2021学年8.5 空间直线、平面的平行当堂检测题

第八章 立体几何初步

8.5.3  平面与平面平行

一、基础巩固

1.已知平面平面，直线，直线，下列结论中不正确的是（    ）

A． B． C． D．与不相交

【答案】C

【详解】

根据面面平行的的定义和性质知: 平面平面，直线，直线，则， ， 与不相交，

2.平面与平面平行的充分条件可以是（    ）

A．内有无穷多条直线都与平行

B．直线，，且直线a不在内，也不在内

C．直线，直线，且，

D．内的任何一条直线都与平行

【答案】D

【详解】

解：A选项，内有无穷多条直线都与平行，并不能保证平面内有两条相交直线与平面平行，这无穷多条直线可以是一组平行线，故A错误；

B选项,直线，，且直线a不在内，也不在内,直线a可以是平行平面与平面的相交直线，故不能保证平面与平面平行，故B错误；

C选项, 直线，直线，且，,当直线，同样不能保证平面与平面平行，故C错误；

D选项, 内的任何一条直线都与平行,则内至少有两条相交直线与平面平行，故平面与平面平行;

3.如图，在棱长为1的正方体中，，分别是，的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

取的中点为.

易知，，所以四边形为平行四边形，所以.

又和为平面的两条相交直线，所以平面平面，即的面积即为所求.

由，，所以四边形为梯形，高为.

所以面积为：.

故选B.

4.下列说法正确的是（    ）

A．若两条直线与同一条直线所成的角相等，则这两条直线平行

B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C．若一条直线分别平行于两个相交平面，则一定平行它们的交线

D．若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行

【答案】C

【详解】

A错，由两条直线与同一条直线所成的角相等，

可知两条直线可能平行，可能相交，也可能异面；

B错，

若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，

则这两个平面可能平行或相交；

C正确，设////，

利用线面平行的性质定理，在平面中存在直线//，

在平面中存在直线//，所以可知//，

根据线面平行的判定定理，可得//，

然后根据线面平行的性质定理可知//，所以//；

D错，两个平面可能平行，也可能相交.

5.设是两个不同的平面，是直线且，，若使成立，则需增加条件（     ）

A．是直线且， B．是异面直线，

C．是相交直线且， D．是平行直线且，

【答案】C

【详解】

要使成立，需要其中一个面的两条相交直线与另一个面平行，

是相交直线且，，，，

由平面和平面平行的判定定理可得.

6.下列四个正方体图形中，，为正方体的两个顶点，，，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（    ）

A．①③ B．②③ C．①④ D．②④

【答案】C

【详解】

对于①，连接如图所示，由于，根据面面平行的性质定理可知平面平面，所以平面.

对于②，连接交于，由于是的中点，不是的中点，所以在平面内与相交，所以直线与平面相交.

对于③，连接，则，而与相交，即与平面相交，所以与平面相交.

对于④，连接，则，由线面平行的判定定理可知平面.

综上所述，能得出平面的图形的序号是①④.

7．设，是两个不重合的平面，，是空间两条不重合的直线，下列命题不正确的是（）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】D

【详解】

A.正确，垂直于同一条直线的两个平面平行；

B.正确，垂直于同一个平面的两条直线平行；

C.正确，因为平面内存在直线，使，若，则，则；

D.不正确，有可能.

8．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则“”是“且”的（     ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】

，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则“”得“且”，

根据面面平行的判定定理得“且”不能得“”，所以“”是“且”的充分不必要条件.

9.已知，, 为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（  ）

A．若，，则

B．若，，，则

C．若，，则

D．若，，，，则

【答案】D

【详解】

A, 若，,则或，故A不正确.

B, 若，，，则或与相交，故B不正确.

C，若，，则或，故C不正确.

D,如图，由可得，易证，故D正确.

10.如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形ABCD，AC与BD的交点为O，平面ABCD且，E是边BC的中点，动点P在四棱锥表面上运动，并且总保持，则动点P的轨迹的周长为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

解：分别取CD、SC的中点F、G，连接EF、FG和EG，如图所示；

则EF∥BD，EF⊄平面BDS，BD ⊂平面BDS

∴EF∥平面BDS

同理FG∥平面BDS

又EF∩FG＝F，EF ⊂平面EFG，FG ⊂平面EFG，，

∴平面EFG∥平面BDS，

由AC⊥BD，AC⊥SO，且AC∩SO＝O，

则AC⊥平面BDS，

∴AC⊥平面EFG，

∴点P在△EFG的三条边上；

又EF＝BD＝××＝1，

FG＝EG＝SB＝×＝，

∴△EFG的周长为EF+2FG＝1+.

11.设，表示两个不同平面，表示一条直线，下列命题正确的是（   ）

A．若，，则.

B．若，，则.

C．若，，则.

D．若，，则.

【答案】C

【详解】

若，，则或，不正确；

若，，则，或相交，不正确；

若，，可得没有公共点，即，正确；

若，，则或相交，不正确,故选C.

12．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（    ）

A．存在两条异面直线，.

B．存在一条直线，.

C．存在一条直线，.

D．存在两条平行直线，.

【答案】A

【详解】

对于A选项，如图：为异面直线，且，在内过上一点作，则内有两相交直线平行于，则有；故A正确；

对于B选项，若，则可能平行于与的交线，因此与可能平行，也可能相交，故B错；

对于C选项，若，则与可能平行，也可能相交，故C错；

对于D选项，若，则与可能平行，也可能相交，故D错.

二、拓展提升

13.如图，在三棱柱中，、分别是棱，的中点，求证：

（1）平面；

（2）平面平面．

【答案】（1）见证明；（2）见证明

【详解】

证明：（1）设与的交点为，连结，

∵四边形为平行四边形，∴为中点，

又是的中点，∴是三角形的中位线，则，

又∵平面，平面，

∴平面；

（2）∵为线段的中点，点是的中点，

∴且，则四边形为平行四边形，

∴，

又∵平面，平面，

∴平面．

又平面，，且平面，平面，

∴平面平面．

14．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：

(1)BF∥HD1；

(2)EG∥平面BB1D1D；

(3)平面BDF∥平面B1D1H.

【答案】(1) 见解析；(2) 见解析；(3)见解析.

（1）取BB1的中点M，连接HM、MC1，四边则HMC1D1是平行四边形，∴HD1∥MC1．

又∵MC1∥BF，∴BF∥HD1．

（2）取BD的中点O，连接EO、D1O，则OE∥，OE＝．又D1G∥DC，D1G＝DC，

∴OE∥D1G，OE＝D1G，∴四边形OEGD1是平行四边形，∴GE∥D1O．

又D1O⊂平面BB1D1D，∴EG∥平面BB1D1D．

（3）由（1）知D1H∥BF，又BD∥B1D1，B1D1、HD1⊂平面HB1D1，BF、BD⊂平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，DB∩BF＝B，∴平面BDF∥平面B1D1H．

15.如图所示，在三棱柱中，分别是的中点，

求证：（1）四点共面；    

（2）平面平面．

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【详解】

(1)分别是的中点，

是的中位线，

则，

又，

四点共面．

(2)分别为的中点，，

平面平面，

平面，

又分别是的中点，，

，

四边形是平行四边形，，

平面平面，

平面，

又，

平面平面，