辽宁省锦州市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试卷 Word版含解析

这是一份辽宁省锦州市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试卷 Word版含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


辽宁省锦州市2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1.已知P(B|A)＝ 13 ，P(A)＝ 25 ，则P(AB)等于(   )

A. 56                                        B. 910                                        C. 215                                        D. 115
2.在数列 {an} 中， a1=12 ， an+1=1-1an ，则 a5= （    ）
A. -2                                          B. -1                                          C. 12                                          D. 2
3.播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子.用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为（    ）
A. 0.8                                 B. 0.832 5                                 C. 0.532 5                                 D. 0.482 5
4.《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为（    ）
A. 1.5尺                                   B. 2.5尺                                   C. 3.5尺                                   D. 4.5尺
5.李克强总理提出，要在960万平方公里土地上掀起“大众创业”､“草根创业”的新浪潮，形成“万众创新”､“人人创新”的新势态.为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工的休假概率均为 13 ，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业.则两家店铺该节假日能正常开业的概率为（    ）
A. 19                                          B. 49                                          C. 59                                          D. 89
6.已知 f(x)=alnx+12x2(a>0) ，若对任意两个不等的正实数 x1 ， x2 ，都有 f(x1)-f(x2)x1-x2>2 恒成立，则a的取值范围是（   ）
A. (0,1]                                 B. (1,+∞)                                 C. (0,1)                                 D. [1,+∞)
7.今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额约是（    ）万元.（四舍五入，精确到整数）
（参考数据： (1.05)2=1.1025 ， (1.05)3=1.1576 ， (1.05)4=1.2155 ）
A. 36                                         B. 37                                         C. 38                                         D. 39
8.下列函数图象中，函数 f(x)=xαe|x|(α∈Z) 的图象不可能的是（    ）
A.                                           B. 
C.                                   D. 
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
9.下列命题正确的是（    ）
A. 将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数 a 后，方差也变为原来的 a 倍
B. 抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量
C. 线性相关系数 r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
D. 若回归直线的斜率估计值为0.25， x=2 ， y=3 ，则回归直线的方程为 y=0.25x+2.5
10.“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其密度曲线函数为 f(x)=1102πe-(x-100)2200,x∈(-∞,+∞) ，则下列说法正确的是（    ）
A. 该地水稻的平均株高为100cm
B. 该地水稻株高的方差为10
C. 随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大
D. 随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(单位：cm)的概率一样大
11.已知函数f(x)的定义域[-1, 5]，部分对应值如表，f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示，下列关于函数f(x)的结论正确的是（   ）
x
-1
0
4
5
f(x)
1
2
2
1

A. 函数f(x)的极大值点有2个
B. 函数f(x)在[0, 2]上是减函数
C. 若x∈[-1, t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4
D. 当1 12.已知数列 {an}, {bn} 均为递增数列， {an} 的前n项和为 Sn, {bn} 的前n项和为 Tn, 且满足 an+an+1=2n, bn⋅bn+1=2n(n∈N*) ，则下列结论正确的是（    ）
A. 0 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.随机变量 ξ~B(n,p) ，若 E(ξ)=30 ， D(ξ)=20 ，则 n= ________.
14.写出一个满足下列条件的三次多项式函数：① R 上的奇函数；②在 x=1 处的切线斜率为4，则 f(x) 可以为________.
15.已知函数 f(x)=lnxx ， g(x)=xex ，若存在 x1>0 ， x2∈R ，使得 f(x1)=g(x2)<0 成立，则 x1x2 的最小值为________.
16.已知等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ， Sn=2n-a ，则 a= ________； 1a2019+1a2021 ________ 2a2020 .（填“ > ”，“ = ”或“ < ”）
四、解答题(本大题共70分)
17.已知数列 {an} 满足： a1=1 ，且___________，其中 n∈N* ，从① an+1-2an=n-1 ，② an+1-an=2n-1 ，③ an+1an=2+n-12n-n 三个条件中任选一个填入上面的横线中，并完成下列问题解答.
（1）求数列 {an} 的通项公式；
（2）设 bn=1(2n-an)(n+2) ， Sn 为数列 {bn} 的前 n 项和，求 Sn .
18.为助力湖北新冠疫情后的经济复苏，某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场.为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据：
单价x（元/件）
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y（万件）
90
84
83
80
75
68
（1）根据以上数据，求y关于x的线性回归方程；
（2）若该产品成本是7元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润？
（参考公式：回归方程y=bx+a，其中b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2，a=y-bx）
19.设 a 为实数，函数 f(x)=ex-2x+a ， x∈R .
（1）求函数 f(x) 的单调区间与极值；
（2）求证：当 a>ln2-1 ，且 x>0 时，有 ex>x2-2ax+1 .
20.受新冠疫情影响，来我市旅游人数与前几年同期相比有所减少，某土特产超市为预估2021年暑假期间游客购买土特产的情况来制定进货方案，对2020年暑假期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下购买金额及人数分布表：
购买金额（元）
[0,15)
[15,30)
[30,45)
[45,60)
[60,75)
[75,90]
人数
10
15
20
15
20
10
（1）根据以上数据完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关；

不少于60元
少于60元
合计
男

40

女
18


合计



（2）售货员佳佳发现：沟帮子烧鸡、锦州小菜、真空包装干豆腐这三种特产成为了本店的“明星”商品.若有一位顾客需要在预选的包括这三种“明星”商品在内的7件（种类均不同）产品中挑选4件特产带回家，求购买的4件特产中包含“明星”商品的件数X的分布列及期望.
附：参考公式和数据：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d .
附表：
k0
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
P（K2≥k0）
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
21.已知函数 f(x)=(a-x)sinx-cosx .
（1）当 a=2 时，证明: f(x) 在 (0,π) 上有唯一零点；
（2）若 f(x)≤2 对 ∀x∈(0,π) 恒成立，求实数 a 的取值范围.
22.       
（1）某中学理学社为了吸收更多新社员，在校团委的支持下，在高一学年组织了抽签赠书活动.月初报名，月末抽签，最初有30名同学参加.社团活动积极分子甲同学参加了活动.
①第一个月有18个中签名额.甲先抽签，乙和丙紧随其后抽签.求这三名同学同时中签的概率.
②理学社设置了第 n ( n∈N+ )个月中签的名额为 2n+16 ，并且抽中的同学退出活动，同时补充新同学，补充的同学比中签的同学少2个，如果某次抽签的同学全部中签，则活动立刻结束.求甲同学参加活动时间的期望.
（2）某出版集团为了扩大影响，在全国组织了抽签赠书活动.报名和抽签时间与（1）中某中学理学社的报名和抽签时间相同，最初有30万人参加，甲同学在其中.每个月抽中的人退出活动，同时补充新人，补充的人数与中签的人数相同.出版集团设置了第 n ( n∈N+ )个月中签的概率为 pn=19+(-1)n180 ，活动进行了 2k(k∈N+) 个月，甲同学很幸运，中签了，在此条件下，求证：甲同学参加活动时间的均值小于 9.5 个月.

答案解析部分
一、单选题
1.已知P(B|A)＝ 13 ，P(A)＝ 25 ，则P(AB)等于(   )
A. 56                                        B. 910                                        C. 215                                        D. 115
【答案】 C
【考点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】由条件概率公式变形得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝ 13×25=215 ，
故答案为：C.
【分析】由已知条件利用条件概率计算公式直接求解．
2.在数列 {an} 中， a1=12 ， an+1=1-1an ，则 a5= （    ）
A. -2                                          B. -1                                          C. 12                                          D. 2
【答案】 B
【考点】数列递推式
【解析】【解答】由题意，数列 {an} 中， a1=12 ， an+1=1-1an ，
可得 a2=1-1a1=-1,a3=1-1a2=2,a4=1-1a3=12,a5=1-1a4=-1 。
故答案为：B.

【分析】利用已知条件结合递推公式求出数列第五项的值。
3.播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子.用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为（    ）
A. 0.8                                 B. 0.832 5                                 C. 0.532 5                                 D. 0.482 5
【答案】 D
【考点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是A1 ， A2 ， A3 ， A4 ，
则它们构成样本空间的一个划分，设B为“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，则： P(B)=i=14P(Ai)P(B|Ai)=95.5%×0.5+2%×0.15+1.5%×0.1+1%×0.05=0.4825 。
故答案为：D.

【分析】设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是A1 ， A2 ， A3 ， A4 ， 则它们构成样本空间的一个划分，设B为“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，再利用条件概率公式结合求和公式，从而求出事件B的概率，进而求出这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率。
4.《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为（    ）
A. 1.5尺                                   B. 2.5尺                                   C. 3.5尺                                   D. 4.5尺
【答案】 D
【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和
【解析】【解答】∵夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列 {an} ，设其首项为 a1 ，公差为d，
根据题意 {S9=49.5a1+a3+a5=10.5⇒{9a1+36d=49.53a1+6d=10.5⇒{a1=1.5d=1 ，
∴立秋的晷长为 a4=1.5+3=4.5 .
故答案为：D

【分析】由题意可设等差数列为 {an} ，其首项为 a1 ，公差为d，可得{S9=49.5a1+a3+a5=10.5 ， 进而求解首项和公差，利用等差数列的通项公式求解a4.
5.李克强总理提出，要在960万平方公里土地上掀起“大众创业”､“草根创业”的新浪潮，形成“万众创新”､“人人创新”的新势态.为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工的休假概率均为 13 ，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业.则两家店铺该节假日能正常开业的概率为（    ）
A. 19                                          B. 49                                          C. 59                                          D. 89
【答案】 D
【考点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】设两家店铺都不能正常营业为事件A，若有四人休假概率为 (13)4=181 ，有三个人休假的概率为 C43(13)3(23)=881 ，所以两家店铺都不能正常营业的概率为 P(A)=181+881=19 ，所以两家店铺该节假日能正常开业的概率为 1-P(A)=89 .
故答案为：D.

【分析】设两家店铺都不能正常营业为事件A，则应该包括四人休假或三人休假分别计算概率再求和，最后求事件A的对立事件的概率可得答案。
6.已知 f(x)=alnx+12x2(a>0) ，若对任意两个不等的正实数 x1 ， x2 ，都有 f(x1)-f(x2)x1-x2>2 恒成立，则a的取值范围是（   ）
A. (0,1]                                 B. (1,+∞)                                 C. (0,1)                                 D. [1,+∞)
【答案】 D
【考点】函数恒成立问题，利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】根据 f(x1)-f(x2)x1-x2>2 可知 f(x1)-2x1-[f(x2)-2x2]x1-x2>0 ，
令 g(x)=f(x)-2x=alnx+12x2-2x(a>0) 为增函数，
所以 g'(x)=ax+x-2≥0(x>0,a>0) 恒成立，
分离参数得 a≥x(2-x) ，
而当 x>0 时， x(2-x) 最大值为 1 ，故 a≥1 。
故答案为：D

【分析】利用已知条件结合不等式恒成立问题的解决方法，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最值，进而求出实数a的取值范围。
7.今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额约是（    ）万元.（四舍五入，精确到整数）
（参考数据： (1.05)2=1.1025 ， (1.05)3=1.1576 ， (1.05)4=1.2155 ）
A. 36                                         B. 37                                         C. 38                                         D. 39
【答案】 B
【考点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】解：设每次还款额为 x 万元，由题意得
100(1+5%)3=x+x(1+5%)+x(1+5%)2 ，
100×1.053=x+1.05x+1.052x ，
115.76=x+1.05x+1.1025x ，
3.1525x=115.76 ，
x≈37 。
故答案为：B

【分析】利用实际问题的已知条件找出合适的函数模型，再利用函数模型求出每次的还款额。
8.下列函数图象中，函数 f(x)=xαe|x|(α∈Z) 的图象不可能的是（    ）
A.                                           B. 
C.                                   D. 
【答案】 C
【考点】函数的图象，指数函数的图象与性质
【解析】【解答】当 α=2 时， f(x)=x2e|x| ，定义域为 R 关于原点对称.
f(-x)=(-x)2e|-x|=x2e|x|=f(x) ，则 f(x) 为偶函数.
当 x>0 时， f(x)=x2ex .
则 f'(x)=(x2ex)'=(x2)'ex+(ex)'x2=2xex+x2ex=xex(2+x)>0
即函数 f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增，则函数 f(x) 在 (-∞,0] 上单调递减.
此时函数 f(x) 的图象可能为 A 选项.
当 α=-2 时， f(x)=e|x|x2 ，定义为 {x|x∈R 且 x≠0} 关于原点对称.
f(-x)=e|-x|(-x)2=e|x|x2=f(x) ，则 f(x) 为偶函数.
当 x>0 时， f(x)=exx2 .
则 f'(x)=(exx2)'=(ex)'x2-(x2)'ex(x2)2=x2ex-2xexx4=ex(x-2)x3
当 0 当 x≥2 时 f'(x)≥0 ，即则函数 f(x) 在 [2,+∞) 上单调递增.
根据对称性可知，此时函数 f(x) 的图象可能为 B 选项.
当 α=1 时， f(x)=xe|x| ，定义为 R 关于原点对称.
f(-x)=(-x)e|-x|=-xe|x|=-f(x) ，则 f(x) 为奇函数.
当 x>0 时， f(x)=xex .
则 f'(x)=(xex)'=(x)'ex+(ex)'x=ex+xex=ex(1+x)>0
令 g(x)=ex(1+x) ，则 g'(x)=[ex(1+x)]'=(ex)'(1+x)+(ex)(1+x)'=ex(x+2)>0
即 f'(x)>0 并且在 (0,+∞) 上单调递增，并且 f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增.
根据对称性可知，此时函数 f(x) 的图象可能为 D 选项.
故选：C
【分析】当 α=2 时，验证 A 正确. 当 α=-2 时，验证 B 正确. 当 α=1 时，验证 D 正确.
二、多选题
9.下列命题正确的是（    ）
A. 将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数 a 后，方差也变为原来的 a 倍
B. 抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量
C. 线性相关系数 r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
D. 若回归直线的斜率估计值为0.25， x=2 ， y=3 ，则回归直线的方程为 y=0.25x+2.5
【答案】 B,D
【考点】极差、方差与标准差，两个变量的线性相关，线性回归方程，相关系数，连续型随机变量
【解析】【解答】对于A选项，将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数 a 后，方差也变为原来的 a2 倍，A选项错误；
对于B选项，抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是 0 次或 1 次，故是随机变量，B选项正确；
对于C选项，线性相关系数 r<0 且越大，两个变量的线性相关性越弱，C选项错误；
对于D选项，由题知 b=0.25,a=y-bx=3-2×0.25=2.5 ，回归直线的方程为 y=0.25x+2.5 ，D选项正确.
故答案为：BD

【分析】利用已知条件结合方差之间的关系得出将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数 a 后，方差也变为原来的 a2 倍；利用随机变量的定义得出抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量；利用相关系数与两变量线性相关性强弱的关系，得出线性相关系数 r<0 且越大，两个变量的线性相关性越弱；利用回归直线的斜率估计值为0.25， x=2 ， y=3 结合代入法求出b^=0.25,a^=2.5 ， 进而求出线性回归直线方程，从而找出命题正确的选项。
10.“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其密度曲线函数为 f(x)=1102πe-(x-100)2200,x∈(-∞,+∞) ，则下列说法正确的是（    ）
A. 该地水稻的平均株高为100cm
B. 该地水稻株高的方差为10
C. 随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大
D. 随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(单位：cm)的概率一样大
【答案】 A,C
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】 f(x)=1102πe-(x-100)2200 ，故 μ=100 ， σ2=100 ，A符合题意B不符合题意；
p(x>120)=p(x<80)>p(x<70) ，C符合题意；
根据正态分布的对称性知： p(100p(80 故答案为：AC.
【分析】根据函数解析式得到 μ=100 ， σ2=100 ，A符合题意B不符合题意，根据正态分布的对称性得到C符合题意D不符合题意，得到答案.
11.已知函数f(x)的定义域[-1, 5]，部分对应值如表，f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示，下列关于函数f(x)的结论正确的是（   ）
x
-1
0
4
5
f(x)
1
2
2
1

A. 函数f(x)的极大值点有2个
B. 函数f(x)在[0, 2]上是减函数
C. 若x∈[-1, t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4
D. 当1 【答案】 A,B
【考点】利用导数研究函数的单调性，函数在某点取得极值的条件，利用导数求闭区间上函数的最值，函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由 f'(x) 的图象，
当 -1≤x<0 或 20 ，
函数 f(x) 为增函数，
当 0 函数 f(x) 为减函数，
即当 x=0 时，函数 f(x) 取得极大值，当 x=4 时，函数 f(x) 取得极大值，
即函数 f(x) 有两个极大值点，A符合题意，
函数 f(x) 在 [0, 2] 上是减函数，B符合题意，
作出 f(x) 的图象如图:

若 x∈[-1, t] 时， f(x) 的最大值是2，
则 t 满足 0≤t≤5 ，即 t 的最大值是5，C不符合题意，
由 y=f(x)-a=0 得 f(x)=a ，
若 f(2)≤1 ，当 1 若 1 故函数 y=f(x)-a 有4个零点不一定正确，D不符合题意，
故答案为：AB

【分析】由 f'(x) 的图象，再利用求导的方法判断函数的单调性的方法，从而判断函数的单调性，进而求出函数的极大值点和极大值，即函数 f(x) 有两个极大值点；再利用函数的图像求出当 x∈[-1, t]时的函数 f(x) 的最大值是2，则 t 满足 0≤t≤5 ，即 t 的最大值是5；由 y=f(x)-a=0 得 f(x)=a ，再利用分类讨论的方法结合函数的图像和直线y=a的图像求交点的方法，再结合函数f(x)与直线y=a的交点的横坐标与方程的根、函数y=f(x)-a的零点的等价关系，从而得出函数 y=f(x)-a 有4个零点不一定正确，进而找出关于函数f(x)的结论正确的选项。
12.已知数列 {an}, {bn} 均为递增数列， {an} 的前n项和为 Sn, {bn} 的前n项和为 Tn, 且满足 an+an+1=2n, bn⋅bn+1=2n(n∈N*) ，则下列结论正确的是（    ）
A. 0 【答案】 A,B,C
【考点】数学归纳法
【解析】【解答】因为数列 {an} 为递增数列，
所以 a1 所以 2a1 又 2a2 所以 a1>0 ，即 0 因为 {bn} 为递增数列，
所以 b1 所以 b12 又 b22 所以 b1>1 ，即 1 {an} 的前2n项和为 S2n=(a1+a2)+(a3+a4)+⋅⋅⋅+(a2n-1+a2n)
= 2[1+3+⋅⋅⋅+(2n-1)]=2n(1+2n-1)2=2n2 ，
因为 bn⋅bn+1=2n ，则 bn+1⋅bn+2=2n+1 ，所以 bn+2=2bn ，
则 {bn} 的2n项和为 T2n=(b1+b3+⋅⋅⋅+b2n-1)+(b2+b4+⋅⋅⋅+b2n)
= b1(20+21+⋅⋅⋅+2n-1)+b2(20+21+⋅⋅⋅+2n-1)=(b1+b2)(2n-1)
>2b1b2(2n-1)=22(2n-1) ，
当n=1时， S2=2,T2>22 ，所以 T2>S2 ，D不符合题意；
当 n≥2 时
假设当n=k时， 22(2k-1)>2k2 ，即 2(2k-1)>k2 ，
则当n=k+1时， 2(2k+1-1)=2(2k+2k-1)=2k2+2(2k+1-1)>2k2+k2
>k2+2k+1=(k+1)2
所以对于任意 n∈N* ，都有 22(2k-1)>2k2 ，即 T2n>S2n ，C符合题意
故答案为：ABC

【分析】利用数列单调性及题干条件可求出a1，b1范围；求出数列 {an}, {bn}  的前2n项和的表达式，利用数学归纳法即可证明其大小关系，即可得出答案。
三、填空题
13.随机变量 ξ~B(n,p) ，若 E(ξ)=30 ， D(ξ)=20 ，则 n= ________.
【答案】 90
【考点】离散型随机变量的期望与方差，二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】解：因为随机变量 ξ 服从二项分布 ξ~B(n,p) ，且 E(ξ)=30 ， D(ξ)=20 ，
所以 {E(ξ)=np=30D(ξ)=np(1-p)=20 ，解得 p=13,n=90 。
故答案为：90。

【分析】因为随机变量 ξ 服从二项分布 ξ~B(n,p) ，且 E(ξ)=30 ， D(ξ)=20 ，再利用二项分布期望和方差公式，从而解方程组求出n,p的值。
14.写出一个满足下列条件的三次多项式函数：① R 上的奇函数；②在 x=1 处的切线斜率为4，则 f(x) 可以为________.
【答案】f(x)=x3+x （答案不唯一，设 f(x)=ax3+bx(a≠0) 只要满足 3a+b=4(a≠0) 即可.）
【考点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】可设 f(x)=ax3+bx2+cx+d ，
因为 f(x) 为 R 上的奇函数，所以 f(-x)+f(x)=0 ，即 a(-x)3+b(-x)2+c(-x)+d+ax3+bx2+cx+d=0 恒成立，解得： b=0,d=0 ，
所以 f(x)=ax3+cx ， 由f(x)=ax3+cx在 x=1 处的切线斜率为4，得 f'(1)=3a+c=4 ，不妨取 a=1,c=1 ，则 f(x)=x3+x 。
故答案为： f(x)=x3+x （答案不唯一，设 f(x)=ax3+bx(a≠0) 只要满足 3a+b=4(a≠0) 即可。）

【分析】利用已知条件，可设 f(x)=ax3+bx2+cx+d ，因为 f(x) 为 R 上的奇函数，再利用奇函数的定义结合等式恒成立问题求解方法，得出b=0,d=0 ， 由f(x)=ax3+cx在 x=1 处的切线斜率为4，利用导数的几何意义得出 f'(1)=3a+c=4 ，不妨取 a=1,c=1 ，从而求出函数的解析式为 f(x)=x3+x 。
15.已知函数 f(x)=lnxx ， g(x)=xex ，若存在 x1>0 ， x2∈R ，使得 f(x1)=g(x2)<0 成立，则 x1x2 的最小值为________.
【答案】-1e
【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】函数 f(x) 的定义域为 (0,+∞) ， f'(x)=1-lnxx2 ，
∴ 当 x∈(0,e) 时， f'(x)>0 ， f(x) 单调递增，当 x∈(e,+∞) 时， f'(x)<0 ， f(x) 单调递减，又因为 f(1)=0 ，所以 x∈(0,1) 时， f(x)<0 ； x∈(1,e) 时， f(x)>0 ； x∈(e,+∞) 时， f(x)>0 ，同时注意到 g(x)=xex=lnexex=f(ex) ，
所以若存在 x1∈(0,+∞) ， x2∈R ，使得 f(x1)=g(x2)<0 成立，
则 0 所以 x1=ex2(x2<0) ，所以 x1x2=x2ex2 ，
所以构造函数 h(x)=xex(x<0) ，而 h'(x)=ex(1+x) ，
当 x∈(-1,0) 时， h'(x)>0 ， h(x) 单调递增；当 x∈(-∞,-1) 时， h'(x)<0 ， h(x) 单调递减，所以 h(x)最小值=h(-1)=-1e ，即 (x1x2)最小值=-1e 。
故答案为： -1e 。

【分析】利用求导的方法判断函数f(x)的单调性，又因为 f(1)=0 ，所以当 x∈(0,1) 时， f(x)<0 ；当 x∈(1,e) 时， f(x)>0 ；当 x∈(e,+∞) 时， f(x)>0 ，同时注意到 g(x)=xex=lnexex=f(ex) ，所以若存在 x1∈(0,+∞) ， x2∈R ，使得 f(x1)=g(x2)<0 成立，则 0 16.已知等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ， Sn=2n-a ，则 a= ________； 1a2019+1a2021 ________ 2a2020 .（填“ > ”，“ = ”或“ < ”）
【答案】 1；>
【考点】不等式比较大小，等比数列的前n项和
【解析】【解答】根据题意，等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ， Sn=2n-a ，
当 n=1 时， a1=S1=2-a ；
当 n=2 时， a2=S2-S1=(22-a)-(2-a)=2 ；
当 n=3 时， a3=S3-S2=(23-a)-(22-a)=4 ，
由 (a2)2=a1×a3 ，即 4×(2-a)=4 ，可得 a=1 ；
所以 Sn=2n-1 ，其中 a1=1 ，公比 q=2 ，
则有 1a2019+1a2021=2a2020+12a2020=1a2020(2+12)>2a2020 。
故答案为：1； > 。

【分析】利用等比数列前n项和公式结合已知条件，再利用赋值法结合等比中项公式，从而利用等比数列前三项的值求出a的值；再利用等比数列前n项和公式结合等比数列的首项求出公比，再利用等比数列的通项公式结合作差比较大小的方法，进而比较出1a2019+1a2021，2a2020二者的大小。
四、解答题
17.已知数列 {an} 满足： a1=1 ，且___________，其中 n∈N* ，从① an+1-2an=n-1 ，② an+1-an=2n-1 ，③ an+1an=2+n-12n-n 三个条件中任选一个填入上面的横线中，并完成下列问题解答.
（1）求数列 {an} 的通项公式；
（2）设 bn=1(2n-an)(n+2) ， Sn 为数列 {bn} 的前 n 项和，求 Sn .
【答案】 （1）若选①：因为数列 {an} 满足 a1=1 ， an+1-2an=n-1(n∈N*) ，
可得 an+1+n+1an+n=2an+n-1+n+1an+n=2 ，即公比 q=2 ，且 a1+1=2 ，
所以数列 {an+n} 是首项为2，公比为2的等比数列，
可得 an+n=2n ，故 an=2n-n ；
若选②：数列 {an} 满足 a1=1 ， an+1-an=2n-1 ，
当 n≥2 时，
an-a1=an-an-1+an-1-an-2+⋯+a2-a1=2+22+⋯+2n-1-n+1=2n-n-1 ，
因为 a1=1 ，可得 an=2n-n .
当 n=1 时， a1=1 满足 an=2n-n ，故 an=2n-n ；
若选③：数列 {an} 满足 a1=1 ， an+1an=2+n-12n-n=2n+1-n-12n-n ，
所以 an+12n+1-(n+1)=an2n-n 对于 n∈N* 恒成立，
则必有： an2n-n=an-12n-1-(n-1)=⋅⋅⋅=a12-1=1 ，所以 an=2n-n .

（2）由题意及（1）知： bn=1(2n-an)(n+2)=1n⋅(n+2)=12(1n-1n+2) ，
所以 Sn=12[(1-13)+(12-14)+(13-15)+⋅⋅⋅+(1n-1-1n+1)+(1n-1n+2)]
=12(1+12-1n+1-1n+2)=34-2n+32(n+1)(n+2) .
【考点】函数恒成立问题，数列的概念及简单表示法，等比数列，数列的求和，数列递推式
【解析】【分析】 （1）  若选①：因为数列 {an} 满足 a1=1 ， an+1-2an=n-1(n∈N*) ，再利用递推公式变形结合等比数列的定义，得出数列 {an+n} 是首项为2，公比为2的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出数列 {an} 的通项公式。
若选②：数列 {an} 满足 a1=1 ， an+1-an=2n-1 ，再利用递推公式变形，得出当 n≥2 时，
an-a1=an-an-1+an-1-an-2+⋯+a2-a1=2+22+⋯+2n-1-n+1=2n-n-1 ，
因为 a1=1 ，可得 an=2n-n ，当 n=1 时， a1=1 满足 an=2n-n ，从而求出数列 {an} 的通项公式。
若选③：数列 {an} 满足 a1=1 ， an+1an=2+n-12n-n=2n+1-n-12n-n ，所以 an+12n+1-(n+1)=an2n-n 对于 n∈N* 恒成立，再利用等式恒成立问题求解方法，则必有： an2n-n=an-12n-1-(n-1)=⋅⋅⋅=a12-1=1 ，从而求出数列 {an} 的通项公式。
（2）利用（1）求出的数列 {an} 的通项公式结合已知条件 bn=1(2n-an)(n+2) ， 从而求出数列 {bn} 的通项公式，再利用裂项相消的方法，从而求出数列 {bn} 的前 n 项和 。
18.为助力湖北新冠疫情后的经济复苏，某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场.为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据：
单价x（元/件）
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y（万件）
90
84
83
80
75
68
（1）根据以上数据，求y关于x的线性回归方程；
（2）若该产品成本是7元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润？
（参考公式：回归方程y=bx+a，其中b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2，a=y-bx）
【答案】 （1）解： x=8+8.2+8.4+8.6+8.8+96=8.5 ，
y=90+84+83+80+75+686=80 ，
i=16(xi-x)(yi-y)=(8-8.5)(90-80)+(8.2-8.5)(84-80)+(8.4-8.5)(83-80)
+(8.6-8.5)(80-80)+(8.8-8.5)(75-80)+(9-8.5)(68-80)=-14 ，
i=16(xi-x)2=(8-8.5)2+(8.2-8.5)2+(8.4-8.5)2+(8.6-8.5)2+(8.8-8.5)2
+(9-8.5)2=0.7 ，
∴ b=i=16(xi-x)(yi-y)i=16(xi-x)2=-140.7=-20 .
∴ a=y-bx=80+20×8.5=250 ，
∴回归直线方程为 y=-20x+250 .

（2）设工厂获得的利润为 L 万元，则 L=(x-7)(-20x+250)
=-20(x-9.75)2+151.25 ，
∴该产品的单价定为9.75元时，工厂获得利润最大，最大利润为151.25万元.
【考点】二次函数在闭区间上的最值，线性回归方程，回归分析的初步应用
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合最小二乘法，从而求出 y 关于 x 的线性回归方程。
（2） 设工厂获得的利润为 L 万元，结合 y 关于 x 的线性回归方程，则L=(x-7)(-20x+250)=-20(x-9.75)2+151.25 ，再利用二次函数的图像求最值的方法，进而得出该产品的单价定为9.75元时，工厂获得利润最大，最大利润为151.25万元。
19.设 a 为实数，函数 f(x)=ex-2x+a ， x∈R .
（1）求函数 f(x) 的单调区间与极值；
（2）求证：当 a>ln2-1 ，且 x>0 时，有 ex>x2-2ax+1 .
【答案】 （1）由题意，函数 f(x)=ex-2x+a ，可得 f'(x)=ex-2 ，
令 f'(x)=ex-2>0 ，解得 x>ln2 ，
所以 f(x) 的单调递减区间是 (-∞,ln2] ，单调递增区间是 [ln2,+∞) .
因为 f(x) 在 (-∞,ln2] 上单调递减，在 [ln2,+∞) 上单调递增，
所以 f(x)极小值=f(ln2)=eln2-2ln2+a=2-2ln2+a .

（2）设 g(x)=ex-x2+2ax-1 ， x∈R ，
可得 g'(x)=ex-2x+2a=(ex-2x+a)+a ， x∈R ，
由（1）知， g'(x)≥2-2ln2+a+a=2(1-ln2+a) ，
当 a>ln2-1 时， g'(x)>2(1-ln2+ln2-1)=0 ，
于是对任意 x∈R ，都有 g'(x)>0 ，所以 g(x) 在 R 内单调递增，
所以当 a>ln2-1 对任意的 x>0 ，都有 g(x)>g(0)=0 成立，
即 g(x)=ex-x2+2ax-1>0 ，即 ex>x2-2ax+1 成立.
【考点】函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的单调区间，进而求出函数的极值。
（2） 设 g(x)=ex-x2+2ax-1 ， x∈R ，再利用导数的运算法则求出其导函数，则 g'(x)=ex-2x+2a=(ex-2x+a)+a ， x∈R ，由（1）知， g'(x)≥2-2ln2+a+a=2(1-ln2+a) ，当 a>ln2-1 时， g'(x)>2(1-ln2+ln2-1)=0 ，可知对任意 x∈R ，都有 g'(x)>0 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，所以 g(x) 在 R 内单调递增，再利用函数的单调性得出当 a>ln2-1 对任意的 x>0 ，都有 g(x)>g(0)=0 成立，从而证出当 a>ln2-1 且 x>0 时，有 ex>x2-2ax+1 成立。
20.受新冠疫情影响，来我市旅游人数与前几年同期相比有所减少，某土特产超市为预估2021年暑假期间游客购买土特产的情况来制定进货方案，对2020年暑假期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下购买金额及人数分布表：
购买金额（元）
[0,15)
[15,30)
[30,45)
[45,60)
[60,75)
[75,90]
人数
10
15
20
15
20
10
（1）根据以上数据完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关；

不少于60元
少于60元
合计
男

40

女
18


合计



（2）售货员佳佳发现：沟帮子烧鸡、锦州小菜、真空包装干豆腐这三种特产成为了本店的“明星”商品.若有一位顾客需要在预选的包括这三种“明星”商品在内的7件（种类均不同）产品中挑选4件特产带回家，求购买的4件特产中包含“明星”商品的件数X的分布列及期望.
附：参考公式和数据：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d .
附表：
k0
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
P（K2≥k0）
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
【答案】（1）根据题意，得到2×2列联表如下：

不少于60元
少于60元
合计
男
12
40
52
女
18
20
38
合计
30
60
90
可得K2=90×(12×20-40×18)230×60×52×38=1440247≈5.830>3.841，
因此有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.

（2）由题意，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，且X的分布列是一个超几何分布列，
可得P(x=0)=C30C44C74=135，P(x=1)=C31C43C74=1235，
P(x=2)=C32C42C74=1835，P(x=3)=C33C41C74=435 .
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
135
1235
1835
435
所以期望为E(x)=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127 .
【考点】独立性检验的应用，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件完成 2×2 列联表，再利用列联表中的数据结合独立性检验的方法，判断出有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有。
（2） 由题意可知随机变量 X 的可能取值为0，1，2，3，且 X 的分布列是一个超几何分布列， 再利用超几何分布求概率的方法求出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量X的数学期望。
21.已知函数 f(x)=(a-x)sinx-cosx .
（1）当 a=2 时，证明: f(x) 在 (0,π) 上有唯一零点；
（2）若 f(x)≤2 对 ∀x∈(0,π) 恒成立，求实数 a 的取值范围.
【答案】 （1）当 a=2 时， f(x)=(2-x)sinx-cosx
∴f'(x)=-sinx+(2-x)cosx+sinx=(2-x)cosx
当 x∈(0,π2) 和 (2,π) 时， f'(x)>0 ；当 x∈(π2,2) 时， f'(x)<0
∴f(x) 在 (0,π2) ， (2,π) 上单调递增；在 (π2,2) 上单调递减
∵f(0)=-1<0 ， f(π2)=2-π2>0     ∴f(x) 在 (0,π2) 有一个零点
∵f(2)=-cos2>0     ∴f(x) 在 (π2,2) 上没有零点
∵f(π)=1>0     ∴f(x) 在 (2,π) 上没有零点
综上所述： f(x) 在 (0,π) 上有唯一零点

（2）当 x∈(0,π) 时， f(x)≤2 恒成立等价于 a≤x+2+cosxsinx 对 ∀x∈(0,π) 恒成立
令 g(x)=x+2+cosxsinx ， x∈(0,π)
则 g'(x)=1+-sin2x-(2+cosx)cosxsin2x=-cosx(2+cosx)sin2x
∴ 当 x∈(0,π2) 时， g'(x)<0 ；当 x∈(π2,π) 时， g'(x)>0
∴g(x) 在 (0,π2) 上单调递减，在 (π2,π) 上单调递增
∴g(x)min=g(π2)=2+π2     ∴a≤2+π2
即 a 的取值范围为： (-∞,2+π2]
【考点】函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，函数零点的判定定理
【解析】【分析】（1） 当 a=2 时， 从而求出函数的解析式为f(x)=(2-x)sinx-cosx ， 再利用求导的方法判断函数的单调性，则函数f(x) 在 (0,π2) ， (2,π) 上单调递增，在 (π2,2) 上单调递减，再利用零点存在性定理得出函数  f(x) 在 (0,π2) 有一个零点，函数  f(x) 在 (π2,2) 上没有零点，函数   f(x) 在 (2,π) 上没有零点，综上所述，从而证出函数 f(x) 在 (0,π) 上有唯一零点。
（2） 当 x∈(0,π) 时， f(x)≤2 恒成立等价于 a≤x+2+cosxsinx 对 ∀x∈(0,π) 恒成立，令 g(x)=x+2+cosxsinx ， x∈(0,π) ， 再利用求导的方法判断函数g(x)=x+2+cosxsinx的单调性，从而求出函数g(x)=x+2+cosxsinx的最小值，再利用不等式恒成立问题求解方法，进而求出实数a的取值范围。
22.       
（1）某中学理学社为了吸收更多新社员，在校团委的支持下，在高一学年组织了抽签赠书活动.月初报名，月末抽签，最初有30名同学参加.社团活动积极分子甲同学参加了活动.
①第一个月有18个中签名额.甲先抽签，乙和丙紧随其后抽签.求这三名同学同时中签的概率.
②理学社设置了第 n ( n∈N+ )个月中签的名额为 2n+16 ，并且抽中的同学退出活动，同时补充新同学，补充的同学比中签的同学少2个，如果某次抽签的同学全部中签，则活动立刻结束.求甲同学参加活动时间的期望.
（2）某出版集团为了扩大影响，在全国组织了抽签赠书活动.报名和抽签时间与（1）中某中学理学社的报名和抽签时间相同，最初有30万人参加，甲同学在其中.每个月抽中的人退出活动，同时补充新人，补充的人数与中签的人数相同.出版集团设置了第 n ( n∈N+ )个月中签的概率为 pn=19+(-1)n180 ，活动进行了 2k(k∈N+) 个月，甲同学很幸运，中签了，在此条件下，求证：甲同学参加活动时间的均值小于 9.5 个月.
【答案】 （1）①设甲乙丙中签为事件 A,B,C ，
则 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)=1830×1729×1628=2041015 .
② 2n+16=30-2(n-1) ，故 n=4 ，则甲参加活动的时间 X 的可能取值为 1,2,3,4 ，
则 P(X=1)=1830=35 ； P(X=2)=(1-1830)×2028=27 ；
P(X=3)=(1-1830)×(1-2028)×2226=44455 ；
P(X=4)=(1-1830)×(1-2028)×(1-2226)×1=8455 .
则甲参加活动的时间的期望为 E(X)=1×35+2×27+3×44455+4×8455=697455 .

（2）设甲中签为事件 A ，则 P(A)=1-[(910×89)×(910×89)×⋯(910×89)]=1-(45)k ，
设 m≤k,m∈N+ ，甲在第 2m-1,2m 个月中中签的概率为 P(X=2m-1)=P(X=2m)=110⋅(45)m-1 ，
则甲在事件A发生的条件下，第 2m-1,2m 个月中中签的概率为 110(45)m-1P(A) ，
则甲在事件A发生的条件下，甲参加活动时间的均值为
E(X)=110P(A)[(1+2)+45(3+4)+(45)2(5+6)+⋯(45)k-1(2k-1+2k)] ，
设 S=3+7×45+11×(45)2+⋯(4k-1)(45)k-1 ，
则 45S=3×45+7×(45)2+⋯(4k-5)(45)k-1+(4k-1)(45)k ，
所以 15S=3+4[45+(45)2+⋯(45)k-1]-(4k-1)(45)k ，
S=5×19[1-(45)k]-20k(45)k ，
所以 E(X)=19[1-(45)k]-4k(45)k2[1-(45)k]=192-2k(45)k[1-(45)k]<192 .
【考点】离散型随机变量的期望与方差，条件概率与独立事件
【解析】【分析】（1） ①设甲乙丙中签为事件 A,B,C ，利用独立事件乘法求概率公式和条件概率公式，从而求出这三名同学同时中签的概率。
②利用已知条件得出 2n+16=30-2(n-1) ，从而求出 n=4 ，则甲参加活动的时间 X 的可能取值为 1,2,3,4 ， 再利用独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，从而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量X的数学期望。
（2） 设甲中签为事件 A ，再利用独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，从而求出事件A的概率，设 m≤k,m∈N+ ，甲在第 2m-1,2m 个月中中签的概率为 P(X=2m-1)=P(X=2m)=110⋅(45)m-1 ，则甲在事件A发生的条件下，第 2m-1,2m 个月中中签的概率为 110(45)m-1P(A) ，再利用数学期望公式得出甲在事件A发生的条件下，甲参加活动时间的均值为E(X)=110P(A)[(1+2)+45(3+4)+(45)2(5+6)+⋯(45)k-1(2k-1+2k)] ，设 S=3+7×45+11×(45)2+⋯(4k-1)(45)k-1 ，再利用错位相减法得出S=5×19[1-(45)k]-20k(45)k ，从而得出 E(X)=19[1-(45)k]-4k(45)k2[1-(45)k]=192-2k(45)k[1-(45)k]<192 ，进而证出甲同学参加活动时间的均值小于 9.5 个月。