数学必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行学案

8.5.3　平面与平面平行

1．平面与平面平行的判定

(1)文字语言：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．

(2)符号语言：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α.

(3)图形语言：如图所示．

2．平面与平面平行的性质定理

(1)文字语言：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行．

(2)符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.

(3)图形语言：如图所示．

(4)作用：证明两直线平行．

思考：如果两个平面平行，那么这两个平面内的所有直线都相互平行吗？

[提示]　不一定．它们可能异面．

1．已知平面α内的两条直线a，b，a∥β，b∥β，若要得出平面α∥平面β， 则直线a，b的位置关系是(　　)

A．相交　　　B．平行　　　C．异面　　　D．垂直

A　[根据面面平行的判定定理可知a，b相交．]

2．平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n，则m，n的位置关系是(　　)

A．平行　　　　　　　 B．相交

C．异面   D．平行或异面

A　[因为圆台的上、下底面互相平行，所以由平面与平面平行的性质定理可知m∥n.]

3．已知平面α∥平面β，直线l∥α，则(　　)

A. l∥β   B. l⊂β

C. l∥β或l⊂β   D. l, β相交

C　[假设l与β相交，又α∥β，则l与α相交，与l∥α矛盾，则假设不成立，则l∥β或l⊂β.]

4．已知长方体ABCD­A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是(　　)

A．平行   B．相交

C．异面   D．不确定

A　[由面面平行的性质定理易得．]

【例1】　如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．

求证：(1)E、F、B、D四点共面；

(2)平面MAN∥平面EFDB.

[思路探究]　(1)欲证E、F、B、D四点共面，需证BD∥EF即可．

(2)要证平面MAN∥平面EFDB，只需证MN∥平面EFDB，AN∥平面BDFE即可．

[解]　(1)连接B1D1，

∵E、F分别是边B1C1、C1D1的中点，

∴EF∥B1D1.

而BD∥B1D1，∴BD∥EF.

∴E、F、B、D四点共面．

(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.

又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB.

∴MN∥平面EFDB.

连接MF.∵M、F分别是A1B1、C1D1的中点，

∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.

∴MF∥AD且MF＝AD.

∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.

又AM⊄平面BDFE，DF⊄平面BDFE，

∴AM∥平面BDFE.

又∵AM∩MN＝M，

∴平面MAN∥平面EFDB.

平面与平面平行的判定方法：

(1)定义法：两个平面没有公共点．

(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．

(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.

(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

1．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.

[证明]　∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，

∴MQ∥AD，NQ∥BP.

又∵BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，

∴NQ∥平面PBC.

∵四边形ABCD为平行四边形．

∴BC∥AD，∴MQ∥BC.

又∵BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，

∴MQ∥平面PBC.

又∵MQ∩NQ＝Q，

∴平面MNQ∥平面PBC.

[探究问题]

1．平面与平面平行性质定理的条件有哪些？

[提示]　必须具备三个条件：①平面α和平面β平行，即α∥β；

②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；

③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.

以上三个条件缺一不可．

2．线线、线面、面面平行之间有什么联系？

[提示]　联系如下：

【例2】　如图，已知平面α∥平面β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，过点P的直线n与α、β分别交于B、D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．

[解]　因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，

因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.所以＝，即＝.

所以BD＝.

1. 将本例改为：已知平面α∥β∥γ，两条直线l、m分别与平面α、β、γ相交于点A、B、C与D、E、F.已知AB＝6，＝，则AC＝        .

15　[由题可知＝⇒AC

＝·AB＝×6＝15.]

2．将本例改为：若点P在平面α，β之间(如图所示)，其他条件不变，试求BD的长．

[解]　与本例同理，可证AB∥CD.

所以＝，即＝，所以BD＝24.

3．将本例改为：已知三个平面α、β、γ满足α∥β∥γ，直线a与这三个平面依次交于点A、B、C，直线b与这三个平面依次交于点E、F、G. 求证：＝.

[证明]　连接AG交β于H，连BH、FH、AE、CG.

因为β∥γ，平面ACG∩β＝BH，平面ACG∩γ＝CG，

所以BH∥CG.同理AE∥HF，

所以＝＝.

应用平面与平面平行性质定理的基本步骤：

【例3】　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.

求证：GH∥平面PAD.

[证明]　如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.

∵ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，

∴PA∥MO，而AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，

∴PA∥平面BMD，

又∵PA⊂平面PAHG，

平面PAHG∩平面BMD＝GH，

∴PA∥GH.

又PA⊂平面PAD，GH⊄平面PAD，

∴GH∥平面PAD.

1．证明直线与直线平行的方法

(1)平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质；平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行等．

(2)基本事实4.

(3)线面平行的性质定理．

(4)面面平行的性质定理．

2. 证明直线与平面平行的方法：

(1)线面平行的判定定理．

(2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．

2．如图，三棱锥A­BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH.

求证：CD∥平面EFGH.

[证明]　由于四边形EFGH是平行四边形，

∴EF∥GH.

∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，

∴EF∥平面BCD.又∵EF⊂平面ACD，

平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.

又∵EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，

∴CD∥平面EFGH.

1．三种平行关系的转化.

2．常用的面面平行的其他几个性质

(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．

(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．

(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．

(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．

1．判断正误

(1)α内有无数多条直线与β平行，则α∥β.(　　)

(2)直线a∥α，a∥β.则α∥β.(　　)

(3)直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α，则α∥β.(　　)

(3)α内的任何直线都与β平行，则α∥β.(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．a∥α，b∥β，α∥β，则a与b位置关系是(　　)

A．平行

B．异面

C．相交

D．平行或异面或相交

D　[如图①②③所示，a与b的关系分别是平行、异面或相交．]

①　　　　　②　　　　　③　　

3．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，过点M的所有直线中(　　)

A．不一定存在与a平行的直线

B．只有两条与a平行的直线

C．存在无数条与a平行的直线

D．有且只有一条与a平行的直线

D　[由于α∥β，a⊂α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确．]

4．用一个平面去截三棱柱ABC­A1B1C1，交A1C1，B1C1，BC，AC分别于点E，F，G，H.若A1A>A1C1，则截面的形状可以为       ．(填序号)

①一般的平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形．

②⑤　[当FG∥B1B时，四边形EFGH为矩形；当FG不与B1B平行时，四边形EFGH为梯形．]

5．如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为棱AB，AC上的点，点G为棱AD的中点，且平面EFG∥平面BCD.

求证：BC＝2EF.

[证明]　因为平面EFG∥平面BCD，

平面ABD∩平面EFG＝EG，

平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EG∥BD，

又G为AD的中点，故E为AB的中点，

同理可得，F为AC的中点，

所以BC＝2EF.