高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积巩固练习

第八章 立体几何初步

8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积

一、基础巩固

1.已知两个球的表面积之比为，则这两个球的半径之比为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

设两个球的半径分别为和，则

2．如图，圆柱内有一内切球（圆柱各面与球面均相切），若内切球的体积为，则圆柱的侧面积为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

 设球的半径为，则，解得，

 所以圆柱的底面半径，母线长为，

 所以圆柱的侧面积为，故选C．

3．已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于(　　)

A．π B．π

C．16π D．32π

【答案】B

【详解】

如图，作轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，的外接圆是球的大圆，

设该圆锥的外接球的半径为R，依题意得，R2＝(3－R)2＋()2，解得R＝2，所以所求球的体积V＝πR3＝π×23＝π，

3．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，

由题可知，r=h=，则，

∴

侧面积为

故选A

3.已知三棱锥四个顶点均在半径为的球面上，且，，若该三棱锥体积的最大值为，则这个球的表面积为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

，  

如下图所示：

若三棱锥体积最大值为，则点到平面的最大距离：

即：

设球的半径为，则在中：，解得：

球的表面积：

4.圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面圆的半径为(　　)

A．3 B．5 C．6 D．7

【答案】D

【解析】

设圆台较小底面圆的半径为，由已知有另一底面圆的半径为，而圆台的侧面积公式为，

5.一个三棱锥的三条侧棱两两垂直且长分别为3、4、5，则它的外接球的表面积是(     )

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由题三条侧棱两两垂直且长分别为3、4、5的三棱锥与长宽高分别为3、4、5的长方体外接球相同.且长方体体对角线长为外接球直径,又,

故外接球表面积 .

6.一个正方体的表面积等于，则该正方体的内切球的体积为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

设正方体棱长为，则   

正方体内切球半径为棱长的一半，即

体积

7.正四面体的俯视图为边长为1的正方形（两条对角线一条是虚线一条是实线），则正四面体的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

如图，该正四面体可以看成棱长为1的正方体六个面对角线组成的正四面体，

所以正四面体的外接球，即为边长为1的正方体的外接球，

所以外接球的半径为，

则该外接球的表面积为，

8.在三棱锥中，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

因为，所以可以将三棱锥如图放置于一个长方体中，设长方体的长宽、高分别为a，b，c，则有整理得，则该棱锥外接球的半径，球．

9．已知菱形的边长为，，将沿折起，使A，C两点的距离为，则所得三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由已知得为等边三角形，对角线,

将沿折起，使A，C两点的距离为，折起后三棱锥为正四面体，各棱长都是，将此正四面体放置在正方体中，使得正方体的面对角线是正四面体的棱，设正方体的棱长为,则正方体的面对角线为，所以正方体的体对角线为,其中为正方体的外接球半径，由于正方体的外接球就是正四面体ABCD的外接球，∴正四面体ABCD的外接球表面积为,

10．已知四面体，平面，，若该四面体的四个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

因为平面，，

所以可将四面体看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，如图所示：

则四面体的外接球即直三棱柱的外接球，

因为底面三角形的外心到三角形的顶点的长度为，

所以直三棱柱的外接球的半径，

则球的表面积，

二、拓展提升

13.如图，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，

（1）求圆锥的表面积和体积.

（2）求圆柱的表面积.

【答案】（1）；；（2）.

【详解】

（1）由题意圆锥的高为，

所以圆锥的表面积为，

体积为．

（2）设圆柱半径为，则，，

所以圆柱的表面积为．

14.已知一圆锥的母线长为10，底面圆半径为6.

（1）求圆锥的高；

（2）若圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求球的表面积.

【答案】（1）8（2）

【详解】

（1）据题意知，圆锥的高

（2）据（1）求解知，圆锥的高为，

设圆锥内切球的半径为，则，

所以

所以所求球的表面积.

15.如图所示，在四边形中，，，，，，将四边形绕旋转一周所形成的一个几何体．

（Ⅰ）求这个几何体的表面积；

（Ⅱ）求这个几何体的体积．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【详解】

延长，过作交于；过作交于；过作交于

（Ⅰ）令，，，，，

在中，    ，    ，

又   

（Ⅱ）几何体体积：

.