高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直第1课时教案

课程目标

学科素养

A.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小．

B.了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系．

C.熟悉线线垂直、线面垂直的转化。

1.数学抽象：二面角的有关概念；

2.逻辑推理：用定理证明垂直关系；

3.数学运算：求简单二面角平面角的大小；

4.直观想象：面面垂直的定义。

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、复习回顾，温故知新

1.异面直线所成的角”是怎样定义的？

【答案】直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a' //a， b'// b，我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 （或直角）叫做异面直线所成的角.

2.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？

【答案】平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.

二、探索新知

问题：    在铁路公路旁，为防止山体滑坡，常用石块修筑护坡斜面，并使护坡斜面与水平面成适当的角度；修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度，如何从数学的观点认识这种现象？

1..二面角的概念

(1) 半平面的定义

平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．

(2) 二面角的定义

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．

(3) 二面角的画法和记法：

面1－棱－面2      点1－棱－点2  

二面角    二面角

思考：我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些，

你认为应该怎么刻画二面角的大小？

（4）  二面角的平面角

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.

如图，，则∠AOB成为二面角的平面角. 它的大小与点O的选取无关.

二面角的平面角必须满足：

①角的顶点在棱上②角的两边分别在两个面内

③角的边都要垂直于二面角的棱

观察：教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？分别指出构

这些二面角的面、棱、平面角及其度数。

【答案】三个

2. 平面与平面垂直的定义

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作：

图形表示：

观察：如图，建筑工人砌墙时，如何使所砌的墙和水平面垂直？

【答案】用铅锤来检测，如系有铅锤的细线紧贴墙面，认为墙面垂直与地面。

3.平面与平面垂直的判定定理

如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。

图形：

符号语言：

简记：线面垂直，则面面垂直。

例1.   如图，在正方体中，求证：平面。

证明：是正方体。

例2.如图,AB是圆O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，   求证：平面PAC⊥平面PBC.

通过复习线线角、线面角，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。

通过观察实例，引入二面角的定义，提高学生分析问题的能力。

通过思考，引入二面角的平面角，提高学生分析问题、概括能力。

通过观察，由实例引入两平面垂直，提高学生分析问题法人能力。

通过观察实例，引入平面与平面垂直的判定定理，提高学生分析问题的能力。

通过例题的讲解，让学生进一步理解平面与平面垂直的判定定理的应用，提高学生解决与分析问题的能力。

三、达标检测

1．直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是(　　)

A．平行　B．可能重合C．相交且垂直 D．相交不垂直

【答案】C　

【解析】由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.

2．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是(　　)

A．互为余角  B．相等C．其和为周角  D．互为补角

【答案】D　

【解析】画图知从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角，所以选D.

3．已知l⊥平面α，直线m⊂平面β.有下面四个命题：

①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.

其中正确的两个命题是(　　)

A．①②  B．③④   C．②④  D．①③

【答案】D　

【解析】∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，∵m⊂β，∴l⊥m，故①正确；∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m⊂β，∴α⊥β，故③正确．

4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，二面角A­BC­A1的平面角等于        ．

【答案】45°

【解析】根据正方体中的位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面角的平面角定义可知，∠ABA1 即为二面角A­BC­A1的平面角. 又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1 ＝45°.

5．如图，棱柱ABC­A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.

证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.

【证明】　因为BCC1B1是菱形，

所以B1C⊥BC1，又B1C⊥A1B，且BC1∩A1B＝B，

所以B1C⊥平面A1BC1，

又B1C⊂平面AB1C，

所以平面AB1C⊥平面A1BC1.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

四、小结

1. 平面与平面垂直的判定：（1）定义 （2）判定定理

2.数学思想：转化思想

五、作业

习题8.6  6,7题

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。