人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念导学案，共8页。

1．复数的概念：z＝a＋bi(a，b∈R)
全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}，叫做复数集．
2．复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.
3．复数的分类
z＝a＋bi(a，b∈R)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(实数b＝0,虚数b≠0\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(非纯虚数a≠0,纯虚数a＝0))))
思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？
[提示]
1．复数i－2的虚部是( )
A．i B．－2
C．1 D．2
C [i－2＝－2＋i，因此虚部是1.]
2．如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为( )
A．x＝1，y＝－1 B．x＝0，y＝－1
C．x＝1，y＝0 D．x＝0，y＝0
A [∵(x＋y)i＝x－1，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,x－1＝0，))
∴x＝1，y＝－1.]
3．在下列数中，属于虚数的是 ，属于纯虚数的是 ．
0,1＋i，πi，eq \r(3)＋2i，eq \f(1,3)－eq \r(3)i，eq \f(π,3)i.
1＋i，πi，eq \r(3)＋2i，eq \f(1,3)－eq \r(3)i，eq \f(π,3)i πi，eq \f(π,3)i [根据虚数的概念知：1＋i，πi，eq \r(3)＋2i，eq \f(1,3)－eq \r(3)i，eq \f(π,3)i都是虚数；由纯虚数的概念知：πi，eq \f(π,3)i都是纯虚数．]
【例1】 给出下列说法：①复数2＋3i的虚部是3i；②形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数；③若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数；④若两个复数能够比较大小，则它们都是实数．其中错误说法的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [复数2＋3i的虚部是3，①错；形如a＋bi(b∈R)的数不一定是虚数，②错；只有当a∈R，a＋3≠0时，(a＋3)i是纯虚数，③错；若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，故④正确，所以有3个错误．]
判断复数概念方面的命题真假的注意点
(1)正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概念，注意它们之间的区别与联系；
(2)注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同；
(3)注意通过列举反例来说明一些命题的真假．
1．下列说法中正确的是( )
A．复数由实数、虚数、纯虚数构成
B．若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有x≠0
C．在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数
D．若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i
C [选项A错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数；选项B错，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有y≠0，但可以x＝0；选项C正确，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是纯虚数，必有x＝0，y≠0，因此只要x≠0，复数z一定不是纯虚数；选项D错，当a，b∈R时，a＋i与b＋i都是虚数，不能比较大小．]
【例2】 实数x分别取什么值时，复数z＝eq \f(x2－x－6,x＋3)＋(x2－2x－15)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
[解] (1)当x满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x－15＝0，,x＋3≠0，))即x＝5时，z是实数．
(2)当x满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x－15≠0，,x＋3≠0，))即x≠－3且x≠5时，z是虚数．
(3)当x满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2－x－6,x＋3)＝0，,x2－2x－15≠0，,x＋3≠0，))即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．
复数分类的关键
(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)时应先转化形式．
(2)注意分清复数分类中的条件
设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则①z为实数⇔b＝0，②z为虚数⇔b≠0，③z为纯虚数⇔a＝0，b≠0，④z＝0⇔a＝0，且b＝0.
2．已知m∈R，复数z＝lg m＋(m2－1)i，当m为何值时，
(1)z为实数；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数．
[解] (1)当z为实数时，m需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－1＝0，,m＞0，))解得m＝1.
(2)当z为虚数时，m需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－1≠0，,m＞0，))解得m＞0，且m≠1.
(3)当z为纯虚数时，m需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg m＝0，,m2－1≠0，))无解，即不存在m使z为纯虚数．
[探究问题]
1．由3>2能否推出3＋i>2＋i？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？
[提示] 由3>2不能推出3＋i>2＋i，当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．
2．若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足什么条件？
[提示] 若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足a>0，且b＝0.
【例3】 (1)若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于 ．
(2)已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实数根，求实数m的值．
[思路探究] (1)等价转化为虚部为零，且实部小于零．
(2)根据复数相等的充要条件求解．
(1)－3 [∵z<0，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－9＝0，,m＋1<0，))∴m＝－3.]
(2)[解] 设a是原方程的实根，则a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0，
所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0，
所以a＝－eq \f(1,2)且eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2－eq \f(1,2)＋3m＝0，所以m＝eq \f(1,12).
1．若x＝1是方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0的实数根，求复数m的值．
[解] 由题意可知，1＋1－2i ＋3m－i＝0，
即m＝－eq \f(2,3)＋i.
2．若x2＋(1－2i)x＋(3m－i)>0，求实数m的取值范围．
[解] 由题意可知，x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝ x2＋x＋3m－(2x＋1)i>0, 故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1＝0，,x2＋x＋3m>0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,2)，,m>\f(1,12).))
所以实数m的取值范围为m>eq \f(1,12).
复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．
提醒：若两个复数能比较大小，则这两个复数必为实数．
1．a，b∈R，a＋bi＝0⇔a＝b＝0；a＋bi＞0⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞0，,b＝0.))
2．两个虚数不能比较大小．
3．z是复数，z2≥0不一定成立，如i2＝－1＜0.
4．复数问题实数化是解决复数问题的最基本、最重要的思想方法．
1．判断正误
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．( )
(2)复数i的实部不存在，虚部为0.( )
(3)bi是纯虚数．( )
(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是( )
A.eq \r(2)，1 B.eq \r(2)，5
C．±eq \r(2)，5 D．±eq \r(2)，1
C [令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝2，,－2＋b＝3，))得a＝±eq \r(2)，b＝5.]
3．已知x2－y2＋2xyi＝2i，则实数x，y的值分别为 ．
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1,y＝－1)) [∵x2－y2＋2xyi＝2i，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－y2＝0，,2xy＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－1.))]
4．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)是0？
[解] 由m2＋5m＋6＝0得，m＝－2或m＝－3，由m2－2m－15＝0得m＝5或m＝－3.
(1)当m2－2m－15＝0时，
复数z为实数，
∴m＝5或－3.
(2)当m2－2m－15≠0时，
复数z为虚数，
∴m≠5且m≠－3.
(3)当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－2m－15≠0，,m2＋5m＋6＝0))时，
复数z是纯虚数，
∴m＝－2.
(4)当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－2m－15＝0，,m2＋5m＋6＝0))时，
复数z是0，∴m＝－3.
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程．(重点)
2．理解复数的概念、表示法及相关概念．(重点)
3．掌握复数的分类及复数相等的充要条件．(重点、易混点)
1.通过学习数系的扩充，培养逻辑推理的素养．
2．借助复数的概念，提升数学抽象的素养.
复数的概念
复数的分类
复数相等的充要条件