2021学年6.4 平面向量的应用导学案及答案

这是一份2021学年6.4 平面向量的应用导学案及答案，共12页。


1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
2．向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等．
(2)向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解．
(3)动量mv是向量的数乘运算．
(4)功是力F与所产生的位移s的数量积．
1．已知平面内四边形ABCD和点O，若eq \(OA,\s\up14(→))＝a，eq \(OB,\s\up14(→))＝b，eq \(OC,\s\up14(→))＝c，eq \(OD,\s\up14(→))＝d，且a＋c＝b＋d，则四边形ABCD为( )
A．菱形 B．梯形
C．矩形 D．平行四边形
D [由条件知eq \(OA,\s\up14(→))＋eq \(OC,\s\up14(→))＝eq \(OB,\s\up14(→))＋eq \(OD,\s\up14(→))，则eq \(OA,\s\up14(→))－eq \(OB,\s\up14(→))＝eq \(OD,\s\up14(→))－eq \(OC,\s\up14(→))，即eq \(BA,\s\up14(→))＝eq \(CD,\s\up14(→))，∴四边形ABCD为平行四边形．]
2．已知△ABC中，eq \(AB,\s\up14(→))＝a，eq \(AC,\s\up14(→))＝b，且a·b＜0，则△ABC的形状为( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
A [由条件知∠BAC为钝角，所以△ABC为钝角三角形．]
3．已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝________J.
300 [W＝F·s＝6×100×cs 60°＝300(J)．]
4．已知三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(x，y)的合力F1＋F2＋F3＝0，则F3的坐标为________．
(－5,1) [由F1＋F2＋F3＝0，则F3＝－(F1＋F2)，
∵F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，∴F1＋F2＝(5，－1)，即F3＝(－5,1)．]
[探究问题]
1．用向量法如何证明平面几何中AB⊥CD?
[提示] 法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示eq \(AB,\s\up14(→))和eq \(CD,\s\up14(→))；③证明eq \(AB,\s\up14(→))·eq \(CD,\s\up14(→))的值为0；④给出几何结论AB⊥CD.
法二：先求eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(CD,\s\up14(→))的坐标，eq \(AB,\s\up14(→))＝(x1，y1)，eq \(CD,\s\up14(→))＝(x2，y2)，再计算eq \(AB,\s\up14(→))·eq \(CD,\s\up14(→))的值为0，从而得到几何结论AB⊥CD.
2．用向量法如何证明平面几何中AB∥CD?
[提示] 法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示eq \(AB,\s\up14(→))和eq \(CD,\s\up14(→))；③寻找实数λ，使eq \(AB,\s\up14(→))＝λeq \(CD,\s\up14(→))，即eq \(AB,\s\up14(→))∥eq \(CD,\s\up14(→))；④给出几何结论AB∥CD.
法二：先求eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(CD,\s\up14(→))的坐标，eq \(AB,\s\up14(→))＝(x1，y1)，eq \(CD,\s\up14(→))＝(x2，y2)．利用向量共线的坐标关系x1y2－x2y1＝0得到eq \(AB,\s\up14(→))∥eq \(CD,\s\up14(→))，再给出几何结论AB∥CD.
以上两种方法，都是建立在A，B，C，D中任意三点都不共线的基础上，才有eq \(AB,\s\up14(→))∥eq \(CD,\s\up14(→))得到AB∥CD.
【例1】 (1)已知非零向量eq \(AB,\s\up14(→))与eq \(AC,\s\up14(→))满足eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up14(→)),|\(AB,\s\up14(→))|)＋\f(\(AC,\s\up14(→)),|\(AC,\s\up14(→))|)))·eq \(BC,\s\up14(→))＝0且eq \f(\(AB,\s\up14(→)),|\(AB,\s\up14(→))|)·eq \f(\(CA,\s\up14(→)),|\(AC,\s\up14(→))|)＝eq \f(1,2)，则△ABC的形状是( )
A．三边均不相等的三角形B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
(2)已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E为AB的中点，点F在BC上，且BF∶FC＝2∶1，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积．
[思路探究] (1)先由平行四边形法则分析eq \f(\(AB,\s\up14(→)),|\(AB,\s\up14(→))|)＋eq \f(\(AC,\s\up14(→)),|\(AC,\s\up14(→))|)
的几何意义，由数量积为0推出垂直关系，再由eq \f(\(AB,\s\up14(→)),|\(AB,\s\up14(→))|)·eq \f(\(CA,\s\up14(→)),|\(AC,\s\up14(→))|)＝eq \f(1,2)求∠BAC，最后判断△ABC的形状．
(2)先建系设点P坐标，再根据A，P，F和C，P，E分别共线求点P坐标，最后求四边形APCD的面积．
(1)C [由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up14(→)),|\(AB,\s\up14(→))|)＋\f(\(AC,\s\up14(→)),|\(AC,\s\up14(→))|)))·eq \(BC,\s\up14(→))＝0，得∠A的平分线垂直于BC，所以AB＝AC，设eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(CA,\s\up14(→))的夹角为θ，
而eq \f(\(AB,\s\up14(→)),|\(AB,\s\up14(→))|)·eq \f(\(CA,\s\up14(→)),|\(AC,\s\up14(→))|)＝cs θ＝eq \f(1,2)，
又θ∈[0，π]，所以∠BAC＝π－eq \f(π,3)＝eq \f(2,3)π，故△ABC为等腰三角形．]
(2)[解] 以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系，如图所示，
∴A(0,0)，B(6,0)，C(6,6)，D(0,6)，
F(6,4)，E(3,0)，
设P(x，y)，eq \(AP,\s\up14(→))＝(x，y)，
eq \(AF,\s\up14(→))＝(6,4)，eq \(EP,\s\up14(→))＝(x－3，y)，eq \(EC,\s\up14(→))＝(3,6)．
由点A，P，F和点C，P，E分别共线，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－6y＝0，,6x－3－3y＝0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(9,2)，,y＝3，))
∴S四边形APCD＝S正方形ABCD－S△AEP－S△CEB
＝36－eq \f(1,2)×3×3－eq \f(1,2)×3×6＝eq \f(45,2).
1．将本例(1)的条件改为(eq \(OB,\s\up14(→))－eq \(OC,\s\up14(→)))·(eq \(OB,\s\up14(→))＋eq \(OC,\s\up14(→))－2eq \(OA,\s\up14(→)))＝0，试判断△ABC的形状．
[解] ∵(eq \(OB,\s\up14(→))－eq \(OC,\s\up14(→)))·(eq \(OB,\s\up14(→))＋eq \(OC,\s\up14(→))－2eq \(OA,\s\up14(→)))＝0，
∴(eq \(OB,\s\up14(→))－eq \(OC,\s\up14(→)))·(eq \(OB,\s\up14(→))－eq \(OA,\s\up14(→))＋eq \(OC,\s\up14(→))－eq \(OA,\s\up14(→)))＝0，
∴eq \(CB,\s\up14(→))·(eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(AC,\s\up14(→)))＝0，
∴(eq \(AB,\s\up14(→))－eq \(AC,\s\up14(→)))·(eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(AC,\s\up14(→)))＝0，
∴eq \(AB,\s\up14(→))2－eq \(AC,\s\up14(→))2＝0，即|eq \(AB,\s\up14(→))|2－|eq \(AC,\s\up14(→))|2＝0，
∴|eq \(AB,\s\up14(→))|＝|eq \(AC,\s\up14(→))|，
∴△ABC是等腰三角形．
2．将本例(2)的条件“BF∶FC＝2∶1”改为“BF∶FC＝1∶1”，求证：AF⊥DE.
[证明] 建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(6,0)，C(6,6)，D(0,6)，则中点E(3,0)，F(6,3)，
∴eq \(AF,\s\up14(→))＝(6,3)，eq \(DE,\s\up14(→))＝(3，－6)，
∴eq \(AF,\s\up14(→))·eq \(DE,\s\up14(→))＝6×3＋3×(－6)＝0，
∴eq \(AF,\s\up14(→))⊥eq \(DE,\s\up14(→))，∴AF⊥DE.
用向量法解决平面几何问题的两种方法
(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．
(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．
【例2】 已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－6，点R是直线l上的一点，若eq \(RA,\s\up14(→))＝2eq \(AP,\s\up14(→))，求点P的轨迹方程．
[思路探究]
[解] 设P(x，y)，R(x0，y0)，
则eq \(RA,\s\up14(→))＝(1,0)－(x0，y0)＝(1－x0，－y0)，
eq \(AP,\s\up14(→))＝(x，y)－(1,0)＝(x－1，y)．
由eq \(RA,\s\up14(→))＝2eq \(AP,\s\up14(→))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x0＝2x－1，,－y0＝2y.))
又∵点R在直线l：y＝2x－6上，∴y0＝2x0－6，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x0＝2x－2， ①,6－2x0＝2y， ②))
由①得x0＝3－2x，代入②得6－2(3－2x)＝2y，整理得y＝2x，即为点P的轨迹方程．
用向量方法解决解析几何问题的步骤：一是把解析几何问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为解析几何问题．
1．已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点．
(1)求直线DE的方程；
(2)求AB边上的高线CH所在直线的方程．
[解] (1)设M(x，y)是直线DE上任意一点，
则eq \(DM,\s\up14(→))∥eq \(DE,\s\up14(→))，
因为点D，E分别为边BC，CA的中点，
所以点D，E的坐标分别为D(－1,1)，E(－3，－1)，
eq \(DM,\s\up14(→))＝(x＋1，y－1)，eq \(DE,\s\up14(→))＝(－2，－2)，
所以(－2)(x＋1)－(－2)(y－1)＝0，
即x－y＋2＝0为直线DE的方程．
(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，则eq \(CN,\s\up14(→))⊥eq \(AB,\s\up14(→))，所以eq \(CN,\s\up14(→))·eq \(AB,\s\up14(→))＝0，
又eq \(CN,\s\up14(→))＝(x＋6，y－2)，eq \(AB,\s\up14(→))＝(4,4)，
所以4(x＋6)＋4(y－2)＝0，
即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程．
[探究问题]
1．向量的数量积与功有什么联系？
[提示] 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积．
2．用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？
[提示] 用向量方法解决物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：
①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题中．
【例3】 (1)一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5)．在这个过程中三个力的合力所做的功等于________．
(2)设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1|＝1，|F2|＝2，且F1与F2的夹角为eq \f(2,3)π，如图所示．
①求F3的大小；
②求F2与F3的夹角．
[思路探究] (1)eq \x(求出合力、位移的坐标表示)
→eq \x(利用数量积求功)
(2)①eq \x(由三个力处于平衡状态用F1，F2表示F3)
→eq \x(用向量模的计算公式求F3的大小)
②eq \x(用F1，F2表示F3)→eq \x(构造F2·F3)→eq \x(利用夹角公式求解)
(1)－40 [因为F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，所以合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8)，eq \(AB,\s\up14(→))＝(－1,4)，
则F·eq \(AB,\s\up14(→))＝－1×8－8×4＝－40，
即三个力的合力所做的功为－40.]
(2)[解] ①由题意|F3|＝|F1＋F2|，
因为|F1|＝1，|F2|＝2，且F1与F2的夹角为eq \f(2,3)π，所以|F3|＝|F1＋F2|＝eq \r(1＋4＋2×1×2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝eq \r(3).
②设F2与F3的夹角为θ，
因为F3＝－(F1＋F2)，
所以F3·F2＝－F1·F2－F2·F2，
所以eq \r(3)·2·cs θ
＝－1×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))－4，
所以cs θ＝－eq \f(\r(3),2)，
所以θ＝eq \f(5,6)π.
向量在物理中的应用
(1)求力向量、速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的平行四边形法则求解．
(2)用向量方法解决物理问题的步骤：
①把物理问题中的相关量用向量表示；
②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；
③结果还原为物理问题．
2．一条宽为eq \r(,3)km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝eq \r(,3)km，船在水中最大航速为4 km/h；问怎样安排航行速度，可使该船从A码头最快到达彼岸B码头？用时多少？
[解] 如图所示，设eq \(AC,\s\up14(→))为水流速度，eq \(AD,\s\up14(→))为航行速度，以AC和AD为邻边作▱ACED，
当AE与AB重合时能最快到达彼岸．
根据题意知AC⊥AE，
在Rt△ADE和▱ACED中，
|eq \(DE,\s\up14(→))|＝|eq \(AC,\s\up14(→))|＝2，|eq \(AD,\s\up14(→))|＝4，∠AED＝90°，
∴|eq \(AE,\s\up14(→))|＝eq \r(,\(|\(AD,\s\up14(→))|2－|\(DE,\s\up14(→))|2))＝2eq \r(,3)，
eq \r(,3)÷2eq \r(,3)＝0.5(h)，sin ∠EAD＝eq \f(1,2)，
∴∠EAD＝30°.
∴船实际航行速度大小为4 km/h，与水流成120°角时能最快到达B码头，用时0.5小时．
1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．
2．用向量解决物理问题一般按如下步骤进行：①转化：把物理问题转化为数学问题；②建模：建立以向量为主体的数学模型；③求解：求出数学模型的相关解；④回归：回到物理现象中，用已获取的数值去解释一些物理现象．
1．判断正误
(1)若eq \(AB,\s\up14(→))∥eq \(CD,\s\up14(→))，则直线AB与直线CD平行．( )
(2)若△ABC是直角三角形，则必有eq \(CA,\s\up14(→))·eq \(CB,\s\up14(→))＝0.( )
(3)△ABC中，若eq \(AB,\s\up14(→))·eq \(BC,\s\up14(→))＋eq \(AB,\s\up14(→))2＝0，则△ABC为等边三角形．( )
(4)|eq \(AB,\s\up14(→))|＝eq \r(,xB－xA2＋yB－yA2).( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．过点M(2,3)，且垂直于向量u＝(2,1)的直线方程为( )
A．2x＋y－7＝0 B．2x＋y＋7＝0
C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－4＝0
A [设P(x，y)是所求直线上任一点，则eq \(MP,\s\up14(→))⊥u.又eq \(MP,\s\up14(→))＝(x－2，y－3)，所以2(x－2)＋(y－3)＝0，即2x＋y－7＝0.]
3．已知作用在点A的三个力f1＝(3,4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3,1)，且A(1,1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为( )
A．(9,1) B．(1,9)
C．(9,0) D．(0,9)
A [f＝f1＋f2＋f3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)，
设终点为B(x，y)，则(x－1，y－1)＝(8,0)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＝8，,y－1＝0，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝9，,y＝1，))所以终点坐标为(9,1)．]
4．已知△ABC是直角三角形，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.
[证明] 以C为原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系(略)．
设AC＝a，则A(a,0)，B(0，a)，
Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,2)))，C(0,0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)a，\f(2,3)a)).
因为eq \(AD,\s\up14(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a，\f(a,2)))，eq \(CE,\s\up14(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)a，\f(2,3)a))，
所以eq \(AD,\s\up14(→))·eq \(CE,\s\up14(→))＝－a·eq \f(1,3)a＋eq \f(a,2)·eq \f(2,3)a＝0，
所以eq \(AD,\s\up14(→))⊥eq \(CE,\s\up14(→))，即AD⊥CE.
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题．(重点)
2．体会向量是处理几何问题、物理问题的重要工具．(重点)
3．培养运用向量知识解决实际问题和物理问题的能力．(难点)
1.通过用向量方法解决几何问题的学习，提升数学运算和直观想象的核心素养．
2．通过用向量方法解决物理问题的学习，提升数学想象、数学建模的核心素养.
向量在平面几何中的应用
向量在解析几何中的应用
平面向量在物理中的应用