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人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.7 三角函数的应用课堂教学ppt课件
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.7 三角函数的应用课堂教学ppt课件，共39页。PPT课件主要包含了内容索引，课前篇自主预习，课堂篇探究学习，课标阐释，思维脉络，知识点拨，微练习，答案B，答案C，答案A等内容，欢迎下载使用。
1.会用三角函数解决简单的实际问题.(数学运算)2.可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.(数学建模)
[激趣诱思]江心屿,位于浙江省温州市区北面瓯江中游,属于中国四大名屿.该屿风景秀丽,东西双塔凌空,映衬江心寺,历来被称为“瓯江蓬莱”.江心寺为全国32所观音道场之一,分前、中、后三殿,殿内槛联匾额,琳琅满目.寺院大门两边有一著名的叠字联:“云朝朝,朝朝朝,朝朝朝散;潮长长,长长长,长长长消(念‘yúnzhāchá,zhāzhāchá,zhācházhāsàn;cháchángzhǎng,chángchángzhǎng,chángzhǎngchángxiā’).”该对联巧妙地运用了叠字诗展现了瓯江潮水涨落的壮阔画面.
下面是瓯江江心屿码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表:
仔细观察表格中的数据,你能从中得到什么信息?你能否建立一个三角函数模型来进一步地研究它?
知识点一:函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中,各参数的物理意义
知识点二:应用三角函数模型解决问题的一般程序应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型,解决问题的一般程序如下:(1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系.(2)建模,分析题目特性,选择适当的三角函数模型.(3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论.
(4)还原,把数学结论还原为实际问题的解答.
微练习如图是相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(单位:米)在某天从0~24时的变化情况,则水面高度h关于时间t的函数关系式为 .
答案 h=-6sin t
例1已知表示电流强度I与时间t的函数关系式(1)若电流强度I与时间t的函数关系图象如图所示,试根据图象写出I=Asin(ωt+φ)的解析式;
反思感悟 三角函数在物理中的应用三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、交流电电流、电压等方面,其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多,尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法.
变式训练1单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离s(单位:cm)和时间t(单位:s)的函数关系式为(1)作出函数的图象;(2)当单摆开始摆动(t=0)时,离开平衡位置的距离是多少?(3)当单摆摆动到最右边时,离开平衡位置的距离是多少?(4)单摆来回摆动一次需多长时间?
解 (1)利用“五点法”可作出其图象,如图.(2)因为当t=0时,s=6sin =3,所以此时离开平衡位置3 cm.(3)离开平衡位置6 cm.(4)因为T= =1,所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s.
例2心脏跳动时,血压在增加或减少.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/80 mmHg为标准值.设某人的血压满足函数式p(t)=115+25sin 160πt,其中p(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单位:min),试回答下列问题:(1)求函数p(t)的周期;(2)求此人每分钟心跳的次数;(3)画出函数p(t)的草图;(4)求出此人的血压在血压计上的读数.
描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示:(4)由图可知此人的收缩压为140 mmHg,舒张压为90 mmHg.
要点笔记 在日常生活中呈周期变化的现象,可利用三角函数模型y=Asin(ωx+φ)+b描述其变化规律,并结合各参数的实际意义解决相关问题.
变式训练2某地昆虫种群数量在七月份1~13日的变化如图所示,且满足y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,φ<0).(1)根据图中数据求函数解析式;(2)从7月1日开始,每隔多长时间种群数量就出现一个低谷或一个高峰?
例3已知某海滨浴场的海浪高度y(单位:米)是时间t(单位:时)的函数,其中0≤t≤24,记y=f(t),下表是某日各时的浪高数据:经长期观测,y=f(t)的图象可近似地看成是函数y=Acs ωt+b的图象.(1)根据以上数据,求其最小正周期、振幅及函数解析式;(2)根据规定,当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的8:00到20:00之间,有多少时间可供冲浪者进行活动?
又0≤t≤24,所以0≤t<3或9
即12k-2
三角函数图象类问题的解法典例 1函数y=x+sin|x|,x∈[-π,π]的大致图象是( )
解析 由函数奇偶性的定义可知函数y=x+sin|x|,x∈[-π,π]既不是奇函数也不是偶函数.选项A,D中图象表示的函数为奇函数,选项B中图象表示的函数为偶函数,选项C中图象表示的函数既不是奇函数也不是偶函数.答案 C
典例 2如图,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P0( ,- ),角速度为1,那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为( )
方法点睛 解决函数图象与解析式对应问题的策略解决三角函数图象类问题时,不一定画出所给函数图象,解此类选择题时,我们常用特殊值法,这也是解题最快捷的方法;此外,可以根据图象所反映出的性质来检验排除,如定义域、奇偶性、值域、单调性、特殊点的函数值正负等.
1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过 周期后,乙的位置将移至( )A.x轴上B.最低点C.最高点D.不确定答案 C解析 相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期,故乙移至最高点.
3.如图所示是一个简谐运动的图象,则下列判断正确的是( )A.该质点的运动周期为0.7 sB.该质点的振幅为-5 cmC.该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大D.该质点在0.3 s和0.7 s时的位移为零答案 D解析 由题中图象及简谐运动的有关知识知,T=0.8 s,A=5 cm.当t=0.1 s或0.5 s时,v为零.
5.估计某城市某一天的白昼时间的小时数D(t)的表达式是 ,其中t表示某天的序号,t=0表示1月1日,以此类推.(1)问哪一天白昼最长?哪一天最短?(2)估计在该城市一年中有多少天的白昼超过10.5小时?
解 (1)白昼时间最长的一天,即D(t)取得最大值的一天,由 ,得t=170.25,因为t∈N,所以t=170,对应的是6月20日(闰年除外),类似地,t=353时,D(t)取得最小值,即12月20日白昼最短.因此48
1.会用三角函数解决简单的实际问题.(数学运算)2.可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.(数学建模)
[激趣诱思]江心屿,位于浙江省温州市区北面瓯江中游,属于中国四大名屿.该屿风景秀丽,东西双塔凌空,映衬江心寺,历来被称为“瓯江蓬莱”.江心寺为全国32所观音道场之一,分前、中、后三殿,殿内槛联匾额,琳琅满目.寺院大门两边有一著名的叠字联:“云朝朝,朝朝朝,朝朝朝散;潮长长,长长长,长长长消(念‘yúnzhāchá,zhāzhāchá,zhācházhāsàn;cháchángzhǎng,chángchángzhǎng,chángzhǎngchángxiā’).”该对联巧妙地运用了叠字诗展现了瓯江潮水涨落的壮阔画面.
下面是瓯江江心屿码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表:
仔细观察表格中的数据,你能从中得到什么信息?你能否建立一个三角函数模型来进一步地研究它?
知识点一:函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中,各参数的物理意义
知识点二:应用三角函数模型解决问题的一般程序应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型,解决问题的一般程序如下:(1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系.(2)建模,分析题目特性,选择适当的三角函数模型.(3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论.
(4)还原,把数学结论还原为实际问题的解答.
微练习如图是相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(单位:米)在某天从0~24时的变化情况,则水面高度h关于时间t的函数关系式为 .
答案 h=-6sin t
例1已知表示电流强度I与时间t的函数关系式(1)若电流强度I与时间t的函数关系图象如图所示,试根据图象写出I=Asin(ωt+φ)的解析式;
反思感悟 三角函数在物理中的应用三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、交流电电流、电压等方面,其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多,尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法.
变式训练1单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离s(单位:cm)和时间t(单位:s)的函数关系式为(1)作出函数的图象;(2)当单摆开始摆动(t=0)时,离开平衡位置的距离是多少?(3)当单摆摆动到最右边时,离开平衡位置的距离是多少?(4)单摆来回摆动一次需多长时间?
解 (1)利用“五点法”可作出其图象,如图.(2)因为当t=0时,s=6sin =3,所以此时离开平衡位置3 cm.(3)离开平衡位置6 cm.(4)因为T= =1,所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s.
例2心脏跳动时,血压在增加或减少.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/80 mmHg为标准值.设某人的血压满足函数式p(t)=115+25sin 160πt,其中p(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单位:min),试回答下列问题:(1)求函数p(t)的周期;(2)求此人每分钟心跳的次数;(3)画出函数p(t)的草图;(4)求出此人的血压在血压计上的读数.
描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示:(4)由图可知此人的收缩压为140 mmHg,舒张压为90 mmHg.
要点笔记 在日常生活中呈周期变化的现象,可利用三角函数模型y=Asin(ωx+φ)+b描述其变化规律,并结合各参数的实际意义解决相关问题.
变式训练2某地昆虫种群数量在七月份1~13日的变化如图所示,且满足y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,φ<0).(1)根据图中数据求函数解析式;(2)从7月1日开始,每隔多长时间种群数量就出现一个低谷或一个高峰?
例3已知某海滨浴场的海浪高度y(单位:米)是时间t(单位:时)的函数,其中0≤t≤24,记y=f(t),下表是某日各时的浪高数据:经长期观测,y=f(t)的图象可近似地看成是函数y=Acs ωt+b的图象.(1)根据以上数据,求其最小正周期、振幅及函数解析式;(2)根据规定,当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的8:00到20:00之间,有多少时间可供冲浪者进行活动?
又0≤t≤24,所以0≤t<3或9
即12k-2
三角函数图象类问题的解法典例 1函数y=x+sin|x|,x∈[-π,π]的大致图象是( )
解析 由函数奇偶性的定义可知函数y=x+sin|x|,x∈[-π,π]既不是奇函数也不是偶函数.选项A,D中图象表示的函数为奇函数,选项B中图象表示的函数为偶函数,选项C中图象表示的函数既不是奇函数也不是偶函数.答案 C
典例 2如图,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P0( ,- ),角速度为1,那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为( )
方法点睛 解决函数图象与解析式对应问题的策略解决三角函数图象类问题时,不一定画出所给函数图象,解此类选择题时,我们常用特殊值法,这也是解题最快捷的方法;此外,可以根据图象所反映出的性质来检验排除,如定义域、奇偶性、值域、单调性、特殊点的函数值正负等.
1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过 周期后,乙的位置将移至( )A.x轴上B.最低点C.最高点D.不确定答案 C解析 相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期,故乙移至最高点.
3.如图所示是一个简谐运动的图象,则下列判断正确的是( )A.该质点的运动周期为0.7 sB.该质点的振幅为-5 cmC.该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大D.该质点在0.3 s和0.7 s时的位移为零答案 D解析 由题中图象及简谐运动的有关知识知,T=0.8 s,A=5 cm.当t=0.1 s或0.5 s时,v为零.
5.估计某城市某一天的白昼时间的小时数D(t)的表达式是 ,其中t表示某天的序号,t=0表示1月1日,以此类推.(1)问哪一天白昼最长?哪一天最短?(2)估计在该城市一年中有多少天的白昼超过10.5小时?
解 (1)白昼时间最长的一天,即D(t)取得最大值的一天,由 ,得t=170.25,因为t∈N,所以t=170,对应的是6月20日(闰年除外),类似地,t=353时,D(t)取得最小值,即12月20日白昼最短.因此48
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