人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直学案设计

8.6 空间直线、平面的垂直（2）（精讲）

考法一  线线角

【例1】（2021·广西河池市·高一期末）如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，为的中点，则异面直线与所成的角的正弦值为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】连，相交于点，连、，

因为为的中点，为的中点，有，可得为异面直线与所成的角，不妨设正方形中，，则，

由平面，可得，

则，，

因为，为的中点，所以，．

故选：D.

【一隅三反】

1．（2021·浙江高一期末）在正方体中，是正方形的中心，则直线与直线所成角大小为（    ）

A．30° B．45° C．60° D．90°

【答案】A

【解析】设正方体的棱长为，连接，，，

因为，故或其补角为直线与直线所成角.

而，，，

故，所以，

所以，因为为锐角，故，

故选：A.

2．（2021·西安市航天城第一中学高一期末）在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（    ）

A． B．- C．2 D．

【答案】A

【解析】如图所示，

分别取，，，的中点，，，，则，，，

或其补角为异面直线与所成角．

设，则，，

，

异面直线与所成角的余弦值为，

故选：A．

3．（2021·陕西西安市·西安中学高一期末）如图，四面体中，，，E，F分别是的中点，若，则与所成的角的大小是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】如图所示：

取BC的中点G，连接EG，FG，

因为E，F，G都为中点，所以,

所以，分别为异面直线EF与AB，EF与CD所成的角，

因为，所以

又因为，，所以 所以,

因为，所以故选：A

考法二  线面角

【例2】（2021·河南高一期末）在三棱柱中，，，且，则直线与平面所成的角的大小为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°

【答案】A

【解析】∵，，∴，

∵，，，平面，

∴平面，

∴就是与平面所成的角，即与平面所成的角是，

∵棱柱中，∴与平面所成的角的大小为，

故选：A．

【一隅三反】

1．（2021·全国高一课时练习）直三棱柱中，，，则与面成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】如图，过作，连接，

在直三棱柱中，因为

所以平面，

故在平面上的射影为,

所以为直线与平面所成的角，

设，又

所以

故故选：A

2．（2021·浙江高一期末）如图，已知平面，平面，为等边三角形，，F为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）取CE中点G，连接BG，FG，如图所示：

因为F、G分别为CD、CE的中点，

所以且，

又因为平面，平面，

所以，,

所以，，

所以四边形ABGF为平行四边形，

所以，

又因为平面，平面，

所以平面；

（Ⅱ）因为平面，平面ACD，

所以，所以，

又为等边三角形，F为CD的中点，

所以，

又平面CDE，

所以平面CDE，即平面CDE，

又平面CDE，则，

连接DG，BD，如图所示，

则即为直线和平面所成角，

设，在中，，

在直角梯形ABED中，，

在中，，

所以，

所以直线和平面所成角的正弦值为.

3．（2021·河南焦作市·高一期末）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，，分别为，，的中点.

（1）求证：平面；

（2）若，求直线与平面所成线面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）因为底面，底面，

所以，因为，分别为正方形的边，的中点，

，

所以，所以，由

所以，所以，

因为平面，平面，，

所以平面.

（2）由（1）可知平面，

设，如图，连接，则即为直线与平面所成线面角，

因为，所以，，

在中，由于，所以，

所以，所以，

所以在中，，即直线与平面所成线面角的正弦值为.

考法三 面面角

【例3】（2021·全国高一课时练习）如图，三棱台的下底面是正三角形，，则二面角的大小是（    ）

A．30° B．45° C．60° D．90°

【答案】C

【解析】三棱台中，，且，

则，又，且,

所以平面，

所以为的二面角，

因为为等边三角形，

所以.

故选：C

【一隅三反】

1．（2021·浙江高一期末）长方体中，，，则二面角的余弦值的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

取中点，连接、，因为，，

所以，，所以即为二面角的平面角，连接，

，，所以，又因为，

在中，，

所以二面角的余弦值为，

故选：B

2．（2021·浙江高一期末）如图，已知平面．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若，求二面角的大小．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）平面，平面，，

，，

平面，

平面，平面平面；

（Ⅱ）由（1）得平面，

平面，，

，即为二面角的平面角，

在直角三角形中，，则，

，即二面角的大小为.

3．（2021·陕西西安市·西安中学高一期末）如图所示，在长方体中，，点E是的中点.

（1）证明：平面；

（2）证明：；

（3）求二面角的正切值.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】（1）如图所示：

连接交于点O，连接，则O为的中点.

∵E是的中点，∴

又平面，平面，

∴平面.

（2）由题意可知，四边形是正方形，

∴.

∵平面，平面，

∴.

∵平面，平面，，

∴平面.

又平面，

∴，即.

（3）在中，，，，

∴

∵平面平面，

∴.

∵平面，平面，，

∴平面.

又∵平面，

∴.

∴是二面角的平面角.

在A中，∵，，，

∴，∴二面角的正切值为.