2020-2021学年第3章 不等式3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式学案设计

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A. 正确理解函数零点的概念.
B. 理解一元二次方程与二次函数的关系.
C. 掌握图象法解一元二次方程.
1. 会求函数的零点，并判断零点所在区间.
2. 掌握图象法解一元二次方程.
1：解下列方程：
； ②； ③.
2：填空
类似探究“一次函数、一元一次方程”两者之间的关系的做法，我们能不能将一元二次函数与一元二次方程联系起来找到其求解方法呢?
典例剖析
题型一 一元二次方程的解法
例1已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是1,则它的另一个根是( )
A. -3B. 3C. -2D. 2
变式：若x1,x2是方程2x2-4x+1=0的两个根,则x1x2+x2x1的值为( )
A. 6B. 4C. 3D. 32
例2已知二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=3,且ax2+bx+c=0有两个实数根x1,x2,
则x1+x2等于( )
A. 0B. 3C. 6D. 不能确定
变式：函数y=(x2-2x-3)(x2-2x+3)零点的个数为_____________．
题型二 由函数的零点求参数的值
例3．若二次函数y＝x2＋ax＋b的两个零点分别是2和3，则2a＋b的值为________．
变式：若关于x的二次方程x2+mx+4m2-3=0的两个零点分别为x1,x2,且满足x1+x2=x1x2,则m的值为______
例4若二次函数y=x2+(p-2)x-21的图像与x轴的交点为A(α,0),B(β,0),与y轴的交点为C．
(1)若α2+β2=51,求p的值.
(2)若的面积为105,求p的值．
题型三 由函数的零点求参数的范围
例5.已知α，β(α<β)是函数y＝(x－a)(x－b)＋2(aA.a<α<β变式：已知二次函数f(x)=x2+mx-3的两个零点为1和n,则n=________；
若f(a)≤f(3),则a的取值范围是________．
例6.一元二次方程x2-5x+1-m=0的两根均大于2,则实数m的取值范围是( )
A. -214,+∞B. -∞,-5C. -214,-5D. -214,-5
例7.已知集合A={x|ax2-3x+2=0,a∈R}．
(1)若A是空集,求a的取值范围；
(2)若A中只有一个元素,求a的值,并将这个元素写出来；
(3)若A中至多有一个元素,求a的取值范围．
1. 如果集合A={x|ax2+4x+1=0}中只有一个元素,则a的值是( )
A. 0B. 4C. 0 或4D. 不能确定
2. 若方程x2+(m+2)x+m+5=0只有正根,则m的取值范围是( )
A. m≤-4或m≥4B. -5C. -5≤m≤-4D. -53. 若x1,x2是一元二次方程2x2-6x+3=0的两个根,则|x1-x2|的值为( )
A. 33B. 3C. 3D. 15
4. 函数y＝x2＋a存在零点，则a的取值范围是________．
5．已知关于x的一元二次方程x2-2(k-1)x+k2-1=0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若该方程的两根分别为x1,x2,且满足x1+x2=2x1x2,求k的值．
参考答案
1．【答案】C
【解析】∵A={x|ax2+4x+1=0}中只有一个元素,
当a=0时,A={x|4x+1=0},即A={-14}.
当a≠0时,需满足△=0,即42-4×a×1=0,a=4．
∴当a=0或a=4时满足A中只有一个元素．
故选C．
2．【答案】B
【解析】(1)当Δ=m+22-4m+5=0,即m=±4时,
当m=-4时,方程为x-12=0时,x=1,符合题意；
当m=4时,方程为x+32=0时,x=-3不符合题意．
故m=-4成立；
(2)当Δ=m+22-4m+5>0,解得m<-4,或m>4,
则m< -4,或m>4-m+2>0m+5>0,
解得-5综上得-5故选B．
3．【答案】B
【解析】根据二次方程根与系数的关系,可得x1+x2=3,x1x2=32,
所以|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=9-6=3．
故选B．
4．【答案】(－∞，0]
【解析】函数y＝x2＋a存在零点，则x2＝－a有解，所以a≤0.
5．【解析】(1)∵原方程有两个不相等的实数根,
∴Δ=[-2(k-1)]2-4(k2-1)=4k2-8k+4-4k2+4=-8k+8>0,
解得k<1,
即实数k的取值范围是k<1；
(2)由根与系数的关系,x1+x2=2(k-1),x1x2=k2-1,
∵x1+x2=2x1x2,
∴2(k-1)=2k2-2,
化简得k2=k,
∴k=1(舍)或k=0,
∴k=0．
a>0
a<0
一次函数
的图象
一元一次方程
的根



二次函数
（）的图象
一元二次方程

二次函数
（）的零点