数学必修 第二册第八章 立体几何初步8.3 简单几何体的表面积与体积当堂检测题

第八章 立体几何初步

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积

一、基础巩固

1.某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体.正四棱锥的高为，，，则该组合体的表面积为（    ）

A．20 B． C．16 D．

【答案】A

【详解】

由题意，正四棱锥的斜高为，该组合体的表面积为.

2．一个正四棱锥的底面边长为2，高为，则该正四棱锥的全面积为

A．8 B．12 C．16 D．20

【答案】B

【详解】

由题得侧面三角形的斜高为，

所以该四棱锥的全面积为.

3．如图所示，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则三棱锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

三棱锥的体积等于三棱锥的体积，

因此，三棱锥的体积为，

3.把正方形沿对角线折起，当以四点为顶点的棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为（    ）

A．90° B．60 C．45° D．30°

【答案】C

【详解】

记正方形的对角线与交于点，

将正方形沿对角线折起后，如图，

当平面时，三棱锥的体积最大.

为直线和平面所成的角，

∵因为正方体对角线相互垂直且平分，

所以在中，，

∴直线和平面所成的角大小为45°.

4.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（     ）

A． B．1 C． D．

【答案】C

【解析】

该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积．故选.

5.轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

设圆柱的底面半径为R，则圆柱的高为2R，圆柱的体积V=πR2•2R=2πR3，

外接球的半径为，故球的体积为：，

故外接球的体积与该圆柱的体积的比值为.

6．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如图所示），下底面是边长为2的正方形，上棱，EF//平面ABCD，EF与平面ABCD的距离为2，该刍甍的体积为（    ）

A．6 B． C． D．12

【答案】B

【详解】

如图，作FN//AE，FM//ED，则多面体被分割为棱柱与棱锥部分，

因为EF与平面ABCD的距离为2，

所以四棱锥F-NBCM的高为2，

所以V四棱锥F-NBCM=SNBCM

V棱柱ADE-NMF=S直截面

所以该刍甍的体积为V=V四棱锥F-NBCM +V棱柱ADE-NMF=.

故选：B

7.已知三棱锥P-ABC满足：PC=AB=，PA=BC=，AC=PB=2，则三棱锥P-ABC的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为PC=AB=，PA=BC=，AC=PB=2，

构造长方体如图所示：

则为长方体的面对角线，

设，则，

解得，所以三棱锥P-ABC的体积为：

长方体的体积减去三棱锥的体积,

即，

8.如图所示，网格纸上每个小正方形的边长为，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的表面积为（     ）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【详解】

根据三视图可还原为三棱锥，如图，取中点，连接，

由三视图可得，平面，且，，，

，，

，

，，

该四面体的表面积为.

9.在直三棱柱中，，，则点到平面的距离为（          ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

    为边长为的等边三角形

，又平面   

，

中边上的高   

设点到平面的距离为

    ，解得：

10.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则该处的平地降雨量（盆中积水体积与盆口面积之比）为（    ）（台体体积公式：V台体＝，，分别为上、下底面面积，h为台体的高，一尺等于10寸）

A．3 B．4 C． D．

【答案】A

【详解】

解：由题意可得：池盆盆口的半径为14寸，盆底半径为6寸，盆高为18寸，

因为积水深九寸，故水面半径为寸，

则盆中水的体积为(立方寸)，

故该处的平地降雨量为：(寸)，

11．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，三棱锥D1­AB1C的表面积与正方体的表面积的比为(　　)

A．1∶1 B．1∶

C．1∶ D．1∶2

【答案】C

【详解】

设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则正方体ABCD-A1B1C1D1的表面积为S2=6a2，且三棱锥D1-AB1C为各棱长均为 的正四面体，
其中一个面的面积为 所以三棱锥D1-AB1C的表面积为： 所以三棱锥D1-AB1C的体积与正方体ABCD-A1B1C1D1的表面积之比为： ．

二、拓展提升

13．如图，已知是棱长为的正方体.

（1）求证：平面平面；

（2）求多面体的体积.

【答案】（1）见解析；（2）.

【详解】

（1）由已知，在四边形DBB1D1中，BB1∥DD1且BB1＝DD1，

故四边形DBB1D1为平行四边形，即D1B1∥DB，

∵D1B1⊄平面DBC1，∴D1B1∥平面DBC1；

同理在四边形ADC1B1中，AB1∥DC1，

同理AB1∥平面DBC1，

又∵AB1∩D1B1＝B1，

∴平面AB1D1∥平面BDC1．

（2）在正方体中，，

又正方体的体积为V=8，

∴所求多面体的体积=8

14．如图，正方体的棱长为,连得到一个三棱锥.求:

（1）三棱锥的表面积与正方体的表面积之比；

（2）三棱锥的体积.

【答案】（1）（2）

【详解】

如图所示:

（1）由图可知,三棱锥为正四面体,且棱长为

所以三棱锥的表面积为

正方体D的表面积为

所以三棱锥的表面积与正方体D的表面积之比为

（2）因为三棱锥的体积等于正方体的体积减去四个等体积的三棱锥的体积,

所以棱锥的体积为:.

15.如图，已知四棱锥的底面是正方形，且边长为4cm，侧棱长都相等，E为BC的中点，高为PO，且，求该四棱锥的侧面积和表面积．

【答案】，

【详解】

如图，，在中，．

，E为BC的中点，

侧棱长都相等，

，