人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算导学案

7.2　复数的四则运算

7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义

1．复数加法与减法的运算法则

(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则

①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；

②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.

(2)对任意z1，z2，z3∈C，有

①z1＋z2＝z2＋z1；

②(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

2．复数加减法的几何意义

如图所示，设复数z1，z2对应向量分别为1，2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应．

思考：类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？

[提示]　|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离．

1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝(　　)

A．8i　　　　　　　　　 B．6

C．6＋8i   D．6－8i

B　[z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.]

2．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于(　　)

A．－1＋i　　　B．1－i　　　C．i　　　D．－i

A　[(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.故选A.]

3．已知向量1对应的复数为2－3i，向量2对应的复数为3－4i，则向量对应的复数为        ．

1－i　[＝－＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i.]

【例1】　(1)计算：＋(2－i)－；

(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.

[解]　(1)＋(2－i)－＝＋i＝1＋i.

(2)法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋1－3i＝5－2i，

所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，即x＋1＝5且y－3＝－2，

解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i.

法二：因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.

复数代数形式的加、减法运算技巧

复数与复数相加减，相当于多项式加减法的合并同类项，将两个复数的实部与实部相加(减)，虚部与虚部相加(减)．

1．(1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝        .

(2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝        .

(1)－2－i　(2)　[(1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i.

(2)z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i，

所以解得x＝1，y＝0，

所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i，

所以|z1＋z2|＝.]

【例2】　(1)复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝.则|z1－z2|＝        .

(2)如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求

①所表示的复数，所表示的复数；

②对角线所表示的复数；

③对角线所表示的复数及的长度．

(1)　[由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，知z1，z2，z1＋z2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z1－z2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z1－z2|＝.]

 (2)[解]　①＝－，∴所表示的复数为－3－2i.

∵＝，∴所表示的复数为－3－2i.

②∵＝－，

∴所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.

③对角线＝＋，它所对应的复数z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i, ||＝＝.

1．用复数加、减运算的几何意义解题的技巧

(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．

(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．

2．常见结论

在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB为平行四边形；若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．

2．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．

[解]　设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图．

则＝－＝(x，y)－(1,2)

＝(x－1，y－2)．

＝－＝(－1，－2)－(－2,1)＝(1，－3)．

∵＝，∴解得故点D对应的复数为2－i.

[探究问题]

1．满足|z|＝1的所有复数z对应的点组成什么图形？

[提示]　满足|z|＝1的所有复数z对应的点在以原点为圆心，半径为1的圆上．

2．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点组成什么图形？

[提示]　∵|z－1|＝|z＋1|，∴点Z到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．

【例3】　(1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　)

A．1　　　　　　 B.

C．2   D.

(2)若复数z满足|z＋＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．

(1)A　[设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2, |Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.

问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|＝1.所以|z＋i＋1|min＝1.]

(2)[解]　如图所示， ||＝＝2.

所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1.

1．若本例题(2)条件改为“设复数z满足|z－3－4i|＝1”，求|z|的最大值．

[解]　因为|z－3－4i|＝1，

所以复数z所对应点在以C(3,4)为圆心，半径为1的圆上，

由几何性质得|z|的最大值是

＋1＝6.

2．若本例题(2)条件改为已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值．

[解]　因为|z|＝1且z∈C，作图如图：

所以|z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离，所以|z－2－2i|的最小值为|OP|－1＝2－1.

|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.

1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．

2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．

3．|z－z0|表示复数z和z0所对应的点的距离，当|z－z0|＝r(r＞0)时，复数z对应的点的轨迹是以z0对应的点为圆心，半径为r的圆．

1．判断正误

(1) 复数加法的运算法则类同于实数的加法法则．(　　)

(2)复数与复数相加减后结果为复数．(　　)

(3)复数加减法的几何意义类同于向量加减法运算的几何意义．(　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)√

2．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝        .

5　[|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝＝5.]

3．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝        .

－1　[z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，∴

解得a＝－1.]

4．在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，求向量＋，对应的复数及A，B两点间的距离．

[解]　向量＋对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2.

∵＝－，

∴向量对应的复数为(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i.

∴A，B两点间的距离为|－8－2i|＝＝2.