高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直第2课时练习题

8.6.2 直线与平面垂直

第2课时 直线与平面垂直的性质

（用时45分钟）

【选题明细表】

基础巩固

1．已知直线平面，直线，则（    ）

A． B．

C．异面 D．相交而不垂直

【答案】A

【解析】根据线面垂直的定义，若直线与平面垂直，则直线垂直与该平面内的任意一条直线，因此 ，故选A

2．如图，点，点，点，，是内异于和的动点，且，则动点在平面内所组成的集合是（     ）

A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆，但要去掉两个点

C．半圆 D．半圆，但要去掉两个点

【答案】B

【解析】连接，，由于，，

所以平面，平面

所以，说明动点在以为直径的圆上，

但不与点重合.所以B正确

故选：B

3．在长方体中，M，N分别为，AB的中点，，则MN与平面的距离为（    ）

A．4 B． C．2 D．

【答案】C

【解析】如图，

BC1,又平面，平面.

∴MN与平面的距离为N到面的距离.又N到平面的距离为.

∴MN与平面的距离为2.

故选：C

4．如图，，点，点，且，，那么直线l与直线的关系是（    ）

A．异面 B．平行 C．垂直 D．不确定

【答案】C

【解析】，，，；

同理；

又，平面.

平面，.

故选：C.

5．如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是(    )

A．平行 B．垂直相交 C．垂直但不相交 D．相交但不垂直

【答案】C

【解析】∵BD是菱形ABCD的一条对角线，菱形对角线互相垂直，

∴AC⊥BD.

∵MC⊥平面ABCD，

∴MC⊥BD，

∵MC和AC相交于点C，

∴BD⊥平面ACM，

∵MA⊂平面AMC，

∴MA⊥BD.

又∵MA与BD是异面直线，

∴MA与BD的位置关系是垂直但不相交.

故选C.

6．在长方体中，E，F，G，H分别为，，，的中点，，则平面ABCD与平面EFGH的距离为________.

【答案】2

【解析】如图

平面A BCD//平面EFGH

又平面.

平面ABCD与平面EFGH的距离为.

故答案为：2

7．已知矩形的边，平面.若边上有且只有一点，使，则的值为______.

【答案】

【解析】平面，平面，.

边上存在点，使，且，平面.

平面，

∴以为直径的圆和有公共点.

，∴圆的半径为.

∴点是唯一的，和半径为的圆相切，，即.

故答案为：．

8．如图，平面，平面，，分别为，上的点，且.求证：.

【答案】证明见解析

【解析】∵平面，平面，

又平面，平面

∴，，.

又，平面

∴平面.

又，，

平面∴平面，

∴//，∴.

能力提升

9．如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是(　　)

A．①② B．①②③ C．① D．②③

【答案】B

【解析】对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.

∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，

又∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，

又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC，对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，

∵PA⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，

∴OM∥平面PAC，对于③，由①知BC⊥平面PAC，

∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．

10．如图，在直角梯形中，，，、分别是、的中点，将三角形沿折起，则下列说法正确的是______________.

（1）不论折至何位置（不在平面内），都有平面；

（2）不论折至何位置，都有；

（3）不论折至何位置（不在平面内），都有；

（4）在折起过程中，一定存在某个位置，使.

【答案】（1）（2）（4）

【解析】

折叠后如图，分别取中点，连接，易知是的交点，因此也是中点，而别是的中点，

∴，，∴是平行四边形，∴，

平面，平面，∴平面．（1）正确；

折叠过程中保持不变，又，所以平面，从而，所以，（2）正确；

若，则共面，即共面，从而直线共面，这样在平面也即在平面内，矛盾，（3）错误；

当时，又，而，∴平面，平面，所以．（4）正确．

故答案为：（1）（2）（4）．

11．如图所示，已知平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，//，，.

（1）求证：平面；

（2）求证：.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】（1）在直角梯形中，

，，则，

所以，故.

因为平面，//，

所以平面，所以.

又平面，，

所以平面.

（2）因为平面，平面，

所以，又，所以.

又平面， ，

所以平面.

又平面，所以.

素养达成

12．如图，在三棱锥中，，，为的中点．

（1）证明：平面；

（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．

【答案】（1）详见解析（2）．

【解析】（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．

连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．

由知，OP⊥OB．

由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．

（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．

故CH的长为点C到平面POM的距离．

由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．

所以OM=，CH==．

所以点C到平面POM的距离为．