高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直第1课时习题

8.6.3 平面与平面垂直

第1课时 平面与平面垂直的判定

一、选择题

1．在长方体中，，，则二面角的大小是（    ）

A．30º B．45º C．60º D．90º

【答案】A

【解析】由题意，作出长方体的图象，

取中点为，连接、，

因为平面，所以即在平面上的投影，

又平面，所以，

因为，所以四边形是正方形，

为中点，所以，又，

所以平面，又平面，所以，

即二面角，

又，，

所以，.

故选：A

2．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为(　　)

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC又PA∩AC＝C，

∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C．

3．如图，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是　(　　)

A．平面EFG∥平面PBC

B．平面EFG⊥平面ABC

C．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角

D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角

【答案】D

【解析】对于A，因为点E，F分别是AB,AP的中点，

所以，

又平面，平面，

所以平面．同理平面，

又,

所以平面平面．因此A正确．

对于B，因为,

所以平面．

又,

所以平面，

又平面，

所以平面平面．因此B正确．

对于C，由于平面平面，且与平面PAB交于EF，PB，∴

所以∠BPC是直线EF与直线PC所成的角．因此C正确．

对于D，由于FE,GE与AB不垂直，所以∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角，因此D不正确．

综上选项D不正确．选D．

4．已知是圆柱上底面的一条直径，是上底面圆周上异于，的一点，为下底面圆周上一点，且圆柱的底面，则必有（    ）

A．平面平面 B．平面平面

C．平面平面 D．平面平面

【答案】B

【解析】因为是圆柱上底面的一条直径，

所以，又圆柱的底面，所以，

因为，所以平面.

又平面，所以平面平面.   

故选：B.

5．（多选题）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（    ）

A．在棱上存在点M，使平面

B．异面直线与所成的角为90°

C．二面角的大小为45°

D．平面

【答案】ABC

【解析】解：如图，对于，取的中点，连接，∵侧面为正三角形，

，又底面是菱形，，是等边三角形，

，又，，平面，

平面，故正确.

对于，平面，，即异面直线与所成的角为90°，故正确.

对于，∵平面平面，，平面，，

是二面角的平面角，设，则，，

在中，，即，故二面角的大小为45°，故正确.

对于，因为与不垂直，所以与平面不垂直，故错误.

故选：

6．（多选题）如图，梯形中，，，，，将沿对角线折起.设折起后点的位置为，并且平面平面.给出下面四个命题正确的：()

A． B．三棱锥的体积为

C．平面 D．平面平面

【答案】CD

【解析】如图所示：为中点，连接

，，得到

又故为等腰直角三角形

平面平面， ，所以平面，所以C正确

为中点，则平面 所以

如果，则可得到平面，故 与已知矛盾.故A错误

三棱锥的体积为 .故B错误

在直角三角形中，

在三角形中， 满足

又 所以平面，所以平面平面，故D正确

综上所述：答案为CD

三、填空题

7．在长方体中，，，则平面与平面所成的二面角的正弦值是_________.

【答案】

【解析】画出图像如下图所示，将平面延展成平面，将平面延展成平面，平面与平面相交于，且，所以是平面与平面所成的二面角.在中，所以.

故答案为：

8．如图，在四棱锥中，底面且底面各边都相等，是上一点， 当点满足           时，平面平面（只要填写一个你认为正确的条件即可）

【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC)

【解析】连接，因为底面，所以,因为四边形的各边相等，所以,且，所以平面，即，要使平面平面，只需垂直于面上的与相交的直线即可，所以可填；故填．

9．如图所示，正方形的边长为，已知，将沿边折起，折起后点在平面上的射影为点，则翻折后的几何体中有如下描述：①与所成角的正切值为；②；③；④平面平面，其中正确的命题序号为___________．

【答案】③④

【解析】

作出折叠后的几何体直观图如图所示：

∵AB=a,BE=a,∴AE=a.

∴.

∵BC∥DE，∴∠ABC是异面直线AB，DE所成的角，

在Rt△ABC中, ,故①不正确；

连结BD，CE，则CE⊥BD，

又AD⊥平面BCDE，CE⊂平面BCDE，

∴CE⊥AD，又BD∩AD=D，BD⊂平面ABD，AD⊂平面ABD，

∴CE⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD，

∴CE⊥AB.故②错误．

三棱锥B−ACE的体积.

故③正确．

∵AD⊥平面BCDE，BC⊂平面BCDE，

∴BC⊥AD，又BC⊥CD，

∴BC⊥平面ACD，∵BC⊂平面ABC，

∴平面ABC⊥平面ACD.

故答案为③④．

10．如图所示，在长方体中，棱与棱的位置关系是_________，棱与平面的位置关系是__________，平面与平面的位置关系是_________.

【答案】平行    垂直    垂直   

【解析】根据长方体的性质可知，棱与棱平行，棱与DC,DH垂直，所以棱与平面垂直，长方体的侧面与底面垂直，故平面与平面垂直.

三、解答题

11．已知四棱锥的底面是菱形，，的中点是顶点在底面的射影，是的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）若，直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)见解析（2）

【解析】 (1)证明　∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，

且M是AD的中点，∴MB⊥AD，∴MB⊥BC.

又∵P在底面ABCD的射影M是AD的中点，

∴PM⊥平面ABCD，

又∵BC⊂平面ABCD，∴PM⊥BC，

而PM∩MB＝M，PM，MB⊂平面PMB，

∴BC⊥平面PMB，又BC⊂平面PBC，

∴平面MPB⊥平面PBC.

(2)解　　过点B作BH⊥MC，连接HN，

∵PM⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，∴BH⊥PM，

又∵PM，MC⊂平面PMC，PM∩MC＝M，

∴BH⊥平面PMC，

∴HN为直线BN在平面PMC上的射影，

∴∠BNH为直线BN与平面PMC所成的角，

在菱形ABCD中，设AB＝2a，则MB＝AB·sin 60°＝a，

MC＝＝a.

又由(1)知MB⊥BC，

∴在△MBC中，BH＝＝a，

由(1)知BC⊥平面PMB，PB⊂平面PMB，

∴PB⊥BC，∴BN＝PC＝a，

∴sin∠BNH＝＝＝.

12．如图在三棱锥中， 分别为棱的中点，已知.

求证：（1）直线平面；

（2）平面 平面.

【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】（1）由于分别是的中点，则有，又平面，平面，所以平面．

（2）由（1），又，所以，又是中点，所以，，又，所以，所以，是平面内两条相交直线，所以平面，又平面，所以平面平面．