2021学年7.1 角与弧度教学设计

这是一份2021学年7.1 角与弧度教学设计，共7页。


教材采用了以问题链展开的呈现方式．在提出问题的环节，问题间的逻辑递进，以及问题对强化目标（建构刻画周期性现象的数学模型）的指向作用等方面进行了精心设计．例如，教材在提出：“怎样将锐角三角函数推广到任意角？”的问题之前，还安排了另一个问题：“用怎样的数学模型建立（x,y）与（r,α）之间的关系？”这就是考察锐角三角函数的“理由”．那么，为什么要研究（x,y）与（r,α）间的关系呢？这是因为用（r,α）,（x,y）都可以表示圆周上的点．那么，为什么要表示圆周上的点呢？这是为了刻画圆周上点的运动．那么为什么要刻画圆周上点的运动呢？这是因为它是周期现象的“一个简单又基本的例子”．为什么要研究周期现象呢？这就追到了最根本之处：因为我们的任务就是要“建构刻画周期性现象的数学模型．”这里的问题串，揭示了建构数学模型的思维过程，揭示了数学知识间的联系．
1.教学重点：理解任意角的意义.
2.教学难点：会用集合符号表示终边相同的角.
多媒体准备、讲义的分发
创设钟表的情境，让学生认识到初中学习的角已经不能满足实际问题的需要。同时为角的旋转作铺垫，让学生有个顺时针和逆时针的概念。
1．任意角
(1)角的概念
一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边．
(2)角的分类
正角：按逆时针方向旋转所形成的角；
负角：按顺时针方向旋转所形成的角；
零角：射线没有作任何旋转所形成的角．
[点睛] 对角的理解关键是抓住旋转二字
(1)要明确旋转的方向；
(2)要明确旋转量的大小；
(3)要明确旋转的开始位置．
2．象限角、轴线角
以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角．
[点睛] (1)角的顶点要与坐标原点重合；
(2)角的始边要与x轴的正半轴重合.
3．终边相同的角
一般地，与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
[点睛] 终边相同的角与相等的角是两个不同的概念，两角相等，终边一定相同，但是两角终边相同时，两角不一定相等，它们相差360°的整数倍．
类型一 任意角概念的理解
例1 (1)给出下列说法：
①锐角都是第一象限角；
②第一象限角一定不是负角；
③小于180°的角是钝角或直角或锐角．
其中正确说法的序号为________．(把正确说法的序号都写上)
(2)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________．
答案 (1)① (2)－120°
解析 (1)锐角指大于0°小于90°的角，都是第一象限角，所以①对；由任意角的概念知，第一象限角也可为负角，小于180°的角还有负角、零角，所以②③错误．
(2)分针每分钟转6°，由于顺时针旋转，所以20分钟转了－120°.
总结： 解决此类问题要正确理解锐角、钝角、0°～90°角、象限角等概念．角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小．
跟踪训练1 写出下列说法所表示的角．
(1)顺时针拧螺丝2圈；
(2)将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角．
解 (1)顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此所表示的角为－720°.
(2)拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角为900°.
类型二 象限角的判定
例2 (1)已知下列各角：①－120°；②－240°；③180°；④495°.其中是第二象限角的是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
答案 D
解析 －120°为第三象限角，①错；－240°＝－360°＋120°，∵120°为第二象限角，∴－240°也为第二象限角，故②对；180°为轴线角；495°＝360°＋135°，∵135°为第二象限角，∴495°为第二象限角，故④对．故选D.
(2)已知α为第二象限角，则eq \f(α,2)是第几象限角？
解 因为α为第二象限角，
所以k·360°＋90°<α所以k·180°＋45°当k为偶数时，记k＝2n，n∈Z，
n·360°＋45°所以eq \f(α,2)终边在第一象限，
当k为奇数时，记k＝2n＋1，n∈Z，
n·360°＋225°所以eq \f(α,2)终边在第三象限．
综上可知，eq \f(α,2)是第一象限角或第三象限角．
总结： (1)判断象限角的步骤
①当0°≤α<360°时，直接写出结果；
②当α<0°或α≥360°时，将α化为k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限．
(2)一般地，要确定eq \f(α,n)所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次标上1,2,3,4，…，4n，标号为几的区域，就是根据α所在第几象限时，eq \f(α,n)的终边所落在的区域，如此，eq \f(α,n)所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出．
跟踪训练2 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．
(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．
(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．
类型三 终边相同的角
命题角度1 求与已知角终边相同的角
例3 在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最大的负角；
(2)最小的正角；
(3)[360°，720°)的角．
解 与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)，
(1)由－360°＜k·360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k·360°＜－10 030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.
(2)由0°＜k·360°＋10 030°＜360°，得－10 030°＜k·360°＜－9 670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.
(3)由360°≤k·360°＋10 030°＜720°，得－9 670°≤k·360°＜－9 310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.
总结： 求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
跟踪训练3 写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．
解 由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}．
∵－720°≤β＜360°，
即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，
∴3eq \f(11,36)≤k＜6eq \f(11,36)(k∈Z)，故取k＝4,5,6.
当k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；
当k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；
当k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.
命题角度2 求终边在给定直线上的角的集合
例4 写出终边在直线y＝－eq \r(3)x上的角的集合．
解 终边在y＝－eq \r(3)x(x<0)上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；
终边在y＝－eq \r(3)x(x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}．
因此，终边在直线y＝－eq \r(3)x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}，
即S＝{α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．
故终边在直线y＝－eq \r(3)x上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．
总结： 求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并．
跟踪训练4 写出终边在直线y＝eq \f(\r(3),3)x上的角的集合．
解 终边在y＝eq \f(\r(3),3)x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}；
终边在y＝eq \f(\r(3),3)x(x<0)上的角的集合是S2＝{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}．
因此，终边在直线y＝eq \f(\r(3),3)x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，
即S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．
故终边在直线y＝eq \f(\r(3),3)x上的角的集合是S＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}.
首先在课题引入上，为了激发学习兴趣，创设了日常生活中常见的“钟表”情境。让学生认识到数学其实来源于生活，应用于生活。同时为角的旋转作铺垫，让学生有个顺时针和逆时针的概念。
为了使学生更容易理解本节内容，在活动单的设计上由浅入深，从初中熟悉的角的定义开始通过“问题链”中问题的不断提出和不断解决，经历和认识“数学发生与发展”的过程，在一系列问题的指引下，师生可以真正主动地参与建构数学的活动，进而发展学生的思维． 学生在活动单的引领下，层层推进，从而逐步建立起任意角的图形、数字、符号之间的联系，实现活动目标。但考虑到是三角函数新授课的第一节，设计的容量也较大，因此在某些问题上未作过多拓展，在难度上有所控制。 课程目标
学科素养
1.了解角的概念.
2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.
3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角．
a数学抽象: 了解角的概念.
b逻辑推理: 理解任意角的意义.
c数学运算: 求终边相同的角.