2021学年4.2 对数教案设计

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本节课是新课标高中数学苏教版必修①中第四章指数与对数内容的第二课时，对数是一个新的概念，教材是以具体问题为背景，从指数运算与对数运算的互逆关系出发，引进了对数的概念，是对数函数的入门，为后面学习对数函数作铺垫。为学生发现与论证对数的运算性质、研究对数函数提供了方便．
1.教学重点：对数的概念、对数式与指数式的互化．
2.教学难点：会求简单的对数值．
1．判断．(对的打“√”，错的打“×”)
(1) eq \r(－22)＝－2；( )
(2) eq \r(3,－23)＝－2；( )
(3)a＝a；( )
(4)eq \r(3,2)＝eq \r(6,4).( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
2．计算：(1)25＝________；(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－5＝________；
(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,81))) ＝________.
解析：(1)25＝(52) ＝＝5－1＝eq \f(1,5).
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－5＝(2－1)－5＝2(－1)×(－5)＝25＝32.
(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,81)))＝＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))－3＝eq \f(27,8).
答案：(1)eq \f(1,5) (2)32 (3)eq \f(27,8)
3．求值：eq \r(－\r(3)2)＋eq \r(3,－\r(3)3)＋eq \r(4,3－π4)＋eq \r(5,3－π5)＝________.
解析：原式＝eq \r(3)－eq \r(3)＋(π－3)＋(3－π)＝0.
答案：0
预习课本P81～82，思考并完成以下问题
1．对数的概念
一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作lgaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
[点睛] lga N是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．
2．常用对数与自然对数
通常将以10为底的对数称为常用对数，为了简便起见，对数lg10N简记为lg_N.
在科学技术中，常常使用以e为底的对数，这种对数称为自然对数(其中e＝2.718 28…是一个无理数)，正数N的自然对数lgeN一般简记为ln_N.
3．对数与指数的关系
若a＞0，且a≠1，则ax＝N⇔lgaN＝x.
对数恒等式：algaN＝N；lgaax＝x(a＞0，且a≠1)．
4．对数的性质
(1)零和负数无对数，即真数N＞0.
(2)底的对数为1,1的对数为0，即lgaa＝1，lga1＝0(a＞0且a≠1)．
5.微课辅助
典例剖析
题型一 对数的概念
例1 在N＝lg(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是( )
A．b<2或b>5 B．2C．4答案 D
解析 ∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b－2>0，,5－b>0，,5－b≠1，))∴2总结 由于对数式中的底数a就是指数式中的底数a，所以a的取值范围为a>0，且a≠1；由于在指数式中ax＝N，而ax>0，所以N>0.
变式训练1 求f(x)＝lgxeq \f(1－x,1＋x)的定义域．
解 要使函数式有意义，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,x≠1，,\f(1－x,1＋x)>0，))解得0∴f(x)＝lgxeq \f(1－x,1＋x)的定义域为(0,1)．
题型二 对数基本性质的应用
例2 求下列各式中x的值：
(1)lg2(lg5x)＝0；
(2)lg3(lg x)＝1.
解 (1)∵lg2(lg5x)＝0，∴lg5x＝20＝1，∴x＝51＝5.
(2)∵lg3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，∴x＝103＝1 000.
总结 此类题型应利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题．
lgaN＝0⇒N＝1；lgaN＝1⇒N＝a使用频繁，应在理解的基础上牢记．
变式训练2 若lg2(lg3x)＝lg3(lg4y)＝lg4(lg2z)＝0，则x＋y＋z的值为( )
A．9 B．8 C．7 D．6
答案 A
解析 ∵lg2(lg3x)＝0，∴lg3x＝1.
∴x＝3.同理y＝4，z＝2.∴x＋y＋z＝9.
题型三 对数式与指数式的互化
命题角度1 指数式化为对数式
例3 将下列指数式写成对数式：
(1)54＝625；
(2)2－6＝eq \f(1,64)；
(3)3a＝27；
(4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))m＝5.73.
解 (1)lg5625＝4；(2)lg2eq \f(1,64)＝－6；
(3)lg327＝a；(4)
总结 指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：
变式训练3 (1)如果a＝b2 (b>0，b≠1)，则有( )
A．lg2a＝b B．lg2b＝a
C．lgba＝2 D．lgb2＝a
答案 C
解析 lgba＝2，故选C.
(2)将3－2＝eq \f(1,9)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))6＝eq \f(1,64)化为对数式．
解 3－2＝eq \f(1,9)可化为lg3eq \f(1,9)＝－2；
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))6＝eq \f(1,64)可化为
(3)解方程：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))m＝5.
命题角度2 对数式化为指数式
例4 求下列各式中x的值：
(1)lg64x＝－eq \f(2,3)；(2)lgx8＝6；(3)lg 100＝x；
(4)－ln e2＝x；(5)lg(eq \r(2)－1)eq \f(1,\r(3＋2\r(2)))＝x.
解 (1)
(2)因为x6＝8，所以
(3)10x＝100＝102，于是x＝2.
(4)由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2.
所以x＝－2.
(5)因为
所以(eq \r(2)－1)x＝eq \f(1,\r(3＋2\r(2)))＝eq \f(1,\r(\r(2)＋12))＝eq \f(1,\r(2)＋1)＝eq \r(2)－1，
所以x＝1.
总结 要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．
变式训练4 计算：(1)lg927；
解 (1)设x＝lg927，则9x＝27,32x＝33，∴x＝eq \f(3,2).
∴x＝16.
(3)
∴x＝3.
对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难。而对数函数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分量。通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解，为学习对数函数作好准备。同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一 ，相互联系、相互转化的思想 ，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。课程目标
学科素养
1.了解对数的概念.
2.会进行对数式与指数式的互化.
3.会求简单的对数值．
a数学抽象:对数符号的理解
b逻辑推理:理解指数运算与对数运算之间的关系
c数字运算:掌握基本的对数运算
d数学建模:能够通过对数运算解決实际问题。