高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系练习题

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基础巩固
1．下列命题的符号语言中，不是公理的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】
SKIPIF 1 < 0 不是公理，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由公理三知：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故 SKIPIF 1 < 0 是公理．
在 SKIPIF 1 < 0 中，由公理一知：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，故 SKIPIF 1 < 0 是公理；
在 SKIPIF 1 < 0 中，由平行公理得：平行于同一条直线的两条直线互相平行，故 SKIPIF 1 < 0 是公理；
2．如图所示，用符号语言可表达为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】
结合图形可以得出平面 SKIPIF 1 < 0 相交于一条直线 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内，直线 SKIPIF 1 < 0 相交于点A，
结合选项可得C正确；
3．如图所示，正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，则在平面 SKIPIF 1 < 0 内与平面 SKIPIF 1 < 0 平行的直线( )
A．不存在B．有1条C．有2条D．有无数条
【答案】D
【详解】
平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 有公共点 SKIPIF 1 < 0 ，
由公理3知平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 必有过 SKIPIF 1 < 0 的交线 SKIPIF 1 < 0 ，
在平面 SKIPIF 1 < 0 内与 SKIPIF 1 < 0 平行的直线有无数条，
且它们都不在平面 SKIPIF 1 < 0 内，
由线面平行的判定定理可知它们都与平面 SKIPIF 1 < 0 平行.
4．下列说法正确的是（ ）
A．任意三点确定一个平面
B．梯形一定是平面图形
C．平面 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 有不同在一条直线上的三个交点
D．一条直线和一个点确定一个平面
【答案】B
【解析】
A选项，不共线的三点确定一个平面，A错．
C选项，两个平面有公共点，则有一条过该公共点的公共直线，如没有公共点，则两平面平行，C错．
D选项，一条直线和直线外的一点可以确定一个平面．
B选项，两条平行直线，确定一个平面，梯形中有一组对边平行，故B对，
5．如图，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，直线 SKIPIF 1 < 0 交平面 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 四点不共面B． SKIPIF 1 < 0 四点共面
C． SKIPIF 1 < 0 三点共线D． SKIPIF 1 < 0 三点共线
【答案】D
【详解】
直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 交于点O，所以必相交于直线 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内，点 SKIPIF 1 < 0 故 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 四点共面，所以A错．
点 SKIPIF 1 < 0 若与 SKIPIF 1 < 0 共面，则直线 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内，与题目矛盾，故B错．
SKIPIF 1 < 0 为中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故C错．
6．下列图形中不一定是平面图形的是（ ）
A．三角形B．平行四边形
C．梯形D．四边相等的四边形
【答案】D
【详解】
利用公理2可知：三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形，
而四边相等的四边形可能是空间四边形不一定是平面图形．
7．在空间四边形 SKIPIF 1 < 0 的各边 SKIPIF 1 < 0 上的依次取点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 所在直线相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．点 SKIPIF 1 < 0 必在直线 SKIPIF 1 < 0 上B．点 SKIPIF 1 < 0 必在直线 SKIPIF 1 < 0 上
C．点 SKIPIF 1 < 0 必在平面 SKIPIF 1 < 0 外D．点 SKIPIF 1 < 0 必在平面 SKIPIF 1 < 0 内
【答案】B
【详解】
如图：连接EH、FG、BD，
∵EH、FG所在直线相交于点P，
∴P∈EH且P∈FG，
∵EH⊂平面ABD，FG⊂平面BCD，
∴P∈平面ABD，且P∈平面BCD，
由∵平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴P∈BD，
故选B．
8．平面 SKIPIF 1 < 0 上有不共线的三点到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离相等，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的位置关系为（ ）
A．平行B．相交C．平行或相交D．垂直
【答案】C
【详解】
由题意，若三点分布在平面 SKIPIF 1 < 0 的同侧，此时平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
若三点分布于平面 SKIPIF 1 < 0 的两侧时，此时平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 相交，
综上可知，平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 平行或相交，故选C．
9．如图，在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，用过点 SKIPIF 1 < 0 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．平面 SKIPIF 1 < 0 为截面．如下图：
10．在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，那么正方体过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的截面图是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【答案】D
【详解】
解：延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延长线与 SKIPIF 1 < 0 ,连 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点,
延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延长线与 SKIPIF 1 < 0 ,延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延长线与 SKIPIF 1 < 0 ,
连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ,交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ,则易得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的中点,
连接 SKIPIF 1 < 0 ,则截面为正六边形 SKIPIF 1 < 0 为所求截面.
如图所示:
11．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是( )
A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面
【答案】A
【详解】
连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，
∴A1，C1，A，C四点共面，
∴A1C⊂平面ACC1A1，
∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，
∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，
同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．
∴A，M，O三点共线．
12．下列说法中正确的个数是（ ）
①空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面；
②平行四边形可以确定一个平面；
③若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；
④若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上.
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】
对于①，两两相交的三条直线，若相交于同一点，则不一定共面，故①不正确；
对于②，平行四边形两组对边分别平行，则平行四边形是平面图形，故②正确；
对于③，若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故③不正确；
对于④，由公理可得，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故④正确.
拓展提升
13．如图所示，在空间四面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 .求证：
（1） SKIPIF 1 < 0 四点共面；
（2）直线 SKIPIF 1 < 0 共点.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】
（1）连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四点共面.
（2）易知 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 不平行，但共面，∴设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
∵平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴直线 SKIPIF 1 < 0 共点.
14.已知A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．
(1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．
【答案】(1)证明见解析；(2) 45°.
【详解】
(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．
(2)解：取CD的中点G，连结EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝ SKIPIF 1 < 0 AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.
15．如图所示，在正方体中，为的中点，为的中点.
求证：（1）四点共面；
（2）三线共点.
【答案】（1）见证明 （2）见证明
【详解】
证明：（1）连接.
∵分别是和的中点，
∴.
又，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴与确定一个平面，
∴四点共面．
（2）由（1）知，，且，
∴直线与必相交，设.
∵平面，，
∴平面.
又平面，，
∴平面，即是平面与平面的公共点，
又平面平面，
∴，
∴三线共点．