数模型的作用，提高数学建模、数据分析的素养.
(1)一次函数模型
y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型
y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)指数函数模型
y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
(4)对数函数模型
y＝mlgax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
(5)幂函数模型
y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(6)分段函数模型
y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋bx
1
2
3
…
y
1
3
8
…
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.58
7.00
8.44
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