人教A版 (2019)必修 第二册8.1 基本立体图形导学案

8.1  基本立体图形（精讲）

考法一 多面体

【例1】（2020·全国课时练习）下列说法正确的是（    ）

A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥

B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台

C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥

D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体

【答案】D

【解析】选项，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体是棱锥，

即其余各面的三角形必须有公共的顶点，故选项错误；

选项，棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体不一定是棱台，

因为它的侧棱延长后不一定交于一点，故选项错误；

选项，当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是时，各侧面构成平面图形，构不成棱锥，由此推导出这个棱锥不可能为六棱锥，即选项错误；

选项，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，即选项正确．故选：．

【一隅三反】

1．（多选）（2020·全国专题练习）下列说法正确的是（    ）

A．如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等

B．五棱锥只有五条棱

C．一个棱柱至少有五个面

D．棱台的各侧棱延长后交于一点

【答案】CD

【解析】四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等，也可以不相等，A错误；

五棱锥除了五条侧棱外，底面上还有五条棱，故共条棱，B错误；

一个棱柱最少有三个侧面，两个底面，故至少有五个面，C正确；

棱台是由平行于棱锥底面的截面截得，故棱台的各侧棱延长后交于一点，D正确.故选：CD.

2．（2021·安徽蚌埠市）下列命题正确的是（    ）

A．棱柱的每个面都是平行四边形 B．一个棱柱至少有五个面

C．棱柱有且只有两个面互相平行 D．棱柱的侧面都是矩形

【答案】B

【解析】对于A，棱柱的上下底面可以是三角形或者是梯形，故A不正确；

对于B，面最少的就是三棱柱，共有五个面，B正确；

对于C，长方体是棱柱，但是上下、左右、前后都是互相平行的，C不正确；

对于D，斜棱柱的侧面可以不是矩形，D错误.

3．（2020·利川市第五中学）下列命题中，正确的是（    ）

A．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱

B．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱

C．侧面都是矩形的四棱柱是长方体

D．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥

【答案】B

【解析】对于A，根据直棱柱的概念，侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，

有两个侧面是矩形的棱柱可能是斜棱柱，只有相邻的两个侧面是矩形时，

才是直棱柱，故A不正确；

对于B，有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱，可知侧棱垂直于底面，

又底面为正多边形，故B正确；

对于C，侧面都是矩形的直棱柱，底面不是矩形，不是长方体，故C不正确；

对于D，侧面都是等腰三角形，但底面不是正多边形的棱锥不是正棱锥，故D不正确.故选：B

考法二 旋转体

【例2】（2020·山东济宁市）给出下列命题：

①圆柱的母线与它的轴可以不平行；

②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；

③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；

④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.

其中正确的是（    ）

A．①② B．②③ C．①③ D．②④

【答案】D

【解析】由圆柱的母线无论旋转到什么位置都与轴平行，故①错误；

圆锥是以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的，

故②正确；

③中连接的线可能存在与轴异面的情况，而圆台的母线与轴共面，故③错误；

④由于圆柱中任意母线均与轴平行，故其中任意两条母线相互平行，故④正确；

综上可知②④正确，①③错误.

故选：D.

【一隅三反】

1．（2020·全国课时练习）下列说法正确的是（    ）

A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥

B．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台

C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面

D．一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台

【答案】C

【解析】以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，以斜边为轴旋转一周所得的旋转体是是两个同底圆锥的组合体，A错；

以直角梯形的直角腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体才是圆台，B错；

圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，正确；

平行于圆锥底面平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台，如果截面不平行于底面，则截得的不是圆锥和圆台，D错.

故选：C.

2．（2021·湖南衡阳市）下列结论中正确的是（    ）

A．半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球

B．直角三角形绕一直角边为轴旋转一周得到的旋转体是圆锥

C．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体

D．用一个平面截圆锥底面与截面组成的部分是圆台

【答案】B

【解析】因为半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球，故错误；

当以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转时，其余各边旋转形成的面所围成的几何体是圆锥，故正确；

当两个平行截面不平行于上、下两个底面时，两个平行截面间的几何体不是旋转体，故错误；

圆锥的截面不与底面平行时，圆锥底面与截面组成的部分不是圆台，故错误.

故选：B.

3．（2020·全国课时练习）给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的；⑤圆台所有母线的延长线交于一点其中正确的命题是（    ）

A．①②④ B．②③④ C．①③⑤ D．②④⑤

【答案】D

【解析】由于圆柱母线所在的直线互相平行且与旋转轴平行，

而在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，

这两点的连线与旋转轴不一定平行，故①错误，④正确；

由圆锥母线的定义知②正确；

在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是母线，

且圆台所有母线的延长线交于一点，故③错误，⑤正确.

故选：D.

考法三  组合体

【例3】（2020·浙江省东阳中学）如图所示的组合体，其结构特征是（    ）

A．由两个圆锥组合成的

B．由两个圆柱组合成的

C．由一个棱锥和一个棱柱组合成的

D．由一个圆锥和一个圆柱组合成的

【答案】D

【解析】由图知：该组合体是由一个圆锥和一个圆柱组合成的，故选：D

【一隅三反】

1．（2020·台州市三梅中学）如图的组合体是由（    ）组合而成.

A．两个棱柱 B．棱柱和圆柱

C．圆柱和棱台 D．圆锥和棱柱

【答案】B

【解析】由图可知该组合体由圆柱和六棱柱组合而成，故选：B

2．（2021·全国课时练习）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是由 (　　)

A．一个圆台、两个圆锥构成 B．两个圆台、一个圆锥构成

C．两个圆柱、一个圆锥构成 D．一个圆柱、两个圆锥构成

【答案】D

【解析】旋转体如图，中间是一个圆柱，两端是相同的圆锥构成，故选D．

3．（2021·江苏课时练习）观察下列四个几何体，其中可看作是由两个棱柱拼接而成的是________(填序号).

【答案】①④

【解析】①可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，④可看作由两个四棱柱组合而成.

②③显然不是棱柱拼接而成.故答案为：①④

考法四  截面问题

【例4】（多选）（2021·凯里市第三中学）用一个平面截一个正方体，截面图形可以是（    ）

A．三角形 B．等腰梯形

C．五边形 D．正六边形

【答案】ABCD

【解析】

如图所示：

三角形         等腰梯形           五边形             正六边形

故用一个平面去截一个正方体，截面可能是三角形、等腰梯形、五边形、正六边形，

故选：ABCD.

【一隅三反】

1．（多选）（2021·福建三明市）用一个平面去截正方体，关于截面的形状，下列可能的是（    ）

A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形

【答案】ABD

【解析】如图（1），截面为三角形，故A正确.

如图（2），截面为正方形，其中为所在棱的中点，故B正确.

如图（3），截面为正六边形，其中为所在棱的中点，故D正确.

如图（4），

因为平面平面，平面平面，

平面平面，故，

若截面为正五边形，则，故四边形为平行四边形，

但正五边形中不可能存在过4个顶点的平行四边形，故C错误.

故选：ABD.

2．（2021·安徽芜湖市）已知正方体的棱长为2，，中点分别为，，若过的平面截该正方体所得的截面是一个五边形，则该五边形周长的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】将面展开与面处于同一平面要使最大,则沿面切才能保证五点共面，

在中,,此时,又.

周长

故选:A