苏科版九年级上册1.2 一元二次方程的解法学案

一元二次方程（一）：概念及一元二次方程的

知识点一：一元二次方程的定义

一元二次方程的三要素：①只含有1未知数 ②未知数的最高次数是 2  ③ 整式方程       

只有同时满足以上三个条件的方程才是一元二次方程，不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程.判断一个方程是不是一元二次方程，一般是先把这个方程化简，在看是否符合一元二次方程的定义.

例1：下面关于的方程：①②③④，其中一元二次方程的是              

知识点二：一元二次方程的一般形式

是一元二次方程一般形式的一个重要组成部分，如果明确指出方程是一元二次方程，那么就隐含着这个条件，如果出现“关于x的方程”这样的语句，就要对方程中的a进行讨论，这一点是重要的考点之一.

指出一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号.

（3）将一个一元二次方程化为一般形式时，方程右边一定是0

例2：把下列关于x的方程化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项.

知识点三：一元二次方程的解

详解

例3：关于x的一元二次方程的一个根是0，则实数a的值是_____.

知识点四：一元二次方程的解法：

1.直接开平方法：适用于解形如                 的一元二次方程.

例：解方程：.

2.配方法：解形如                 的一元二次方程.

 例：解方程：      配方法解一元二次方程的步骤：

解：             ①二次项系数化为. (两边都除以           .)

           ②移项.(把常数项移到=号右边.)

        ③配方.(两边都加上             )

             ④配方.（化成的形式）

            ⑤求解.( 若，直接开平方法得出方程的解.)

则方程的解为：；.

3.公式法：设一元二次方程为，其根的判别式为：，，是方程的两根，则：

①方程有                     ．

②方程有                    ．

③方程                   ．

若、、为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根；

若为完全平方式，同时是的整数倍，则方程的根为整数根．

例：解方程：                       公式法解一元二次方程的步骤：

解：                ①把方程化为一般形式： ∴，，               ②确定，，的值.

∴         ③、求出的值.

∴             ④若，则代入公式求方程的根

∴，            ⑤若，则方程无解.

4.因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．

（1）提公因式分解因式法：

①解方程：                  ②解方程：

（2）运用公式分解因式法：

①解方程：           ②解方程：

（3）十字相乘分解因式法(简单、常用、重要的一元二次方程解法)：

例6：解方程：

（4）其它常见类型举例：

例7：①解方程：           ②解方程：（换元法）

1．下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（　　）

A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣＝1 C．2x+3y﹣5＝0 D．x2﹣1＝0

2．方程x2+m＝0有实数根的条件是（　　）

A．m＞0 B．m≥0 C．m＜0 D．m≤0

3.m满足条件　   　时，关于x的方程（m2﹣4）x2+mx+3＝0是一元二次方程．

4．将一元二次方程3（x+2）2＝（x+1）（x﹣1）化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式为　   　．

5.若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则4m2﹣6m+2019的值为　   　．

6.已知x2++x+＝0，则＝　   　．

7.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是　   　．

8.直接开方法：(1)．

(2)（3x﹣4）2＝（3﹣4x）2．

9．配方法

（1）x2﹣6x+6＝0．          (2)（x+3）（x﹣1）＝12（用配方法）

(3)2x2+7x﹣4＝0

10.公式法（1）x2+2x＝2     （2）3x2﹣1＝4x．

11. 因式分解法

(1)4（3x﹣2）（x+1）＝3x+3       （2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0

(3)x2+2x﹣99＝0；

1．已知一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2＝0的一个根与方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的一个根互为相反数，那么（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的根是（　　）

A．0，﹣ B．0， C．﹣1，2 D．1，﹣2

2.若实数a是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则a3+的值为　   　．

3.关于x的方程（m﹣1）x|m|+1+3x﹣2＝0是一元二次方程，则m的值为　   　．

4.已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝8．则x2+y2的值为　   　．

5.若关于x的方程x2﹣mx+2m＝0有两个相等的实数根，则代数式2m2﹣16m+5的值为　   　．

6.已知关于x的一元二次方程kx2﹣（k﹣1）x+k＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围　   　．

7．关于x的一元二次方程（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54＝0

（1）求方程的解；

（2）若方程的解为整数，求k值．

1．若2x2+3与2x2﹣4互为相反数，则x为（　　）

A． B．2 C．±2 D．±

2．当a＝　   　时，（a﹣3）x|a|﹣1﹣x＝5是关于x的一元二次方程．

3．若方程（k﹣3）xk﹣2+x2+kx+1＝0是关于x的一元二次方程，则k＝　   　．

4．若（m﹣1）xm（m+2）﹣1+2mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是　 　．

5.若关于x的一元二次方程2x2+（2k+1）x﹣（4k﹣1）＝0的二次项系数、一次项系数、常数项的和是0，则k＝　   　．

6.如果，那么＝　   　．

7．关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一根大于3，求m的取值范围．