高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直练习题

8.6.1 直线与直线垂直

一、选择题

1．分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是（    ）

A．相交 B．异面 C．异面或相交 D．平行

【答案】C

【解析】

①若两条直线与两条异面直线的交点有4个，如图，直线与异面直线分别相交于点，直线与异面直线分别相交于点，那么四点不可能共面，否则与异面矛盾，故直线与异面；②若两条直线与两条异面直线的交点有3个，如图，则两条直线相交.

故选：C

2．在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】在正方体中，，所以异面直线与所成角为，

设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，

则.故选C.

3．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如图所示，补成直四棱柱，

则所求角为，

易得，因此，故选C．

4．在正方体中，为棱的中点，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】画出正方体，如图所示．

对于选项A，连，若，又，所以平面，所以可得，显然不成立，所以A不正确．

对于选项B，连，若，又，所以平面，故得，显然不成立，所以B不正确．

对于选项C，连，则．连，则得，所以平面，从而得，所以．所以C正确．

对于选项D，连，若，又，所以平面，故得，显然不成立，所以D不正确．

故选C．

5．（多选题）如图所示，在正方体中，分别为棱的中点，则以下四个结论正确的是（    ）

A．直线与是相交直线 B．直线与是平行直线

C．直线与是异面直线 D．直线与是异面直线

【答案】CD

【解析】直线与是异面直线，直线与也是异面直线，故A、B错误

直线与是异面直线，直线与是异面直线，故C、D正确.

故选CD.

6．（多选题）如图所示是正四面体的平面展开图,分别为的中点,在这个正四面体中,下列命题正确的是(    )

A．与平行 B．与为异面直线

C．与成60°角 D．与垂直

【答案】BCD

【解析】如图,把平面展开图还原成正四面体,知与为异面直线,A不正确；

与为异面直线，B正确；

,，而，,

与成60°角，C正确；

连接，，

平面,

,

又

与垂直,

D正确.

故选：BCD

二、填空题

7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1 的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于       ．

【答案】

【解析】,所以异面直线EF与GH所成的角等于所成角，为正三角形，所以所成角为

8．已知正方体中，E为的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为         .

【答案】

【解析】

连接DE，设AD=2，易知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，

在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3，∴cos∠DAE==．

9．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值是_____________．

【答案】

【解析】

连接交于点，取中点，连接，则，连接

为异面直线与所成角

在中，，

,

同理可得,

,

异面直线与所成角的余弦值是

故答案为

10．在正方体中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则所在直线与直线EF是异面直线的是               ，异面直线EF与GH所成的角等于_____.

【答案】BC，CD，AD，， 60°

【解析】连接，，，由于EF∥A1B，GH∥BC1，所以A1B与BC1所成的角即为EF与GH所成的角，由于△A1BC1为正三角形，所以A1B与BC1所成的角为60°，即EF与GH所成的角为60°.

三、解答题

11．空间四边形中，，分别是的中点，，求异面直线所成的角.

【答案】

【解析】设G为AC的中点,、F分别是AB、CD中点
且
且
为异面直线AD、BC所成的角(或其补角)
,
中,
,
即异面直线AD、BC所成的角为

12．如图,在四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形且，，若异面直线和所成的角为，试求的长.

【答案】

【解析】

连接.

由题意得四棱柱中，，，

∴四边形是平行四边形，

，

（或其补角）为和所成的角.

∵异面直线和所成的角为，

.

∵四棱柱中，，

是等腰直角三角形，.

∵底面四边形是菱形且，，，，.