高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算导学案

6.2.3　向量的数乘运算

1．向量的数乘运算

(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度与方向规定如下：

①|λa|＝|λ||a|；

②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；

当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．

(2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：

①λ(μ a)＝(λμ)a；

②(λ＋μ)a＝λa＋μ a；

③λ(a＋b)＝λa＋λb；

特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)；

λ(a－b)＝λa－λb.

(3)线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b.

2．共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.

思考：定理中把“a≠0”去掉可以吗？

[提示]　定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa.

1．若|a|＝1，|b|＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是(　　)

A．b＝2a　　　　　　　　 B．b＝－2a

C．a＝2b   D．a＝－2b

A　[因a，b方向相同，故b＝2a.]

2．点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是(　　)

A.＝3　　　　　　  B.＝2

C.＝   D.＝2

D　[由题意可知：＝－3；＝－2＝2.故只有D正确．]

3．化简：2(3a＋4b)－8a＝________.

－2a＋8b　[原式＝6a＋8b－8a＝－2a＋8b.]

4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.

2　[由向量加法的平行四边形法则知＋＝.

又∵O是AC的中点，∴AC＝2AO，

∴＝2，∴＋＝2，

∴λ＝2.]

【例1】　(1)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________.

(2)化简下列各式：

①3(6a＋b)－9；

②－2；

③2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.

(1)4b－3a　[由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a.]

(2)[解]　①原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.

②原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0.

③原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.

向量数乘运算的方法

(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．

(2)向量也可以通过列方程来解—把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解．在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．

1．(1)化简；

(2)已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y.

[解]　(1)原式

＝

＝

＝＝a－b.

(2)由①×3＋②×2得，x＝3a＋2b，代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a，所以y＝4a＋3b.

所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.

[探究问题]

1．如何证明向量a与b共线？

[提示]　要证明向量a与b共线，只需证明存在实数λ，使得b＝λa(a≠0)即可，一般地，把a和b用相同的两个向量m，n表示出来，观察a与b具有倍数关系即可．

2．如何证明A，B，C三点在同一直线上？

[提示]　要证三点A，B，C共线，只需证明与或与共线即可．

【例2】　(1)已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线；

(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，求x＋y的值．

[思路探究]　(1)→→

(2)→→→

[解]　(1)证明：∵＝e1＋3e2，＝2e1－e2，

∴＝－＝e1－4e2.

又＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，

∴＝2，∴∥.

∵AB与BD有交点B，

∴A，B，D三点共线．

(2)由于A，B，P三点共线，所以向量，在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使＝λ，

即－＝λ(－)，

所以＝(1－λ)＋λ，

故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.

1．本例(1)中把条件改为“＝e1＋2e2，＝－5e1＋6e2，＝7e1－2e2”，则A，B，C，D中哪三点共线？

[解]　∵＝e1＋2e2，＝＋＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2.

∴，共线，且有公共点B，

∴A，B，D三点共线．

2．本例(1)中条件“＝2e1－8e2”改为“＝2e1＋ke2”且A，B，D三点共线，如何求k的值？

[解]　因为A，B，D三点共线，则与共线．设＝λ(λ∈R)，

∵＝－＝2e1－e2－(e1＋3e2)＝e1－4e2，

∴2e1＋ke2＝λe1－4λe2.由e1与e2不共线可得

∴λ＝2，k＝－8.

3．试利用本例(2)中的结论判断下列三点是否共线.

①＝＋；

②＝－2＋3；

③＝－.

[解]　①中∵＋＝1，∴P，A，B三点共线；

②中∵－2＋3＝1，∴P，A，B三点共线；

③中∵＋＝≠1，∴P，A，B三点不共线．

1．证明或判断三点共线的方法

(1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可．

(2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使＝x＋y且x＋y＝1.

2．利用向量共线求参数的方法

判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得a＝λb(b≠0)．而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，解方程从而求得λ的值．

【例3】　(1)如图，▱ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝(　　)

A.a－b　　　　　 B.a＋b

C．a＋b   D．a－b

(2)如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知＝a，＝b，试用a，b分别表示，，.

[思路探究]　先用向量加减法的几何意义设计好总体思路，然后利用平面图形的特征和数乘向量的几何意义表示．

(1)D　[＝＋＝＋

＝－＝a－b.]

(2)由三角形中位线定理，知DE綊BC，故＝，即＝a.

＝＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b.

＝＋＋＝＋＋＝－a－b＋a＝a－b.

1．本例(1)中，设AC与BD相交于点O，F是线段OD的中点，AF的延长线交DC于点G，试用a，b表示.

[解]　因为DG∥AB，

所以△DFG∽△BFA，

又因为DF＝OD＝×BD＝BD，

所以＝＝，

所以＝＋＝＋＝a＋b.

2．本例(1)中，若点F为边AB的中点，设a＝，b＝，用a，b表示.

[解]　由题意

解得

所以＝－＝a＋b.

用已知向量表示其他向量的两种方法

(1)直接法．

(2)方程法．

当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．

提醒：用已知向量表示未知向量的关键是弄清向量之间的数量关系．

2.如图所示，四边形ABCD中，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，.

[解]　＝＋＋＝－＋＋＝－a＋b＋c；

＝＋＋＝－－＋＝－c－b＋a＝a－b－c.

1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的．

2．λa几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍，向量表示与向量a同向的单位向量．

3．判断两个向量是否共线，关键是能否找到一个实数λ，使b＝λa.若λ存在，则共线；λ不存在，则不共线．

4．共线向量定理的应用

①证明向量共线：对于向量a与b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线(平行)．

②证明三点共线：若存在实数λ，使＝λ，则A、B、C三点共线．

③求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．

特别注意：①证明三点共线问题，应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．

②若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.

5．注意记住以下结论并能运用

(1)若A，B，P三点共线，则＝x＋y且x＋y＝1.

(2)在△ABC中，若D为BC的中点，则＝(＋)．

(3)在△ABC中，若G为△ABC的重心，则＋＋＝0.

1．判断正误

(1)若b＝λa，则a与b共线．(　　)

(2)若λa＝0，则a＝0.(　　)

(3)(－7)·6a＝－42a.(　　)

(4)若＝λ(λ≠0)，则A，B，C，D四点共线．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

2．对于向量a，b有下列表示：

①a＝2e，b＝－2e；

②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；

③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；

④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.

其中，向量a，b一定共线的有(　　)

A．①②③　　　　　　　 B．②③④

C．①③④   D．①②③④

A　[对于①，b＝－a，有a∥b；

对于②，b＝－2a，有a∥b；

对于③，a＝4b，有a∥b；

对于④，a与b不共线．]

3．设a，b是两个不共线的向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________.

－4　[因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，所以ka＋2b＝λ(8a＋kb)⇒⇒k＝－4(因为方向相反，所以λ＜0⇒k＜0)．]

4．如图所示，已知＝，用，表示.

[解]　＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.