高中数学2.2 充分条件、必要条件、冲要条件学案设计

第二章  常用逻辑用语

2．2     充分条件、必要条件、充要条件

1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.

2.会求(判定)某些简单命题的条件关系.

3.会判断、证明充要条件.

3.通过学习，弄清对条件的判断应该归结为．

1.教学重点：理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.

2.教学难点：会求(判定)某些简单命题的条件关系．

1．下列语句中是命题的为(　　)

①x2－3＝0；②与一条直线相交的两直线平行吗？③3＋1＝5；④对任意x∈R,5x－3>6.

A．①③   B．②③

C．②④   D．③④

2．判断下列语句是否为命题，若是，请判断真假并改写成“若p，则q”的形式．

(1)垂直于同一条直线的两条直线平行吗？

(2)三角形中，大角所对的边大于小角所对的边；

(3)当x＋y是有理数时，x，y都是有理数；

(4)1＋2＋3＋…＋2 014；

(5)这盆花长得太好了！

阅读课本P29~30页，完成下列表格。

知识点一　充分条件与必要条件

知识点二　充要条件的概念

(1)定义：若p⇒q且q⇒p，则记作p⇔q，此时p是q的充分必要条件，简称充要条件．

(2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的                 ．

典型例题

类型一　充分条件与必要条件的概念

例1　判断下列说法中，p是q的充分条件的是____________________________________．

①p：“x＝1”，q：“x2－2x＋1＝0”；

②设a，b是实数，p：“a＋b>0”，q：“ab>0”．

引申探究　

例1中p是q的必要条件的是________．

变式：a>b的一个充分不必要条件是(　　)

A．a2>b2   B．|a|>|b|      C.<       D．a－b>1

跟踪训练  设计如图所示的三个电路图，条件p：“开关S闭合”；条件q：“灯泡L亮”，则p是q的充分不必要条件的电路图是________．

类型二　充要条件的判断

例2　(1)设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的(　　)

A．充要条件   B．充分不必要条件

C．必要不充分条件   D．既不充分也不必要条件

 (2)下列所给的p，q中，p是q的充要条件的为________．(填序号)

①若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；

②p：|x|>3，q：x2>9.

跟踪训练（1）  a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　　)

A．ab＝0   B．ab>0

C．a2＋b2＝0   D．a2＋b2>0

（2）设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么(　　)

A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件

B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件

C．丙是甲的充要条件

D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

类型三　由条件关系求参数取值范围

例3　已知p：x<－2，q：x<a，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．

引申探究　

例3中若p是q的必要不充分条件，实数a的取值范围是什么？

变式　 若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a的最大值为________．

类型四　充要条件的探求与证明

例4　(1)“方程x2－2x－a＝0无实根”的充要条件是________．

 (2)求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.

跟踪训练 已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0.

1．“x>0”是“x≠0”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充分条件   D．既不充分也不必要条件

2．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的(　　)

A．充分条件

B．必要条件

C．既不是充分条件也不是必要条件

D．无法判断

3．从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：

(1)“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”是“ac<0”的________．

(2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的________．

4．“x2>2 017”是“x2>2 016”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

5．a<0，b<0的一个必要条件为(　　)

A．a＋b<0   B．a＋b>0

C.>1   D.<－1

参考答案

1．答案　A

解析　∵x>0⇒x≠0，而x≠0⇏x>0，

∴x>0是x≠0的充分不必要条件．

2．答案　A

解析　当a＝1时，|a|＝1成立，

但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立．

∴“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件．

3．答案　(1)必要条件　(2)充分条件

4．答案　A

5．答案　A

解析　a＋b<0⇏a<0，b<0，而a<0，b<0⇒a＋b<0.