数学苏教版 (2019)第3章 不等式3.2 基本不等式导学案

2.2.2基本不等式

【学习目标】

1．通过本节课的学习，进一步理解基本不等式，能用基本不等式解决简单的最值问题；

2．经历数学建模的过程，会用基本不等式解决实际问题中的最值问题，体会基本不等式在解决实际问题中的作用；

3．通过运用基本不等式解决实际问题的过程，提高自己分析问题和解决问题的能力，逐步提升数学建模的素养．

【自主学习】

基本不等式求最大（小）值

在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：          .

①           ：函数的解析式中，各项均为正数；

②           ：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；

③           ：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.

实际应用，遵循步骤：

①先理解题意，设         ，一般要求最大值或最小值的变量定为函数；

②建立         ，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

③在定义域内，求出函数         ；

④写出正确答案.

【小试牛刀】

1．（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？

（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？

2．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m．当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

3．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？

【参考答案】

1．（1）当这两个正数均为6时，它们的和最小；

（2）当这两个正数均为9时，它们的积最大．

2．当矩形与墙垂直的边长为7.5m，其邻边长为15m时，菜园的面积最大，最大面积是112.5m2．

3．当房屋底面与墙垂直的边长为6m，其邻边长为8m时，房屋的总造价最低，最低总造价是63400元．