高中数学6.3 平面向量基本定理及坐标表示学案

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1．平面向量的正交分解及坐标表示
(1)平面向量的正交分解：
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
(2)平面向量的坐标表示：
在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量的坐标表示．
(3)向量坐标与点的坐标之间的联系
在平面直角坐标系中，以原点O为起点作eq \(OA,\s\up14(→))＝a，设eq \(OA,\s\up14(→))＝xi＋yj，则向量eq \(OA,\s\up14(→))的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量eq \(OA,\s\up14(→))的坐标．
2．平面向量的坐标运算
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有：
1．已知a＝(3,5)，b＝(－3,2)，则a＋b＝( )
A．(8，－1) B．(0,7)
C．(7,0) D．(－1,8)
B [a＋b＝(3,5)＋(－3,2)＝(3－3,5＋2)＝(0,7)．]
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，则b－a等于( )
A．(－2,1) B．(2，－1)
C．(2,0) D．(4,3)
[答案] B
3．已知点A(1，－2)，点B(4,0)，则向量eq \(AB,\s\up14(→))＝________.
[答案] (3,2)
4．如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j，以{i，j}作为基底，对于平面内的一个向量a，若|a|＝2，θ＝45°，则向量a的坐标为________．
(eq \r(2)，eq \r(2)) [由题意知
a＝2cs 45°i＋2sin 45°j
＝eq \r(2)i＋eq \r(2)j
＝(eq \r(2)，eq \r(2))．]
【例1】 如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，eq \(OA,\s\up14(→))＝a，eq \(AB,\s\up14(→))＝b.四边形OABC为平行四边形．
(1)求向量a，b的坐标；
(2)求向量eq \(BA,\s\up14(→))的坐标；
(3)求点B的坐标．
[解] (1)作AM⊥x轴于点M，
则OM＝OA·cs 45°＝4×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2)，
AM＝OA·sin 45°＝4×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2)，
∴A(2eq \r(2)，2eq \r(2))，故a＝(2eq \r(2)，2eq \r(2))．
∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
∴∠COy＝30°.又OC＝AB＝3，
∴Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，
∴eq \(AB,\s\up14(→))＝eq \(OC,\s\up14(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，
即b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2))).
(2)eq \(BA,\s\up14(→))＝－eq \(AB,\s\up14(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(3\r(3),2))).
(3)eq \(OB,\s\up14(→))＝eq \(OA,\s\up14(→))＋eq \(AB,\s\up14(→))
＝(2eq \r(2)，2eq \r(2))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))
求点、向量坐标的常用方法：
(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标．
(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标．
1．如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j，{i，j}作为基底，分别用i，j表示eq \(OA,\s\up14(→))，eq \(OB,\s\up14(→))，eq \(AB,\s\up14(→))，并求出它们的坐标．
[解] 由题图可知，eq \(OA,\s\up14(→))＝6i＋2j，eq \(OB,\s\up14(→))＝2i＋4j，eq \(AB,\s\up14(→))＝－4i＋2j，它们的坐标表示为eq \(OA,\s\up14(→))＝(6,2)，eq \(OB,\s\up14(→))＝(2,4)，eq \(AB,\s\up14(→))＝(－4,2)．
【例2】 (1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量eq \(AC,\s\up14(→))＝(－4，－3)，则向量eq \(BC,\s\up14(→))＝( )
A．(－7，－4) B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b的坐标．
(1)A [法一：设C(x，y)，则eq \(AC,\s\up14(→))＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－4，,y＝－2，))从而eq \(BC,\s\up14(→))＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.
法二：eq \(AB,\s\up14(→))＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，
eq \(BC,\s\up14(→))＝eq \(AC,\s\up14(→))－eq \(AB,\s\up14(→))＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
故选A.]
(2)[解] a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，
a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)．
平面向量坐标(线性)运算的方法
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行.
2．若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(BC,\s\up14(→))，eq \(BC,\s\up14(→))－eq \(AC,\s\up14(→))的坐标．
[解] ∵eq \(AB,\s\up14(→))＝(－2,10)，eq \(BC,\s\up14(→))＝(－8,4)，eq \(AC,\s\up14(→))＝(－10,14)，
∴eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(BC,\s\up14(→))＝(－2,10)＋(－8,4)
＝(－10,14)，
eq \(BC,\s\up14(→))－eq \(AC,\s\up14(→))＝(－8,4)－(－10,14)
＝(2，－10).
【例3】 已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且eq \(BC,\s\up14(→))＝eq \(AD,\s\up14(→))，则顶点D的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(7,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(1,2)))
C．(4,5) D．(1,3)
C [设点D(m，n)，则由题意得(4,3)＝(m，n－2)，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝4，,n＝5，)) 即点D(4,5)，故选C.]
在平面几何问题中，可以借助平行四边形对边平行且相等，也可利用平行四边形法则求解．
3．已知平行四边形OABC，其中O为坐标原点，若A(2,1)，B(1,3)，则点C的坐标为________．
(－1,2) [设C的坐标为(x，y)，则由已知得eq \(OC,\s\up14(→))＝eq \(AB,\s\up14(→))，所以(x，y)＝(－1,2)．]
1．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．如图所示．
2．向量的坐标和其终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和其终点的坐标相同．
3．在进行向量坐标形式的运算时，要牢记公式，细心计算，防止符号错误．
1．判断正误
(1)相等向量的坐标相同．( )
(2)平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标．( )
(3)一个坐标对应于唯一的一个向量．( )
(4)平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若eq \(OA,\s\up14(→))＝4i＋2j，eq \(\(OB,\s\up14(→)))＝3i＋4j，则eq \(OA,\s\up14(→))＋eq \(OB,\s\up14(→))的坐标是( )
A．(1，－2) B．(7,6)
C．(5,0) D．(11,8)
B [因为eq \(OA,\s\up14(→))＝(4,2)，eq \(OB,\s\up14(→))＝(3,4)，
所以eq \(OA,\s\up14(→))＋eq \(OB,\s\up14(→))＝(4,2)＋(3,4)＝(7,6)．]
3．已知点A(－1，－2)，B(4,3)，则eq \(AB,\s\up14(→))的坐标为( )
A．(3,1) B．(－5，－5)
C．(5,5) D．(－5,5)
C [eq \(AB,\s\up14(→))＝(4,3)－(－1，－2)＝(5,5)，故选C.]
4．已知A(2，－3)，eq \(AB,\s\up14(→))＝(3，－2)，则点B的坐标为( )
A．(－5,5) B．(5，－5)
C．(－1,1) D．(1,1)
B [eq \(OB,\s\up14(→))＝eq \(OA,\s\up14(→))＋eq \(AB,\s\up14(→))＝(2，－3)＋(3，－2)＝(5，－5)．]
5．(1)已知平面上三个点A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，求eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(AC,\s\up14(→))，eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(AC,\s\up14(→))，eq \(AB,\s\up14(→))－eq \(AC,\s\up14(→))；
(2)已知a＝(1,2)，b＝(－3,4)，求向量a＋b，a－b的坐标．
[解] (1)因为A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，
所以eq \(AB,\s\up14(→))＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)．
eq \(AC,\s\up14(→))＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)，
eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(AC,\s\up14(→))＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)，
eq \(AB,\s\up14(→))－eq \(AC,\s\up14(→))＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)．
(2)a＋b＝(1,2)＋(－3,4)＝(－2,6)，
a－b＝(1,2)－(－3,4)＝(4，－2)．
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．(难点)
2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差的坐标运算法则．(重点)
3.向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系．(易混点)
1.通过力的分解引进向量的正交分解，从而得出向量的坐标表示，提升数学抽象素养.
2.借助向量的线性运算，培养数学运算素养.
加法
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
减法
a－b＝(x1－x2，y1－y2)
重要结论
已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则eq \(AB,\s\up14(→))＝(x2－x1，y2－y1)
平面向量的坐标表示
平面向量的坐标运算
平面向量坐标运算的应用