高中数学苏教版 (2019)必修 第一册4.1 指数教学设计

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本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．
本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值．
1.教学重点：n次方根概念及性质、根式与分数指数幂的互化与有理指数幂的运算性质．
2.教学难点：根式概念、n次方根的性质、分数指数幂概念的理解及有理指数幂的运算．
预习课本P75～77，思考并完成以下问题
1．n次实数方根
如果一个实数x满足xn＝a，那么称x为a的n次实数方根，其中n＞1且n∈N*.
2．n次实数方根的性质
(1)当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数，这时，a的n次实数方根只有一个，用符号eq \r(n,a)表示．
(2)当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次实数方根用符号eq \r(n,a)表示，负n次实数方根用符号－eq \r(n,a)表示．它们可合并写成±eq \r(n,a)
(a＞0)．
(3)0的n次实数方根等于0，记作 eq \r(n,0)＝0.
3．根式的定义
式子eq \r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
[点评] (1)根指数n的范围是n＞1且n∈N*.
(2)若根指数n＝2，可省略不写．
(3)当n为奇数时，eq \r(n,a)对任意a∈R都有意义；当n为偶数时，只有当a≥0时，eq \r(n,a)才有意义．
4．两个等式
(1)n∈N*，n≥2，(eq \r(n,a))n＝a.
(2)n为奇数时，eq \r(n,an)＝a，n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|.
5．分数指数幂的意义
一般地，我们规定＝eq \r(n,am)(a>0，m，n均为正整数)；＝ (a>0，m，n均为正整数).
0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义．
[点评] (1)不可理解为eq \f(m,n)个a相乘；
(2)不可轻易对eq \f(m,n)进行约分，否则有时会改变a的取值范围而导致出错，如eq \r(8,a2)，a∈R，而eq \r(4,a)，a≥0.
6．有理数指数幂的运算性质
(1)as·at＝as＋t，(2)(as)t＝ast，(3)(ab)t＝atbt.
其中a，b，s，t的取值范围是a＞0，b＞0，s，t∈Q.
7.微课辅助
典例剖析
题型一 根式的运算
[典例] (1)化简(eq \r(4,a－1))4＋eq \r(1－a2)＋eq \r(3,1－a3)＝________.
(2)若－3＜x＜3，则化简 eq \r(x2－2x＋1)－eq \r(x2＋6x＋9) ＝________.
[解析] (1)由题意知a－1≥0，即a≥1，
原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
(2)原式＝ －＝|x－1|－|x＋3|，
∵－3＜x＜3，
∴当－3＜x＜1时，
原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2.
当1≤x＜3时，
原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.
[答案] (1)a－1 (2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x－2，－3＜x＜1，,－4，1≤x＜3))
点评：
(1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．

变式训练
1．化简：eq \r(π－42)＋eq \r(3,π－43)＝________.
解析：原式＝|π－4|＋π－4＝4－π＋π－4＝0.
答案：0
2．化简：eq \r(3－2\r(2))－eq \r(5＋2\r(6))＝________.
解析：原式＝ eq \r(\r(2)－12)－eq \r(\r(3)＋\r(2)2)＝eq \r(2)－1－eq \r(3)－eq \r(2)＝－eq \r(3)－1.
答案：－eq \r(3)－1
3．化简：eq \r(3,a3)＋eq \r(4,1－a4)＝________.
解析：原式＝a＋|1－a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，a≤1，,2a－1，a＞1.))
答案：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，a≤1，,2a－1，a＞1))
微课辅助
题型二 根式和分数指数幂的互化
[典例] 将下列根式化成分数指数幂的形式．
(1) (a>0)；
(2)eq \f(1,\r(3,x\r(5,x2)2))(x>0)；
(3) (b>0)．
[解] (1)原式＝ ＝＝＝.
(2)原式＝＝＝
＝＝＝.
(3)原式＝[]＝b＝.
点评：(1)此类问题应熟练应用a＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)，当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后用性质进行化简．
(2)分数指数幂是根式的另一种写法，分数指数幂与根式可以相互转化．
变式训练 设a>0，将eq \f(a2,\r(a·\r(3,a2)))表示成分数指数幂的形式，其结果是________．
解析：∵a>0，∴原式＝＝.
答案：
题型三 条件求值问题
[典例] 已知＋＝eq \r(5)，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
[解] (1)将＋＝eq \r(5)两边平方，
得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3.
(2)将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，
∴a2＋a－2＝7.
[一题多变]
1．[变设问]在本例条件下，则a2－a－2＝________.
解析：令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，
∴y＝±3eq \r(5)，即a2－a－2＝±3eq \r(5).
答案：±3eq \r(5)
2．[变条件，变设问]若本例变为：已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a＜b，
求的值．
解：＝＝.①
∵a＋b＝12，ab＝9，②
∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108.
∵a＜b，∴a－b＝－6eq \r(3).③
将②③代入①，得＝＝－eq \f(\r(3),3).
本节内容要注意培养学生类比推理能力，由整数指数幂的性质类比分数指数幂的性质。根式、分数指数幂都是具体的对应法则，是学习指数函数的基础，应讲清、讲透．学生在初中学习了数的开平方、开立方、二次根式、整数指数幂的意义及运算法则．有了这些知识作准备，教科书通过实际问题引出了分数指数幂，说明了扩张指数取值范围的必要性，由此先将平方根与立方根的概念扩充到n次方根，将二次根式扩充到一般根式，进一步探究了分数指数幂及其运算性质。课程目标
学科素养
1.理解n次方根、n次根式的概念.
2.能正确运用根式运算性质化简、求值.
3.体会分类讨论思想、符号化思想的作用．
a数学抽象:根式的概念，分数指数幂的概念的掌握
b逻辑推理:根式概念与方根概念二者之间的关系
c数字运算:掌握有理数指数幂的运算性质，并能运
用性质进行计算和化简
d直观想象:让学生感受由特殊到一般的数学思想方法
e数学建模:通过对实际问题的探究过程，感受应用
数学解決问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化的思想在数学中的应用。