2022届高考数学一轮复习第九章计数原理与概率随机变量及其分布9.8离散型随机变量的均值与方差正态分布学案理含解析北师大版

这是一份2022届高考数学一轮复习第九章计数原理与概率随机变量及其分布9.8离散型随机变量的均值与方差正态分布学案理含解析北师大版，共13页。
第八节　离散型随机变量的均值与方差、正态分布
命题分析预测
学科核心素养
从近五年的高考来看，离散型随机变量的均值与方差、正态分布的应用是命题的热点，一般为解答题，难度中档偏上．
通过离散型随机变量的均值与方差、正态分布，主要考查数据分析与数学运算及数学建模核心素养．

授课提示：对应学生用书第228页
知识点一　均值与方差
1．均值
（1）一般地，若离散型随机变量X的分布列为：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平Ｗ．
（2）若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E（aX＋b）＝aEX＋bＷ．
（3）①若X服从两点分布，则EX＝p；
②若X～B（n，p），则EX＝npＷ．
2．方差
（1）设离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则（xi－EX）2描述了xi（i＝1，2，…，n）相对于均值EX的偏离程度．而DX＝ （xi－EX）2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度，称DX为随机变量X的方差，并称其算术平方根为随机变量X的标准差．
（2）D（aX＋b）＝a2DXＷ．
（3）若X服从两点分布，则DX＝p（1－p）Ｗ．
（4）若X～B（n，p），则DX＝np（1－p）Ｗ．
• 温馨提醒 •
二级结论
1．若x1，x2相互独立，则E（x1·x2）＝Ex1·Ex2．
2．均值与方差的关系：DX＝EX2－E2X．
3．超几何分布的均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则EX＝．
必明易错
1．理解均值EX易失误，均值EX是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而EX是不变的，它描述X值的取值平均状态．
2．注意E（aX＋b）＝aEX＋b，D（aX＋b）＝a2DX易错．

1．已知随机变量X的取值为0，1，2，若P（X＝0）＝，EX＝1，则DX＝（　　）
A．　　　　　　　 B．
C． D．
解析：设P（X＝1）＝p，则P（X＝2）＝1－p－＝－p．
由EX＝1，得0×＋1×p＋2×＝1，得p＝，则DX＝（0－1）2×＋（1－1）2×＋（2－1）2×＝．
答案：A
2．已知X的分布列为
X
－1
0
1
P



设Y＝2X＋3，则EY＝_________．
解析：EX＝－＋＝－，
EY＝E（2X＋3）＝2EX＋3＝－＋3＝．
答案：
3．在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．乙能正确完成每道题的概率为，且每道题完成与否互不影响．记乙能答对的题数为Y，则Y的数学期望为_________．
解析：由题意知Y的可能取值为0，1，2，3，且Y～B，则EY＝3×＝2．
答案：2
知识点二　正态分布
（1）正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
（2）正态分布的三个常用数据
①P（μ－σ