苏教版 (2019)必修 第一册7.4 三角函数应用学案

这是一份苏教版 (2019)必修 第一册7.4 三角函数应用学案，共7页。


1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.
2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
教学重点：了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单
的实际问题；
教学难点：实际问题抽象为三角函数模型.
1．为了得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2π,3)))的图象，只需把函数y＝sin x的图象__________________．
2．将函数y＝sin x的图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍，横坐标不变，则所得图象对应的函数为________．
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为5，则A＝________.
4．函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))图象的一条对称轴为x＝α，若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，则α＝________.
典型例题
类型一 三角函数模型在物理中的应用
例1 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是S＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2πt＋\f(π,6))).
(1)画出它的图象；
(2)回答以下问题：
①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置是多少？
②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？
③小球来回摆动一次需要多少时间？
跟踪训练1 如图是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是( )
A．该质点的振动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为－5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大
D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零
类型二 三角函数模型在生活中的应用
例2 如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：
(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；
(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？
跟踪训练2 如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在距离地面2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每300 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时．
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.
例3已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
经过长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acs ωt＋b的图象．
(1)根据以上数据，求函数y＝Acs ωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8时至晚上20时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
1．弹簧振子的振幅为2 cm，在6 s内振子通过的路程是32 cm，由此可知该振子振动的( )
A．频率为1.5 Hz B．周期为1.5 s
C．周期为6 s D．频率为6 Hz
2．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt＋\f(π,3)))，则当t＝eq \f(1,200) s时，电流强度I为( )
A．5 A B．2.5 A C．2 A D．－5 A
3．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(g,l))t＋\f(π,3)))，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝________ cm.
4．下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数解析式为____________________．
5．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))，t∈[0,24)．
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
参考答案
1. 答案 B
解析 振幅为2 cm，振子在一个周期内通过的路程为8 cm，易知在6 s内振动了4个周期，所以T＝1.5 s.
2. 答案 B
解析 当t＝eq \f(1,200)时，I＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100π×\f(1,200)＋\f(π,3)))
＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(π,3)))＝5cs eq \f(π,3)＝eq \f(5,2)＝2.5(A)．
3. 答案 eq \f(g,4π2)
解析 ∵T＝eq \f(2π,\r(\f(g,l)))＝1，∴ eq \r(\f(g,l))＝2π，∴l＝eq \f(g,4π2).
4. 答案 h＝－6sin eq \f(π,6)t，t∈[0,24]
解析 根据题图设h＝Asin(ωt＋φ)，
则A＝6，T＝12，eq \f(2π,ω)＝12，∴ω＝eq \f(π,6).
点(6,0)为“五点”作图法中的第一点，
∴eq \f(π,6)×6＋φ＝0，∴φ＝－π，
∴h＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－π))＝－6sin eq \f(π,6)t，t∈[0,24]．
5解 (1)因为f(t)＝10－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))，
又0≤t<24，
所以eq \f(π,3)≤eq \f(π,12)t＋eq \f(π,3)当t＝2时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＝1；
当t＝14时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＝－1.
于是f(t)在[0,24)上的最大值为12，最小值为8.
故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.
(2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温．
由(1)得f(t)＝10－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))，
故有10－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))>11，
即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))<－eq \f(1,2).
又0≤t<24，因此eq \f(7π,6)即10故在10时至18时实验室需要降温．
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5