高中数学人教A版 (2019)必修第二册6.4 平面向量的应用第1课时学案设计

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1．余弦定理
思考：在△ABC中，若a2[提示] 不一定．因为△ABC中a不一定是最大边，所以△ABC不一定是锐角三角形．
2．解三角形
(1)一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．
(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
1．在△ABC中，已知a＝9，b＝2eq \r(3)，C＝150°，则c等于( )
A.eq \r(39) B．8eq \r(3) C．10eq \r(2) D．7eq \r(3)
D [由余弦定理得
c＝eq \r(92＋2\r(3)2－2×9×2\r(3)×cs 150°)＝eq \r(147)＝7eq \r(3).]
2．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于( )
A．60° B．45° C．120° D．30°
C [由cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq \f(1,2)，∴A＝120°.]
3．在△ABC中，a＝1，b＝eq \r(3)，c＝2，则B＝________.
60° [cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)＝eq \f(4＋1－3,4)＝eq \f(1,2)，B＝60°.]
4．在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cs C＝________.
eq \f(1,2) [∵a2－c2＋b2＝ab，
∴c2＝a2＋b2－ab.
又∵c2＝a2＋b2－2abcs C，
∴2cs C＝1.
∴cs C＝eq \f(1,2).]
【例1】 (1)在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝60eq \r(3) cm，A＝eq \f(π,6)，则a＝________cm；
(2)在△ABC中，若AB＝eq \r(5)，AC＝5，且cs C＝eq \f(9,10)，则BC＝________.
(1)60 (2)4或5 [(1)由余弦定理得：
a＝ eq \r(602＋60\r(3)2－2×60×60\r(3)×cs\f(π,6))
＝60(cm)．
(2)由余弦定理得：(eq \r(5))2＝52＋BC2－2×5×BC×eq \f(9,10)，
所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5.]
已知三角形的两边及一角解三角形的方法
先利用余弦定理求出第三边，然后利用余弦定理的推论求出其余角．
1．在△ABC中，a＝2eq \r(3)，c＝eq \r(6)＋eq \r(2)，B＝45°，解这个三角形.
[解] 根据余弦定理得，
b2＝a2＋c2－2accs B＝(2eq \r(3))2＋(eq \r(6)＋eq \r(2))2－2×2eq \r(3)×(eq \r(6)＋eq \r(2))×cs 45°＝8，∴b＝2eq \r(2)，
又∵cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)
＝eq \f(8＋\r(6)＋\r(2)2－2\r(3)2,2×2\r(2)×\r(6)＋\r(2))＝eq \f(1,2)，
∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.
【例2】在△ABC中，已知a＝2eq \r(6)，b＝6＋2eq \r(3)，c＝4eq \r(3)，求A，B，C.
[解] 根据余弦定理，cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)
＝eq \f(6＋2\r(3)2＋4\r(3)2－2\r(6)2,2×6＋2\r(3)×4\r(3))＝eq \f(\r(3),2).
∵A∈(0，π)，∴A＝eq \f(π,6)，
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
＝eq \f(2\r(6)2＋6＋2\r(3)2－4\r(3)2,2×2\r(6)×6＋2\r(3))＝eq \f(\r(2),2)，
∵C∈(0，π)，∴C＝eq \f(π,4).
∴B＝π－A－C＝π－eq \f(π,6)－eq \f(π,4)＝eq \f(7,12)π，
∴A＝eq \f(π,6)，B＝eq \f(7,12)π，C＝eq \f(π,4).
1．已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一．
2．若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．
2．已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶eq \r(6)∶(eq \r(3)＋1)，求△ABC中各角的度数．
[解] 已知a∶b∶c＝2∶eq \r(6)∶(eq \r(3)＋1)，令a＝2k，b＝eq \r(6)k，c＝(eq \r(3)＋1)k(k＞0)，
由余弦定理的推论，得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)
＝eq \f(\r(6)k2＋[\r(3)＋1k]2－2k2,2×\r(6)k×\r(3)＋1k)＝eq \f(\r(2),2)，
∵0°cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)
＝eq \f(2k2＋[\r(3)＋1k]2－\r(6)k2,2×2k×\r(3)＋1k)＝eq \f(1,2)，
∵0°∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
[探究问题]
在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则C＝eq \f(π,2)成立吗？反之若C＝eq \f(π,2)，则c2＝a2＋b2成立吗？为什么？
[提示] 因为c2＝a2＋b2，所以a2＋b2－c2＝0，由余弦定理的变形cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝0，即cs C＝0，所以C＝eq \f(π,2)，反之若C＝eq \f(π,2)，则cs C＝0，即eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝0，所以a2＋b2－c2＝0，即c2＝a2＋b2.
【例3】在△ABC中，若(a－c·cs B)·sin B＝(b－c·cs A)·sin A，判断△ABC的形状.
[解] ∵(a－c·cs B)·sin B＝(b－c·cs A)·sin A，
∴由余弦定理可得：
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－c·\f(a2＋c2－b2,2ac)))·b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－c·\f(b2＋c2－a2,2bc)))·a，
整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，
即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.
∴a2＋b2＝c2或a＝b.
故△ABC为直角三角形或等腰三角形．
1．(变条件)将例题中的条件“(a－ccs B)·sin B＝(b－ccs A)·sin A”换为“acs A＋bcs B＝ccs C”其它条件不变，试判断三角形的形状．
[解] 由余弦定理知cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ca)，cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)，代入已知条件得a·eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＋b·eq \f(c2＋a2－b2,2ca)＋c·eq \f(c2－a2－b2,2ab)＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.
根据勾股定理知△ABC是直角三角形．
2．(变条件)将例题中的条件“(a－ccs B)·sin B＝(b－ccs A)·sin A”换为“lg a－lg c＝lg sin B＝－lg eq \r(2)且B为锐角”判断△ABC的形状．
[解] 由lg sin B＝－lg eq \r(2)＝lg eq \f(\r(2),2)，
可得sin B＝eq \f(\r(2),2)，又B为锐角，∴B＝45°.
由lg a－lg c＝－lg eq \r(2)，得eq \f(a,c)＝eq \f(\r(2),2)，∴c＝eq \r(2)a.
又∵b2＝a2＋c2－2accs B，
∴b2＝a2＋2a2－2eq \r(2)a2×eq \f(\r(2),2)＝a2，
∴a＝b，即A＝B.又B＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形．
判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
1．余弦定理是三角形边角之间关系的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例．
2．用余弦定理可以解决两种解三角形的题型
(1)已知三边解三角形．
(2)已知两边及一角解三角形．
3．已知两边及其中一边所对角用余弦定理求解时可能有两个解，注意用边与角之间的关系特点进行取舍．
1．判断正误
(1)余弦定理适用于任意三角形．( )
(2)在△ABC中，若a2＞b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．( )
(3)在△ABC中，已知两边和它们的夹角，△ABC不唯一．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．在△ABC中，a＝7，b＝4eq \r(3)，c＝eq \r(13)，则△ABC的最小角为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,6) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,12)
B [由三角形边角关系可知，角C为△ABC的最小角，则cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(72＋4\r(3)2－\r(13)2,2×7×4\r(3))＝eq \f(\r(3),2)，所以C＝eq \f(π,6)，故选B.]
3．在△ABC中，若a＝2bcs C，则△ABC的形状为________．
等腰三角形 [∵a＝2bcs C＝2b·eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(a2＋b2－c2,a)，
∴a2＝a2＋b2－c2，即b2＝c2，b＝c，
∴△ABC为等腰三角形．]
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C,2b＝eq \r(3)a，则cs A＝________.
eq \f(1,3) [由B＝C,2b＝eq \r(3)a，
可得b＝c＝eq \f(\r(3),2)a，
所以cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)
＝eq \f(\f(3,4)a2＋\f(3,4)a2－a2,2×\f(\r(3),2)a×\f(\r(3),2)a)＝eq \f(1,3).]
5．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边c的长．
[解] 5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)·(x＋2)＝0，
∴x1＝eq \f(3,5)，x2＝－2(舍去)，
∴cs C＝eq \f(3,5).
根据余弦定理，
c2＝a2＋b2－2abcs C
＝52＋32－2×5×3×eq \f(3,5)＝16，
∴c＝4，即第三边长为4.学习目标
核心素养
1.掌握余弦定理及其推论．(重点)
2．掌握余弦定理的综合应用．(难点)
3．能应用余弦定理判断三角形的形状．(易错点)
1.借助余弦定理的推导过程，提升逻辑推理素养．
2．通过余弦定理的应用，培养数学运算素养.
文字表述
三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
公式表达
a2＝b2＋c2－2bccs_A，
b2＝a2＋c2－2accs_B，
c2＝a2＋b2－2abcs_C
变形
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
已知两边与一角解三角形
已知三边解三角形
余弦定理的综合应用

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