数学8.3 简单几何体的表面积与体积第2课时学案设计

第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征

1．圆柱的结构特征

2.圆锥的结构特征

3.圆台的结构特征

思考1：用平面去截圆锥一定会得到一个圆锥和一个圆台？

[提示]　不一定．只有当平面与圆锥的底面平行时，才能截得一个圆锥和一个圆台．

4．球的结构特征

思考2：球能否由圆面旋转而成？

[提示]　能．圆面以直径所在的直线为旋转轴，旋转半周形成的旋转体即为球．

5．简单组合体的结构特征

(1)简单组合体的定义：由简单几何体组合而成的几何体．

(2)简单组合体的两种基本形式：

简单组合体

1．圆锥的母线有(　　)

A．1条　　　B．2条　　　C．3条　　　D．无数条

D　[由圆锥的结构特征知圆锥的母线有无数条．]

2．下列图形中是圆柱的是        ．

　①　　　　　②　　　　③　　　　④

②　[根据圆柱的概念可知只有②是圆柱．]

3．下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周(如图所示)，能形成圆台的是        ．(填序号)

　　①　　　　　②　　　　　③　　　　　④

①　[根据定义，①形成的是圆台，②形成的是球，③形成的是圆柱，④形成的是圆锥．]

4．下图由哪些简单几何体构成？

①　　　　　　②　　

[解]　①是由两个四棱锥拼接而成的，②是由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成的．

【例1】　(1)下列说法不正确的是(　　)

A．圆柱的侧面展开图是一个矩形

B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形

C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥

D．圆台平行于底面的截面是圆面

(2)给出下列命题：

①圆柱的母线与它的轴可以不平行；

②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；

③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；

④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．

其中正确的是(　　)

A．①②　　　B．②③　　　C．①③　　　D．②④

(1)C　(2)D　[(1)由圆锥的概念知，直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周所围成的几何体是圆锥．强调一定要绕着它的一条直角边，即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C错．

(2)由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误．]

简单旋转体判断问题的解题策略

(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其结构特征是解决此类概念问题的关键．

(2)解题时要注意两个明确：

①明确由哪个平面图形旋转而成．

②明确旋转轴是哪条直线．

1．给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是        ．(填序号)

①②　[①正确，圆柱的底面是圆面；

②正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；

③不正确，圆台的母线延长相交于一点；

④不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．]

【例2】　如图①②所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？

[思路探究]　先将平面图形割补成三角形、梯形、矩形，再旋转识别几何体．

[解]　旋转后的图形如图所示．其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的．

旋转体形状的判断方法：

(1)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的．

(2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力，或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状．

(3)要熟练掌握各类旋转体的结构特征．

2．如图，AB为圆弧BC所在圆的直径，∠BAC＝45°.将这个平面图形绕直线AB旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结构特征．

[解]　如图所示，这个组合体是由一个圆锥和一个半球体拼接而成的．

[探究问题]

1．圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面是什么样的图形？

[提示]　圆面．

2．圆柱、圆锥、圆台过轴的截面是什么样的图形？

[提示]　分别为矩形、等腰三角形、等腰梯形．

3．经过圆台的任意两条母线作截面，截面是什么图形？

[提示]　因为圆台可以看成是圆锥被平行于底面的平面所截得到的几何体，所以任意两条母线长度均相等，且延长后相交，故经过这两条母线的截面是以这两条母线为腰的等腰梯形．

【例3】　如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长．

[思路探究]　过圆锥的轴作截面图，利用三角形相似解决．

[解]　设圆台的母线长为l cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r,4r，过轴SO作截面，如图所示．

则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm.

所以＝，所以＝＝.

解得l＝9(cm)，即圆台的母线长为9 cm.

1．把本例的条件换为“圆台两底面半径分别是2 cm和5 cm，母线长是3 cm”，则它的轴截面的面积是        ．

63 cm2　[画出轴截面，如图，过A作AM⊥BC于M，

则BM＝5－2＝3(cm)，AM＝＝9(cm)，

所以S四边形ABCD＝＝

63(cm2)．]

2．把本例的条件换为“一圆锥的母线长为6，底面半径为3，把该圆锥截一圆台，截得圆台的母线长为4”，则圆台的另一底面半径为        ．

1　[作轴截面如图，

则＝＝，所以r＝1.]

1．简单旋转体的轴截面及其应用

(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．

(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．

2．与圆锥有关的截面问题的解决策略

(1)画出圆锥的轴截面．

(2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长的等量关系，求解便可．

1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．

2．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．

3．处理组合体问题常采用分割思想．

4．重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想．

1．判断正误

(1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥．(　　)

(2)夹在圆柱的两个平行平面之间的几何体是圆柱．(　　)

(3)圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台．(　　)

(4)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2．圆柱的母线长为10，则其高等于(　　)

A．5　　　　　　　 B．10

C．20   D．不确定

B　[圆柱的母线长和高相等．]

3．下面几何体的截面一定是圆面的是(　　)

A．圆台　　　B．球　　　C．圆柱　　　D．棱柱

B　[截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球．]

4．指出如图①②所示的图形是由哪些简单几何体构成的．

①　　　　　　②

[解]　分割原图，使它的每一部分都是简单几何体．图①是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．

图②是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．