高中数学苏教版 (2019)必修 第一册3.2 基本不等式导学案及答案

2.2.1基本不等式

【学习目标】

1.初步理解基本不等式及其证明方法和几何解释；

2.通过利用基本不等式求简单的最值问题，使学生理解利用基本不等式解决最值问题的方法；

3.通过对基本不等式证明方法分析法的认识以及利用基本不等式求简单的最值问题，发展学生的逻辑推理、数学运算和数学建模的素养.

【自主学习】

一、基本不等式

1.公式：          、         

“取等”都是“          取等号”.

2.公式和引申出常用结论

①（同号）；

②（异号）；

③或

二、基本不等式证明

方法一：几何面积法

如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.

1.设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为          。

2.4个直角三角形的面积的和是          ，正方形的面积为          。

3.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以          。

4.当直角三角形变为等腰直角三角形，即          时，正方形缩为一个点，这时有          。

通常我们把上式写作：如果，,          ，（当且仅当时取等号“=”）

方法二：代数法

∵，

当时，；

当时，.

所以          成立（当且仅当时取等号“=”）.

【小试牛刀】

1.已知.

2.已知,求证：

（1）      (2)

【参考答案】

1.因为

2.（1）已知所以.

（2）已知所以.