人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第2课时习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第2课时习题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A级：“四基”巩固训练一、选择题1．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c＝(　　)A．4∶1∶1   B．2∶1∶1C．∶1∶1   D．∶1∶1答案　D解析　∵A＋B＋C＝180°，A∶B∶C＝4∶1∶1，∴A＝120°，B＝30°，C＝30°.由正弦定理的变形公式，得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝sin120°∶sin30°∶sin30°＝∶∶＝∶1∶1.故选D．2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝，b＝2，A＝60°，则tanB等于(　　)A．1   B．  C．   D．答案　B解析　由正弦定理，得sinB＝＝×＝，根据题意，得b<a，故B<A＝60°，因此B为锐角．于是cosB＝＝，故tanB＝＝.3．在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是(　　)A．a＝7，b＝14，A＝30°   B．a＝30，b＝25，A＝150°C．a＝6，b＝9，A＝45°   D．a＝30，b＝40，A＝30°答案　D解析　在A中，bsinA＝14sin30°＝7＝a，故△ABC只有一解；在B中，a＝30，b＝25，故a>b，又A＝150°，故△ABC只有一解；在C中，bsinA＝9sin45°＝>6＝a，故△ABC无解；在D中，bsinA＝40sin30°＝20，因bsinA<a<b，故△ABC有两解．4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝a，B＝30°，那么角C等于(　　)A．120°   B．105°  C．90°   D．75°答案　A解析　∵c＝a，∴sinC＝sinA＝sin(180°－30°－C)＝sin(30°＋C)＝，即sinC＝－cosC．∴tanC＝－.又C∈(0°，180°)，∴C＝120°.二、填空题5．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝，cosB＝，b＝3，则c＝________.答案　解析　∵cosA＝，cosB＝，∴sinA＝，sinB＝.∴sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝.又sin(π－C)＝sinC＝sin(A＋B)，∴sinC＝，由正弦定理，得＝，∴c＝＝.6．在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝________.答案　30°解析　∵b＝2a，∴sinB＝2sinA，又B＝A＋60°，∴sin(A＋60°)＝2sinA，即sinAcos60°＋cosAsin60°＝2sinA，化简得sinA＝cosA，∴tanA＝，∴A＝30°.7．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且＝，则角B的大小为________．答案　60°解析　∵＝，根据正弦定理，得＝＝.化简为2sinAcosB－cosBsinC＝sinBcosC，∴2sinAcosB＝sin(B＋C)．在△ABC中，sin(B＋C)＝sinA，∴cosB＝.∵0°<B<180°，∴B＝60°.三、解答题8．(1)在△ABC中，已知a＝2，A＝30°，B＝45°，解三角形；(2)在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝30°，解三角形．解　(1)∵＝＝，∴b＝＝＝＝4.∵C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c＝＝＝＝2＋2.(2)a＝2，b＝6，a<b，A＝30°<90°.又因为bsinA＝6sin30°＝3，a>bsinA，所以本题有两解，由正弦定理，得sinB＝＝＝，故B＝60°或120°.当B＝60°时，C＝90°，c＝＝4；当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2.所以B＝60°，C＝90°，c＝4或B＝120°，C＝30°，c＝2.9．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，C＝，求△ABC的面积．解　(1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB，由正弦定理，得a2＝b2，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．(2)由题意知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0.∴ab＝4(舍去ab＝－1)，∴S△ABC＝absinC＝×4×sin＝.B级：“四能”提升训练1．在△ABC中，A＝60°，BC＝3，则△ABC的两边AC＋AB的取值范围是(　　)A．[3，6]   B．(2,4)C．(3，4]   D．(3,6]答案　D解析　由正弦定理，得＝＝＝.∴AC＝2sinB，AB＝2sinC．∴AC＋AB＝2(sinB＋sinC)＝2[sinB＋sin(120°－B)]＝2＝2＝6＝6sin(B＋30°)．∵0°<B<120°，∴30°<B＋30°<150°.∴<sin(B＋30°)≤1.∴3<6sin(B＋30°)≤6.∴3<AC＋AB≤6.2．在锐角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所对的角分别为A，B，C，求的取值范围．解　在锐角三角形ABC中，A，B，C<90°，即∴30°<B<45°.由正弦定理，知＝＝＝2cosB∈(，)，故的取值范围是(，)．